第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷(2)一、单选题1．如图，将矩形ABCD的四个角向内折叠铺平，恰好拼成一个无缝隙无重叠的矩形EFGH，若EH＝5，EF＝12，则CD长为（ ）A．13B．C．12D．172．如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，给出下列结论：①，②，③的面积，④，其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④3．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（ ）A．66°B．60°C．57°D．48°4．如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN＝BM；,②EM//FN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（）A．1B．C．D．26．如图，的对角线、交于点，顺次连接各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．下列命题中，正确的是（）．A．两邻边相等的四边形是菱形B．一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D．对角线垂直的四边形是菱形8．一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为（）A．50或40或30B．50或40C．50D．50或30或209．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E、F都对角线AC上，且AE=EF=FC，则线段BE,和DF的距离为（ ）A． B．1 C． D．10．如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=4cm，点M是边AB的中点，点P是矩形边上的一个动点，点P从M出发在矩形的边上沿着逆时针方向运动，则当点P沿着矩形的边逆时针旋转一周时，△DMP面积刚好为5cm2的时刻有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（ ）A．2aB．2aC．3aD．12．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）,A．AB=BEB．DE⊥DCC．∠ADB=90°D．CE⊥DE13．顺次连结对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形是()A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形二、填空题14．如图a是长方形纸带，∠DEF＝16°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是__．15．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，点P是直线BC一动点，若将△ABP沿AP折叠，使点B落在平面上的点E处，连结AE、PE．若P、E、D三点在一直线上，则BP＝_________．16．（知识衔接）（1）长方形的对角线相等且互相平分；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（问题解决）如图，在中，，于点，为的中点，连结，．下列结论：①；②；③S四边形DEBC；④．正确的是,_______17．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是________．18．已知、、是三角形的三边长，则最长边上的中线长为_____．19．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，点E是AD边的中点，点F是射线AB上的一动点，将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A′EF，连接A′C，则A′C的最小值为________．20．如图，矩形ABCD将△DEC沿DE折叠得到△DC1E．若DC1平分∠ADE，则∠BEC1的度数是______．21．如图，已知为线段上的一点，分别以为边在的同侧作菱形和菱形．点在一条直线上，，分别是对角线，的中点．当时，则：（1）____________________．（2）点之间的距离为____________________．（结果留根号）．,22．若一直角三角形两直角边的长分别为，，则这个直角三角形斜边上的中线为__．23．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，点M、N分别是BC、CD上任意一点，点P是BD上一点，连接PM、PN，则PM＋PN的最小值为________．三、解答题24．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．