第19章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．矩形具有而菱形不具有的性质是( )A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等2．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠AOD＝120°，AC＝4，则CD的长为( )A.B.C．2D．3(第2题) (第3题) (第4题) (第5题) (第6题)3．如图，在矩形OABC中，OA＝2，OC＝1，把矩形OABC放在数轴上，O在原点，OA在正半轴上，把矩形的对角线OB绕着原点O顺时针旋转到数轴上，点B的对应点为B′，则点B′表示的实数是( )A．2B．1C.D．－4．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AB、BC于点E、F.若AE＝4，CF＝3，则EF的长为( )A．7B．5C．4D．35．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的F处，则DE的长是( )A．3B.C．5D.6．如图，在菱形ABCD中，M、N分别在AB、CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连结BO.若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为( )A．28°B．52°C．62°D．72°7．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB．AD∥BC，∠BAD＝∠BCDC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC8．下列判断错误的是( )A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形6
B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形9．如图所示的矩形是由六个正方形组成的，其中最小的正方形的面积为1，则此矩形的面积为( )A．99B．120C．143D．168(第9题) (第10题)10．如图，正方形ABCD与等边三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE＝DF时，∠BAE的大小可以是( )A．15°B．165°C．15°或165°D．90°二、填空题(每题3分，共18分)11．如图，在平面直角坐标系中，▱MNEF的两条对角线ME、NF交于原点O，点F的坐标是(3，2)，则点N的坐标是________．(第11题) (第12题) (第13题)12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若AB＝6，OC＝5，则AE＝________．13．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离AE，CF的长分别是1和2，则正方形的边长是________．14．如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，连结EF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过点F作FG⊥EF交BC于点G，连结GH，当AB，AD满足________(数量关系)时，四边形EFGH为矩形．6
(第14题) (第15题) (第16题)15．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为________．16．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是________．三、解答题(17～19题每题6分，20题10分，21、22题每题12分，共52分)17．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF，求证：BF＝CD.(第17题)6
18.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N.若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证：四边形ABCD是菱形．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连结CE、DF.求证：CE＝DF.(第19题)6
20．如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC，交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F.(1)求证：四边形CDOF是矩形；(2)当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形吗？如果是，请说明理由．(第20题)21．如图，在菱形ABCD中，E为BC边的中点，DE与对角线AC交于点M，过点M作MF⊥CD于点F，∠1＝∠2.求证：(1)DE⊥BC；(2)AM＝DE＋MF.(第21题)6
22．在▱ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.(1)如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；(2)如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是________；(3)如图③，在(2)的条件下，若AC＝BD，四边形EGFH的形状是________；(4)如图④，在(3)的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．(第22题)6
答案一、1.B 2.C 3.C 4.B5．C 点拨：在Rt△BCD中，根据勾股定理可知BD＝＝＝10，由折叠可知AE＝EF，AB＝BF，∴DF＝10－6＝4.在Rt△DEF中，设DE＝x，则EF＝8－x，由勾股定理，得x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5，故选C.6．C7．C 点拨：∵AO＝BO＝CO＝DO，∴四边形ABCD是矩形．又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形．故选C.8．D9．C 点拨：如图，由题意知正方形FGHI的边长为1，设GJ的长度为x，则正方形GJKL的边长为x，正方形LKCM的边长为x，正方形EBJF的边长为x＋1，正方形AEIN的边长为x＋2，正方形NHMD的边长为x＋3.因为四边形ABCD为矩形，所以AD＝BC，所以x＋2＋x＋3＝x＋1＋x＋x，解得x＝4，所以AB＝x＋2＋x＋1＝2x＋3＝11，BC＝3x＋1＝13，所以矩形ABCD的面积为11×13＝143.故选C.(第9题)10．C 点拨：①如图①，当△AEF在正方形ABCD的内部时，(第10题)在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠FAD.∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠FAD＝30°，∴∠BAE＝∠FAD＝15°；②如图②，当△AEF在正方形ABCD的外部时，同理可得∠BAE＝∠FAD.∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝(360°－90°－60°)×＋60°＝165°.综上，∠BAE＝15°或165°.故选C.
