第二十章函数一．知识梳理1常量与变量：常量的定义：在一个变化过程中，数值保持不变的量.变量的定义：在一个变化过程中，可以取不同数值的量.2.函数：（1）定义：一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定x一个值，就能相应地确定一个y值，那么，我们就说y是x一个的函数.（2）自变量的取值范围：既要符合实际问题又要使表达式本身有意义.（3）函数关系的表示方法及各自的优缺点:表达式法：特点是简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量和函数的相互关系，但求对应值时往往要经过比较复杂的计算，在实际问题中，有的关系不一定能用表达式表达出来.数值表格法：特点是一目了然，从表格中已有的自变量的每一个值，不需要计算就可以直接查出与它对应的函数值，使用起来方便，但因列出的表格是有限的，而且也不容易从表格中看出自变量与函数间的对应规律.图像法：特点是形象直观，可以直观形象地把自变量与函数间的关系表示出来，不足是有图像只能得到近似的数量关系.（4）函数的应用：从图像上获取信息.在读图时，要明确两坐标轴表示的实际意义，从中确定自变量和函数以及二者之间的对应关系.（5）画函数图像的一般步骤：列表、描点和连线.3.思想方法归纳：（1）数形结合思想（2）函数思想.二．典例分析1.函数的概念例1.下面变化过程中有两个变量x和，判断是不是x的函数：（1）等腰三角形的底边x与面积；（2）=（x≥0）；（3）（x＞0）.分析：（1）等腰三角形的底边x与面积虽是两个变量，但面积公式中还有底边上的高，而这里的高也是变量，这样就有三个变量了，所以不是x的函数.（2）当x≥0时，式子=中，变量x每取一个值，都有唯一确定的值与之对应，所以是x的函数.（3）当x＞0时，式子中，变量x每取一个值，y都有两个值与它对应，所以我们说y不是x的函数.解：
2.求自变量的取值范围确定自变量的取值范围需考虑两个方面：首先，使含有变量的代数式有意义；如自变量含在整式中，取值范围是全体实数；含在分式的分母中，考虑分母不能为零；含在二次根式中，要满足被开方数为非负数.其次，自变量的取值要符合实际，使实际问题有意义.例2.指出下列函数中自变量x的取值范围：（1）；（2）.分析：（1）自变量含在分式的分母中，分母不能为零；（2）自变量含在二次根式中，要满足被开方数为非负数.解：（1）x取任意实数，且x+1≠0，即x≠－1；（2）x－3≥0，即x≥3.例3.如图，在△ABC中，BC的长为18，高AD的长为12.顶点C沿CB向点B移动（不与点B重合）.当点C移动到点时，设的长为x，的面积为S.请写出S与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围.分析：的面积等于，而，高AD的长为12，所以.要注意使的取值范围有实际意义，即0≤x＜18.[来源:学_科_网]解：（0≤x＜18）.3.求自变量取值范围时常见错误（1）只考虑部分，而忽视了整体例4.求函数y=的自变量x的取值范围.错解：由x+5≥0,得自变量x的取值范围是x≥-5.错解分析：错解中只考虑了使这部分有意义；[来源:Zxxk.Com]而忽视了有意义的条件，即x-4≠0.正确解法：
（2）只考虑了整体，而忽视了部分例5.求函数y=的自变量的取值范围.错解：由-1≠0，即≠1，解得x≠3.错解分析：错解中忽视了使这部分有意义时x的取值.正确解法：（3）只考虑一部分，而忽视了另一部分例6.求函数y=的自变量x的取值范围.错解：由-3+x≠0,解得自变量x的取值范围是x≠3.错解分析：错解中只考虑了这一部分有意义的条件，而忽视了使这部分有意义时x的取值.正确解法：（4）只考虑解析式有意义，而忽视了问题本身的意义.[来源:学&科&网Z&X&X&K]例7.等腰三角形的周长为20cm，若设一腰为xcm，写出底边y(cm)与腰长x（cm）的函数解析式，并求出自变量x的取值范围.错解：y与x的函数解析式为y=20-2x,自变量x的取值范围是全体实数.错解分析：错解中只考虑了20-2x有意义的条件，而忽视了问题本身的几何意义.正确解法：
[来源:Z,xx,k.Com]【课堂练习】1.求下列函数自变量x的取值范围.(1)(2)(3)2.小丽拿3元钱去买作业本,已知每本作业本0.25元,试写出小丽所剩钱y(元)与本数x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.