（1）如图，Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，求证：CD是Rt△ABC的一条特异线．（2）△ABC是一个等腰锐角三角形，且它是特异三角形，请求出所有可能的顶角度数．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ABC，CE是AB边上的中线，CF⊥AB．求证：CD平分∠ECF．26．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA至点D，连结DC，过点B作BE⊥DC于点E，F为BC上一点，FC＝FE．连结AF，AE．,（1）求证：FA＝FE．（2）若∠D＝60°，BC＝10，求△AEF的周长．27．如图①，直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于、两点．、的长度分别为和，且满足．（1）判断的形状．（2）如图②，正比例函数（）的图像与直线交于点，过、两点分别作于，于，若，，求的长．（3）如图③，为线段上一动点，以为斜边作等腰直角，为的中点，连接、，试问：线段、是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明．28．在四边形中，，．（1）P为边上一点，如图，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）,①当点E落在边上时，利用尺规作图，作出满足条件的图形，并直接写出此时_________；②若点P为边的中点，连接，则与有何位置关系？请说明理由；（2）点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长．29．在中，，是的中点，是的中点．过点作交的延长线于点．（1）求证：≌；（2）证明四边形是菱形．30．我们可以沿直角三角形纸片的斜边中线把它剪成两个等腰三角形．（初步思考）（1）任意三角形纸片都可以剪成4个等腰三角形，在图①中画出分割线，并作适当的标注；（深入思考）（2）任意三角形纸片都可以剪成5个等腰三角形，在图②中画出分割线，并作适当的标注；（回顾反思）（3）在把一个三角形纸片剪成5个等腰三角形时，我们发现图②中的分割方法不能用于等边三角形．因此，我们需要为等边三角形想一种分割方案，请在图③中画出分割线，并作适当的标注；（4）我们发现，不是所有三角形纸片都能剪成3个等腰三角形．当∠A＝110°，∠B为多少度时，△ABC,能被剪成3个等腰三角形，请画出两种分割方案，并标注∠B和∠C的度数．,,【答案与解析】1．B【解析】先判定四边形EFGH为矩形，即可得到EF＝GH，再判定△DHG≌△BFE（AAS），即可得到DH＝BF＝FM，再根据勾股定理即可得出AD的长，最后依据S矩形ABCD＝2S矩形EFGH＝120，即可得到CD的长．解：由折叠可得，∠HEM＝∠AEH，∠BEF＝∠FEM，∴∠HEF＝∠HEM+∠FEM＝×180°＝90°，同理可得：∠EHG＝∠EFG＝90°，∴四边形EFGH为矩形，∴EF＝GH，∵AD∥BC，∴∠DHF＝∠BFH，由折叠可得，∠DHG＝∠DHF，∠BFE＝∠BFH，∴∠DHG＝∠BFE，又∵∠D＝∠B＝90°，∴△DHG≌△BFE（AAS），∴DH＝BF＝FM，又∵AH＝MH，∴AH+DH＝MH+FM，即AD＝FH，又∵Rt△EFH中，EH＝5，EF＝12，∴HF＝＝13，∴AD＝13，由折叠可得，△AEH≌△MEH，△BEF≌△MEF，△CFG≌△NFG，△DGH≌△NGH，∴S矩形ABCD＝2S矩形EFGH＝2×EF•EH＝2×5×12＝120，∴CD＝，故选：B．,本题主要考查了矩形的性质、折叠问题以及全等三角形的判定与性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．2．A【解析】①根据正方形的性质可求OE，再根据线段的和差关系可求AE的长；②根据正方形的性质和平角的定义可求∠COD；③作FG⊥CO交CO的延长线于G，根据含45°的直角三角形的性质可求FG，再根据三角形面积公式即可求解；④作DH⊥AB于H，根据勾股定理可求CF，BD，即可求解．解：①∵EF=，∴OE=4，∵AO=AB=6，∴AE=AO+OE=6+4=10，故正确；②∵∠AOC=90°，∠DOE=45°，∴∠COD=180°-∠AOC-∠DOE=45°，故正确；③作FG⊥CO交CO的延长线于G，则FG=2，∴△COF的面积S△COF=×6×2=6，故正确；④作DH⊥AB于H，CF=，BH=6-2=4，DH=6+2=8，BD=，故错误．故选：A．,本题考查了正方形的性质，含45°的直角三角形的性质，三角形面积，勾股定理，平角的定义，综合性较强，有一定的难度．3．C【解析】利用四边形ABCD是矩形，求出∠A＝∠ABC＝90°，由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，可求∠A'BE＝33°，由余角∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，∴∠A'BE＝∠ABE（90°﹣∠DBC）（90°﹣24°）＝33°，∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°；故选择：C．