二、11.(－3，－2) 点拨：根据平行四边形的中心对称性和关于原点对称的点的坐标的特征即可写出点N的坐标．在▱MNEF中，点F和点N关于原点对称．∵点F的坐标是(3，2)，∴点N的坐标是(－3，－2)．12．4.8 点拨：∵OC＝5，∴AC＝2OC＝10.在Rt△ABC中，BC＝＝＝8，∴S矩形ABCD＝6×8＝48，∴S△ABD＝24.∵BD＝AC＝10，∴BD·AE＝24，∴×10·AE＝24，∴AE＝4.8.13. 14.AB＝AD 15.316．10 点拨：连结DE，交AC于P′，连结BP′，则当P在P′位置时，PB＋PE的值最小．∵四边形ABCD是正方形，∴点B、D关于直线AC对称．∴P′B＝P′D.∴P′B＋P′E＝P′D＋P′E＝DE.∵BE＝2，AE＝3BE，∴AE＝6.∴AD＝AB＝8.∴DE＝＝＝10.故PB＋PE的最小值是10.三、17.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°.∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°，∴∠EFB＋∠CFD＝90°.∵∠EFB＋∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD.在△BEF和△CFD中，∴△BEF≌△CFD.∴BF＝CD.18．证明：∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠B＝180°，∠BCD＋∠D＝180°.又∵∠BAD＝∠BCD，∴∠B＝∠D.∴∠BAD＋∠D＝180°.∴AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AM⊥BC，AN⊥DC，∴∠AMB＝∠AND＝90°.在△AMB和△AND中，∴△AMB≌△AND.∴AB＝AD.
∴四边形ABCD是菱形．19．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠EBC＝∠FCD＝90°.又∵E、F分别是边AB、BC的中点，∴BE＝CF.∴△CEB≌△DFC.∴CE＝DF.20．(1)证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB，∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF.∵∠AOC＋∠COB＝180°，∴2∠COD＋2∠COF＝180°，∴∠COD＋∠COF＝90°，即∠DOF＝90°.∵OA＝OC，OD平分∠AOC，∴OD⊥AC，即∠CDO＝90°.∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°，∴四边形CDOF是矩形．(2)解：当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．理由如下：当∠AOC＝90°时，∵OA＝OC，OD平分∠AOC，∴∠ACO＝∠A＝45°，∠COD＝∠AOC＝45°，∴∠ACO＝∠COD，∴CD＝OD.又∵四边形CDOF是矩形，∴四边形CDOF是正方形．21．证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴∠BCA＝∠ACD，AB∥CD，CD＝BC.∴∠1＝∠ACD.∵∠1＝∠2，∴∠ACD＝∠2.∴MC＝MD.又∵MF⊥CD，∴∠CFM＝90°，CF＝CD.∵E为BC边的中点，∴CE＝BE＝BC，∴CF＝CE.在△CFM和△CEM中，∴△CFM≌△CEM.∴∠CEM＝∠CFM＝90°，即DE⊥BC.(2)如图，延长AB交DE的延长线于点N.
(第21题)∵AB∥CD，∴∠N＝∠2.又∵∠BEN＝∠CED，BE＝CE，∴△BEN≌△CED.∴NE＝DE.∵∠1＝∠2，∠N＝∠2，∴∠1＝∠N.∴AM＝NM.又∵NM＝NE＋ME，∴AM＝NE＋ME＝DE＋ME.又由(1)得△CEM≌△CFM，∴ME＝MF.∴AM＝DE＋MF.22．解：(1)四边形EGFH是平行四边形．理由：∵▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，∴点O是▱ABCD的对称中心．∴EO＝FO，GO＝HO.∴四边形EGFH是平行四边形．(2)菱形(3)菱形(4)四边形EGFH是正方形．理由：∵AC＝BD，∴▱ABCD是矩形．∵AC⊥BD，∴▱ABCD是正方形．∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC.∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°.∴∠BOG＝∠GOF－∠BOF＝∠BOC－∠BOF＝∠COF.∴△BOG≌△COF.∴OG＝OF.∴GH＝EF.∵四边形EGFH是平行四边形，∴四边形EGFH是矩形．
又∵EF⊥GH，∴四边形EGFH是正方形．
