利用函数图象解一元二次方程大家好，今天我说课的题目是《利用函数图象解一元二次方程》一、教材分析1、地位和作用本节课是新北师版九年级下册第二章二次函数的第5节，是学生在学习和掌握了二次函数的图象和性质以及一元二次方程的基础上来研究二次函数与一元二次方程的关系。本节课和一次函数：用函数观点看方程（组）与不等式比较类似，因此学生对函数与方程之间的联系已不再陌生。通过本节课的学习，学生可以进一步加深对二次函数的图象和性质的理解，是后面学习二次函数与实际问题的基础，同时让学生进一步体会数形结合思想，也是以后高中学习一元二次不等式的基础。2、教材内容在这节课中，首先通过小球飞行高度问题展示二次函数与一元二次方程的联系，然后进一步举例说明，从而得出二次函数与一元二次方程的关系，最后通过例题介绍用函数的图象求一元二次方程的根的方法。二、学情分析根据学生现状，在八年级时已接触过用函数观点看方程（组）与不等式，因此学生对函数与方程之间的联系已不再陌生，且二次函数和一元二次方程是初中数学的难点问题。因此，在教学中，我抓住这些特点，从学生已学的知识入手，引导学生在充分理解函数和一元二次方程关系的基础上，体会数形结合的思想。三、教学目标四、教学重点难点教学目标知识技能了解一元二次方程的根的几何意义，掌握用二次函数图象求解一元二次方程的根．数学思考建立一元二次方程与二次函数的关系，通过图象，体会数与形的完美结合．解决问题1．通过实际问题，体会一元二次方程解的实际意义，发展数学思维．2．求解过程中，学会合作、交流.情感态度1．通过对小球飞行问题的分析，感受数学的应用，激发学生学习热情．2．在求解过程中，体会解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神．重点利用二次函数图象解一元二次方程难点将方程转化为二次函数五、教学设计说明5
二次函数为一元二次方程的求解提供了一个强有力的工具，寻找一元二次方程与二次函数的关系，是解二次方程的关键．本节课从实际问题出发，利用二次函数及图象特征探讨一元二次方程根的问题．这样设计，既激发了学生学习热情，同时使学生积极主动地投入到探究活动中．在探究一元二次方程与二次函数的关系中，教师引导学生，帮助学生建立数与形的结合，体会数形结合的思想．通过例题巩固用函数图象判断方程根的情况，提高学生的解题能力，激发他们对问题的探索精神，并且体会函数在方程中的应用．最后师生共同总结归纳，加深对二次函数与一元二次方程的理解与应用，提高应用数学的能力．以学生为主体，通过学生自主探索和合作交流，真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系。六、教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动1创设情境,提出问题 活动2师生互动，探索新知 活动3运用提高，形成技能 活动4小结升华，布置作业通过对小球飞行问题的求解，激发学生对一元二次方程根的探索兴趣．观察、分析二次函数的图象，判断一元二次方程根的情况，发展学生分析问题的能力．通过例题巩固用函数图象判断方程根的情况，激发探索精神．回顾、反思、交流．布置课后作业，巩固、发展提高．七、教学过程设计问题与情境师生行为设计意图[活动1]创设情境,提出问题.（1）复习导入（2）提出本节问题问题：如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系：．教师提问,学生回答出示问题，学生分析理解．注意学生对高度、时间的理解．分析：（1）h是t的二次函数；（2）当h取具体值时，得到关于t的一元二次方程；（3）如何求解一元二次方程的根呢？（4）如何理解一元二次方程与二次函数的关系？让学生复习一元一次方程和一次函数之间的关系,类比推理一元二次方程和二次函数之间的关系从小球飞行问题寻找一元二次方程与二次函数的关系，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生学习热情．5
（1）球的飞行高度能否达到15m?若能,需要多少时间?（2）球的飞行高度能否达到20m?若能,需要多少时间?（3）球的飞行高度能否达到20.5m?若能,需要多少时间?（4）球从飞出到落地要用多少时间?问题与情境师生行为设计意图5
[活动2]师生互动,探索新知。（1）探讨小球飞行问题y图26.2－1xy图26.2－1－1（2）探讨方程与函数的关系例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变量x的值.就是求方程3=-X2+4x的解反过来，解方程X2-4x+3=0就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0,求自变量x的值.由此说明二次函数与一元二次方程的关系（3）深入讨论抛物线与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况。问题：下列二次函数的图象与x轴有没有公共点？若有,求出公共点的横坐标；当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？（4）归纳[活动3]运用提高,形成技能（1）试一试在本次活动中，教师应关注：（1）学生对问题从函数到方程的转换；（2）学生对根的理解；（3）方程的解与函数中自变量的关系．解方程：略．在本次活动中，教师应关注：（1）一元二次方程的解法；（2）函数图象的应用；（3）方程与函数的联系．教师出示问题，学生理解后归纳。教师展示问题，学生讨论合作完成：分析：（1）如何作出函数的图象；（2）利用图象确定函数的值；（3）由函数图象，能得出相应的一元二次方程的根吗？利用函数图象解决方程根的问题，让学生把方程与函数统一起来，体会数与形的结合给学习带来的方便．通过举例，使学生进一步体会函数与方程之间的关系。使学生掌握通过函数图象判断方程的根，并把方程与函数建立联系，促使学生能够积极主动地投入到探索活动中．5
（2）例题学习例：利用函数图象求方程的实数根（精确到0.1）xy1O（3）例题巩固练习[活动4]小结升华,布置作业作业：教师投影出示表格，学生独立思考完成．学生练习教师投影出示例题，学生独立思考完成．在本次活动中，教师应关注学生对二次函数图象的应用．图象法求解：（1）函数图象与x轴的公共点的横坐标是－2，1，此时的函数值是0；（2）函数图象与x轴的公共点的横坐标是3，此时的函数值为0；（3）函数图象与x轴没有公共点．（注：此题的上述解法也可以脱离图象，理解为代数法求解．）师生共同总结：（投影出示）课后习题.学生结合图形深入理解二次函数与一元二次方程关系通过练习，巩固函数的应用，让学生体会函数在方程中的作用.通过例题，巩固用函数图象判断方程根的情况，提高学生的解题能力，激发他们对问题的探索精神．通过练习，让学生巩固利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的方法。总结、归纳学习内容，帮助学生加深二次函数与一元二次方程的联系，提高学生的数学应用能力。5