本题考查矩形性质，轴对称性质，余角性质，掌握矩形性质，轴对称性质，余角性质是解题关键．4．D【解析】由四边形ABCD是矩形，可推出∠DAN＝∠BCM，可证∠DNA＝∠BMC＝90°，可证△DNA≌△BMC（AAS），知①正确；进而可证△ADE≌△CBF（ASA），知③正确；可证四边形NEMF是平行四边形，知②正确；可证四边形DEBF是平行四边形，可推出△AOD是等边三角形，可证DE＝BE，知④正确．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAN＝∠BCM，∵BF⊥AC，DE∥BF，∴DE⊥AC，∴∠DNA＝∠BMC＝90°，,在△DNA和△BMC中，，∴△DNA≌△BMC（AAS），∴DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确；在△△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE＝FC，DE＝BF，故③正确；∴DE﹣DN＝BF﹣BM，即NE＝MF，∵DE∥BF，∴四边形NEMF是平行四边形，∴EM∥FN，故②正确；∵AB＝CD，AE＝CF，∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵AO＝AD，∴AO＝AD＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ADO＝∠DAN＝60°，∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°，∵DE⊥AC，∴∠ADN＝ODN＝30°，∴∠ODN＝∠ABD，∴DE＝BE，∴四边形DEBF是菱形；故④正确；正确结论的个数是4个，故选择：D．,本题考查矩形性质，三角形全等判定与性质，平行四边形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，菱形的判定，掌握矩形性质，三角形全等判定与性质，平行四边形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，菱形的判定是解题关键．5．D【解析】由正方形的性质得出∠EFD＝∠BEF＝60°，由折叠的性质得出∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，设BE＝x，则B'E＝x，AE＝3﹣x，由直角三角形的性质可得：2（3﹣x）＝x，解方程求出x即可得出答案．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠A＝90°，∴∠EFD＝∠BEF＝60°，∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，∴B'E＝2AE，设BE＝x，则B'E＝x，AE＝3﹣x，∴2（3﹣x）＝x，解得x＝2．故选：D．本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含角的直角三角形的性质等知识，能综合运用性质进行推理是解题关键．6．C【解析】根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．,①新的四边形成为矩形，符合条件；②四边形是平行四边形，．．根据等腰三角形的性质可知．所以新的四边形成为矩形，符合条件；③四边形是平行四边形，．．．四边形是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；④，，即平行四边形的对角线互相垂直，新四边形是矩形．符合条件．所以①②④符合条件．故选：．本题考查特殊四边形的判定与性质，掌握矩形、平行四边形的判定与性质是解题的关键．7．B【解析】根据菱形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．两邻边相等的平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，故选项B符合题意；对角线垂直且一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项D不符合题意；故选：B．本题考查了命题、菱形的知识；解题的关键是熟练掌握菱形的性质，从而完成求解．8．A【解析】本题中由于等腰三角形的位置不确定，因此要分三种情况进行讨论求解，①如图（1），②如图（2），③如图（3），分别求得三角形的面积．解：如图四边形ABCD是矩形，AD＝18cm，AB＝16cm；本题可分三种情况：,①如图（1）：△AEF中，AE＝AF＝10cm；S△AEF＝•AE•AF＝50cm2；②如图（2）：△AGH中，AG＝GH＝10cm；在Rt△BGH中，BG＝AB−AG＝16−10＝6cm；根据勾股定理有：BH＝8cm；∴S△AGH＝AG•BH＝×8×10＝40cm2；③如图（3）：△AMN中，AM＝MN＝10cm；在Rt△DMN中，MD＝AD−AM＝18−10＝8cm；根据勾股定理有DN＝6cm；∴S△AMN＝AM•DN＝×10×6＝30cm2．故等腰三角形的面积为：50或40或30．故选：A．本题主要考查了等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键在于能够进行正确的分类讨论．