圆周角与圆心角、弧的关系一、知识讲解：1．圆周角与圆心角的的概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。2．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。5．圆的内接四边形对角之和是180度。6．弧的度数就是圆心角的度数。解题思路：1．已知圆周角，可以利用圆周角求出圆心角2．已知圆心角，可以利用圆心角求出圆周角3．已知直径和弧度，可以求出圆周角与圆心角1.圆周角与圆心角的定义顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。注意圆周角定义的两个基本特征：(1)顶点在圆上；(2)两边都和圆相交。二、教学内容【1】圆心角：顶点在圆心的角。利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个基本特征：练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．7
【2】理解圆周角定理的证明一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，求证：∠BAC=1/2∠BOC.分析：通过图形的演示指导学生进一步去寻找圆心O与∠BAC的关系本题有三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边上O（2）圆心O在∠BAC的内部（3）圆心O在∠BAC的外部BDCl如果圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明l如果圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将这个角转化为上述情况的两个角的和或差即可证明:圆心O在∠BAC的一条边上AOA=OC==>∠C=∠BAC∠BOC=∠BAC+∠CO==>∠BAC=1/2∠BOC.BC【3】圆周角与圆心角的关系（1）．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。（2）．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。（3）．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。（4）．圆的内接四边形对角之和是180度。（5）．弧的度数就是圆心角的度数。7
三、精讲精练（一）选择、填空题：1．在⊙O中，同弦所对的圆周角（）A．相等B．互补C．相等或互补D．都不对2．如图，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（）A．5对B．6对C．7对D．8对3．下列说法正确的是（）A．顶点在圆上的角是圆周角B．两边都和圆相交的角是圆周角C．圆心角是圆周角的2倍D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半4．下列说法错误的是（）A．等弧所对圆周角相等B．同弧所对圆周角相等C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等．D．同圆中，等弦所对的圆周角相等5．如图4，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD=．6．如图5，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON=．7.⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（）．A、30°B、150°C、30°或150°D、60°8.△ABC中，∠B＝90°，以BC为直径作圆交AC于E，若BC=12，AB=12，则的度数为（）．A、60°B、80°C、100°D、120°9.如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD交于E点，则图中60°的角共有()个．A、3B、4C、5D、610.如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=25°，则∠A的度数为（）A、70°B、65°C、60°D、50°7
11.圆内接三角形三个内角所对的弧长为3:4:5，那么这个三角形内角的度数分别为__________．（二）解答题1．如图，以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过E点作EF⊥BC，垂足为F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC的长．2．如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？3.如图，OA、OB、OC都是圆O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC4.如图，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E．（1）求证：△DOE是等边三角形；（2）如图3-3-14，若∠A=60°，AB≠AC，则①中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由？5.如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长．7
6.如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于D，AD=9cm，DB=4cm，求CD和AC的长．7.如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．（1）求证：AC⊥OD；（2）求OD的长；（3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．8.四边形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图3-3-15，求BD的长．9.如图1，AB是半⊙O的直径，过A、B两点作半⊙O的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O上C点时，则有AC·AC＋BC·BC=AB2．（1）如图2，若两弦交于点P在半⊙O内，则AP·AC＋BP·BD=AB2是否成立？请说明理由．7
（2）如图3，若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB2=．参照（1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性．10．如图8，⊙O中，两条弦AB⊥BC，AB=6，BC=8，求⊙O的半径．11．如图9，AB是⊙O的直径，FB交⊙O于点G，FD⊥AB，垂足为D，FD交AG于E．求证：EF·DE=AE·EG．12．如图，AB是半圆的直径，AC为弦，OD⊥AB，交AC于点D，垂足为O，⊙O的半径为4，OD=3，求CD的长．13．如图，⊙O的弦AD⊥BC，垂足为E，∠BAD=∠α，∠CAD=∠β，且sinα=，cosβ=，AC=2，求（1）EC的长；（2）AD的长．14．如图，在圆内接△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点．（1）求证：AB2=AD·AE；（2）当D为BC延长线上一点时，第（17
）小题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．15．如图，已知BC为半圆的直径，O为圆心，D是的中点，四边形ABCD对角线AC、BD交于点E．（1）求证：△ABE∽△DBC；（2）已知BC=，CD=，求sin∠AEB的值；（3）在（2）的条件下，求弦AB的长．16．如图，已知是的直径，是弦，过点作于，连结．（图16）（1）求证：；（2）若，求的度数．四、小结：1、圆周角与圆心角的概念2、圆心角与圆周角的大小关系7