9．D【解析】可证△DCF≌△BAE（SAS），得出DF=BE，∠DFC=∠BEA，可证DF∥BE，与AE=EF=FC，得出△BCE的面积=×8=，延长BE交AD于G，延长DF交BC于H，作FM⊥BE于M，CN⊥BE于N，FM∥CN由平行线得出AG=DG=1，BH=CH=1，由勾股定理求出BG==，由BE=BG，可求CN=，由三角形中位线定理得出FM=CN=即可．解：∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2，∴AB∥CD，AB=CD，∠BAD=∠ABC=90°，矩形ABCD的面积=4×2=8，∴∠DCF=∠BAE，,在△DCF和△BAE中，，∴△DCF≌△BAE（SAS），∴DF=BE，∠DFC=∠BEA，∴∠DFE=∠BEF，延长BE交AD于G，延长DF交BC于H，作FM⊥BE于M，CN⊥BE于N，则FM∥CN，∴DF∥BE，∵AE=EF=FC，∴△BCE的面积=×8=，∵AE=EF=FC，∴AG=DG=1，BH=CH=1，∴BG==，∴BE=BG=，∵BE•CN=，∴CN=，∵FM∥CN，EF=FC，∴FM=CN=，故选择：D．本题考查三角形全等判定与性质，平行线性质，勾股定理三角形中位线，三角形面积，掌握三角形全等判定与性质，平行线性质，勾股定理三角形中位线，三角形面积是解题关键．10．C【解析】根据的面积，即可判定点可能在或或边上，由此得出结论．,解：矩形中，，，点是边的中点，，，面积达到，点可能在上有1个点，在边上有2个点，在边上有1个点，不可能在上，当点逆时针旋转一周时，随着运动时间的增加，面积达到的时刻的个数是4次，故选：．本题考查动点问题、矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是求出的面积．11．B【解析】根据勾股定理得到CE=a，根据直角三角形的性质即可得到结论．解：∵CD⊥AB，CD=DE=a，∴CE=，∵在△ABC中，∠ACB=90°，点E是AB的中点，∴AB=2CE=2a，故选择：B．本题考查等腰直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边中线性质，掌握等腰直角三角形性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质是解题关键．12．B【解析】先证明四边形BCDE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，又∵AD=DE，∴DE∥BC，且DE=BC，∴四边形BCED为平行四边形，A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴□DBCE为矩形，故本选项错误；B、∵DE⊥DC，,∴∠EDB=90°+∠CDB＞90°，∴四边形DBCE不能为矩形，故本选项正确；C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴□DBCE为矩形，故本选项错误；D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴□DBCE为矩形，故本选项错误．故选：B．本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形BCDE为平行四边形是解题的关键．13．A【解析】先证一组对边平行且相等，再证有一角为直角四边形是矩形解答：解：点E、F、G、H是各边中点，∴EF∥AC，HG∥AC，且EF=AC，HG=AC，∴EF∥HG，且EF=GH，∴四边形EFGH为平行四边形，又∵AC⊥BD，∵EH∥BD，∴EH⊥AC，∴EH⊥EF，∴∠FEH=90°，∴四边形EFGH是矩形．故选择：A．,本题考查对角线互相垂直四边形的性质，中点四边形性质，中位线，矩形性质与判定，掌握对角线互相垂直四边形的性质，中点四边形性质，中位线，矩形性质与判定是解题关键．14．132°【解析】先由矩形的性质得出∠BFE＝∠DEF＝16°，再根据折叠的性质得出∠CFG＝180°﹣2∠BFE，由∠CFE＝∠CFG﹣∠EFG即可得出答案．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝16°，∴∠CFE＝∠CFG﹣∠EFG＝180°﹣2∠BFE﹣∠EFG＝180°﹣3×16°＝132°，故答案为：132°．本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、平行线的性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．15．7+2或7﹣2【解析】由折叠的性质可得：，，，，则有BC=AD=7，AB=CD=5，AD∥BC，当点P在线段BC上时，且P、E、D三点在一条直线上时，可得，设，则，然后根据勾股定理可求解；当点P在线段BC外时，且P、E、D三点在一条直线上时，设，则，同理可求解．解：由折叠的性质可得：，，，，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=7，AB=CD=5，AD∥BC，当点P在线段BC上时，且P、E、D三点在一条直线上时，如图所示：∴，∴，∴，设，则，,∴在中，，解得：（不符合题意，舍去）；当点P在线段BC外时，且P、E、D三点在一条直线上时，如图所示：∴，∴，∴，设，则，∵，∴在中，，解得：（不符合题意，舍去）；∴，综上所述：当P、E、D三点在一条直线上时，或；故答案为或．本题主要考查折叠的性质及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键．16．①②③【解析】利用平行线的性质，等腰三角形的性质即可判断①；延长EF与BC的延长线相交与点G，易证，再根据全等三角形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可判断②；根据三角形中位线的性质即可判断③；设，根据三角形外角和平行线的性质即可判断④．解：为的中点，,,,故①正确；延长EF与BC的延长线相交与点G，，，在和中，在Rt中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，，故②正确；BF是的中线又,S四边形DEBC=S△BECS四边形DEBC=2S△BEF，故③正确；设，，故④错误；故答案为：①②③．本题考查了直角三角形斜边上的中线、三角形外角性质、三角形中位线、等腰三角形的三线合一、全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．17．2【解析】过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．解：如图，过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作D′P⊥AD于P，∵DD′⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD′，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△ADF≌△AD′F，∴AD′＝AD＝4，∵D′与D关于AE对称，∴QD＝QD′，∴DQ＋PQ＝QD′＋PQ＝PD′，∴D′P即为DQ＋PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′＝45°，∴AP＝PD′，∴在Rt△APD′中，PD′2＋AP2＝AD′2，即2D'P2＝16，,∴PD′＝2，即DQ＋PQ的最小值为2．故答案为：2本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．18．1.5【解析】利用勾股定理逆定理判断出此三角形是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．∵，∴此三角形为直角三角形，斜边为3，∴该三角形最长边上的中线长为：1.5，故答案为：1.5．本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理逆定理的应用，熟记性质并判断出此三角形是直角三角形是解题的关键．19．－1【解析】根据点F是射线AB上的一动点，将△AEF沿EF所在的直线翻折得到△，可得点的运动路径为以E为圆心，AE长为半径的半圆，再根据两点之间线段最短，即可得出当点、C、E三点共线时，的长最小，最后根据勾股定理进行计算即可；当点F在射线AB上移动时，点的运动路径为以E为圆心，AE长为半径的半圆(点不与点D重合)如图所示，当点、C、E三点共线时，C的长最小，∵在矩形中，AD=2，AB=3，点E是AD边的中点，∴DE=AE=1，CD=3，∴在Rt△CDE中：，,又∵E=AE=AD=1，∴C=CE-E=，即C的最小值为，故答案为：．本题主要考查了折叠问题，解决问题的关键是依据折叠得到点A的运动轨迹解题时注意：点A的运动路径为以E为圆心，AE长为半径的半圆；20．60°【解析】根据翻折前后两个图形能够完全重合，可知△DCE≌△DC₁E，再根据DC₁平分∠ADE及∠CDE+∠C₁DE+∠ADC₁=∠ADC=90°，即可得到∠DEC=∠DEC₁=90°-30°=60°，然后根据∠BEC₁=180°-∠DEC-∠DEC₁求解即可．解：在矩形ABCD中，∠ADC=90°，由折叠可知：△DCE≌△DC₁E，∴∠DEC=∠DEC₁，∠CDE=∠C₁DE，∵DC₁平分∠ADE，∴∠ADC₁=∠C₁DE，∴∠CDE=∠C₁DE=∠ADC₁，∵∠CDE+∠C₁DE+∠ADC₁=∠ADC=90°，∴∠CDE=∠C₁DE=∠ADC₁=30°，∴∠DEC=∠DEC₁=90°-30°=60°，∴∠BEC₁=180°-∠DEC-∠DEC₁=60°，故答案为：．本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、翻折变换的性质，解题的关键是熟记各性质．,21．【解析】（1）连接DP，PN，根据菱形的性质得到∠PAC=30°，从而可得PM；（2）先求出PN，再证明△PMN是直角三角形，最后利用勾股定理求出MN即可．解：（1）连接DP，PN，∵四边形APCD和四边形PBFE都是菱形，∴DP⊥AC，PN⊥BE，又∵∠PAD=60°，∴∠PAC=30°，在Rt△AMP中，AP=3，则PM=AP=；（2）同理可得：∠BPN=30°，∴在Rt△PBN中，BN=BP=，则在Rt△BPN中，PN=，又∵PD平分∠APC，PN平分∠BPE，∴∠DPN=（∠APC+∠BPE）=90°，∴△PMN是直角三角形，则MN=，即PM=，MN=．本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是合理添加辅助线，构造直角三角形．,22．．【解析】根据勾股定理可以求得斜边长，再根据斜边上的中线等于斜边的一半即可解答解：∵一直角三角形两直角边的长分别为，，∴斜边长为：，∴这个直角三角形斜边上的中线为，故答案为：．本题考查二次根式的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理解答．23．6【解析】作点N关于BD对称的点N′，过点N′作N′M⊥BC于点M，MN′与BD的交点P，此时满足PM＋PN的值最小，进而求值即可；如图，作点N关于BD对称的点N′，过点N′作N′M⊥BC于点M，∴MN′与BD的交点P即满足PM＋PN的值最小，∴MN′＝AB·sin∠ABC＝4×＝6．故答案为：6．本题考查了菱形的性质，两平行线之间线段最短，正确掌握知识点是解题的关键；24．（1）见解析；（2）36°或（）°．【解析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得到结论；（2）当△ABC是一个等腰锐角三角形，且它是特异三角形时，有两种情形，如图1，如图2，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．解：（1）∵Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，,∴CD是Rt△ABC斜边上的中线，∴CD＝BD＝AD＝AB，∴△CDB和△ADC是等腰三角形，∴CD是Rt△ABC的一条特异线；（2）当△ABC是一个等腰锐角三角形，且它是特异三角形时，有两种情形，如图1，∵AB＝AC，AD＝BD＝BC，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，设∠A＝x，则x+2x+2x＝180°，解得x＝36°，∴∠A＝36°，如图2，∵AB＝AC，AD＝BC，BC＝CD，∴∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠CDB＝∠CBD，∵∠CDB＝∠A+∠ABD＝2∠A，设∠A＝x，则2x+2x+3x＝180°，解得x＝（）°，∴∠A＝（）°．本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．,25．见解析【解析】根据角平分线的定义可得∠ACD＝∠BCD，再根据高线的定义以及直角三角形的性质可得∠BCF＝∠A，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE＝CE，然后根据等边对等角的性质得到∠ACE＝∠A，最后根据图形写出角的关系即可得证．证明：∵CD平分∠ABC，∴∠ACD＝∠BCD，∵CF⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠A+∠ACF＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°，∴∠BCF＝∠A，∵CE是AB边上的中线，∴AE＝CE，∴∠ACE＝∠A，∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝∠ACD﹣∠A，∠DCF＝∠BCD﹣∠BCF＝∠ACD﹣∠A，∴∠DCE＝∠DCF．本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，准确识图，理清图中角度之间的关系是解题的关键．26．（1）见解析；（2）15【解析】（1）证明∠EBC＝∠BEF，得出BF＝FE＝FC，在Rt△BAC中，AF是斜边BC上的中线，即可得出结论；（2）易证∠ACD＝30°，∠ABC＝∠ACB＝45°，则∠ECF＝∠ACD+∠ACB＝75°，由（1）得FA＝FE，AF是斜边BC上的中线，得出AF⊥BC，AF＝BC＝5，由FC＝FE，推出∠EFC＝180°﹣2∠ECF＝,30°，得出∠AFE＝60°，则△AEF是等边三角形，即可得出结果．（1）证明：∵BE⊥DC，∴∠EBC+∠ECB＝∠CEF+∠BEF＝90°，∵FC＝FE，∴∠ECB＝∠CEF，∴∠EBC＝∠BEF，∴BF＝FE＝FC，在Rt△BAC中，AF是斜边BC上的中线，∴FA＝FC，∴FA＝FE；（2）解：∵∠D＝60°，∠BAC＝90°，∴∠ACD＝30°，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ECF＝∠ACD+∠ACB＝30°+45°＝75°，由（1）得：FA＝FE，AF是斜边BC上的中线，∴AF⊥BC，AF＝BC＝5，∵FC＝FE，∴∠EFC＝180°﹣2∠ECF＝180°﹣2×75°＝30°，∴∠AFE＝90°﹣30°＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴△AEF的周长＝3AF＝3×5＝15．本题考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明△AEF是等边三角形是解题的关键．27．（1）等腰直角三角形；（2）；（3）且，证明见解析【解析】（1）因式分解得到，可判断为等腰直角三角形；（2）证≌全等即可；（3）延长到点，使，连接、、，证明,为等腰直角三角形即可．解：（1）是等腰直角三角形．理由：∵，∴，∴，∴，即．∵，∴为等腰直角三角形．（2）∵，，∴，∵，，∴，在和中，，∴≌，∴，，∵，，∴，∴，∴．（3）且，,如图，延长到点，使，连接、、，在和，．∴≌，∴，，则，又∵，，∴，在和，，∴≌，∴，，∴，∴为等腰直角三角形，∵，∴，．本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，解题关键是恰当的作辅助线，构建全等三角形．28．（1）①6，画图见详解；②EC∥PA，理由见详解；（2）BQ=10【解析】（1）①如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E，作∠EAB的平分线交BC于点P，根据勾股定理可得DE；②如图2中，结论：EC∥PA．只要证明PA⊥BE，EC⊥BE即可解决问题；,（2）分两种情形：①如图3−1中，当点Q在线段CD上时，②如图3−2中，当点Q在线段DC的延长线上时，分别求解即可解决问题．解：（1）①如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E，作∠EAB的平分线交BC于点P．在Rt△ADE中，∵∠D＝90°，AE＝AB＝10，AD＝8，∴DE＝=＝6，故答案为6．②如图2中，结论：EC∥PA．理由：由翻折不变性可知：AE＝AB，PE＝PB，∴PA垂直平分线段BE，即PA⊥BE，∵PB＝PC＝PE，∴∠BEC＝90°，∴EC⊥BE，∴EC∥PA；（2）①如图3−1中，当点Q在线段CD上时，设DQ＝QD′＝x．,在Rt△AD′B中，∵AD′＝AD＝8，AB＝10，∠AD′B＝90°，∴BD′＝，在Rt△BQC中，∵CQ2＋BC2＝BQ2，∴（10−x）2＋82＝（x＋6）2，∴x＝4，∴QD′＝4，∴BQ=QD′+BD′=4+6=10；②如图3−2中，当点Q在线段DC的延长线上时，∵DQ∥AB，∴∠DQA＝∠QAB，∵∠DQA＝∠AQB，∴∠QAB＝∠AQB，∴BQ＝AB=10，综上所述，BQ=10．本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用未知数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．,29．（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）利用平行线的性质，补充一组对应角相等即可；（2）利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．（1）∵，∴，∵是中点，是边上的中线，∴，，在和中，，∴≌（AAS）．（2）由（1）知≌，则，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，是的中点，是中点，∴，∴四边形是菱形．本题考查了三角形的全等，菱形的判定，熟练掌握判定三角形全等原理和菱形的判定定理是解题的关键．30．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析；（4）详见解析【解析】（1）先作直角三角形，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；,（2）先作AD⊥BC于D，然后在DC上取点F，使AF=FC，然后再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；（3）先作AD⊥BC于D，然后在AD上取点F，使AF=FC，然后再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；（4）作∠BAD，使∠BAD=∠B，同时使∠DAC为90°时，可得到∠B和∠C的大小，再借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；作∠CAD，使∠CAD=∠C，同时使∠ADC为90°时，可得到∠B和∠C的大小，再借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．解：（1）如图①，过A作AD⊥BC于D，分别取AB中点E，AC中点F，连接ED，DF，EB＝ED，EA＝ED，FA＝FD，FC＝FD；（2）如图②，过A作AD⊥BC于D，取AB中点E，在DC上取点F使AF=FC，取AF的中点G，连接ED，DG，EB＝ED，EA＝ED，FA＝FC，GA＝GD，GF＝GD；（3）如图③，过A作AD⊥BC于D，取AB中点E，在AD上取点F使AF=FC，取CF的中点G，连接ED，DG，EB＝ED，EA＝ED，FA＝FC，GF＝GD，GC＝GD；（4）第一种分割方案如图④，,DA＝DB，EA＝ED，EA＝EC；第二种分割方案如图⑤DA＝DC，EB＝ED，EA＝ED．本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，找到两边相等或两角相等是解题的关键．
