17.1.2函数一．内容和内容解析【教学内容】《函数》是义务教育教科书华师大版八年级下册第十七章第一节第2课时，介绍函数的概念，是典型的概念课，引导学生从生活实例中抽象出函数概念，其中函数的概念是本节课核心内容．【教材分析】函数是数学中最重要的基本概念之一，它刻画了现实世界中一类数量关系之间的“特殊对应关系”．方程、不等式、函数是初中数学的核心概念，它们从不同的角度刻画一类数量关系．本节课是函数入门课，首先必须准确认识变量与常量的特征，初步感受到现实世界各种变量之间联系的复杂性，同时感受到数学研究方法的化繁就简，在初中阶段主要研究两个变量之间的特殊对应关系．课本的引例较为丰富，但有些内容学生较为陌生，本设计只选取了其中较为简单的例子．考虑到初中列函数的解析式是一个难点，其本质是用含x的式子表示y，本节课中涉及的列函数解析式不是新的教学内容（将来学的待定系数法才是新的教学内容），也不是本节课能解决的问题，因此把设计的重点放在认识“两个变量间的特殊对应关系：由哪一个变量确定另一变量；唯一确定的含义．”【学情分析】学生初次接触函数的概念，难以理解定义中“唯一确定”的准确含义．另一方面，学生在日常生活中也接触到函数图象、两个变量的关系等生活实例．在本节教学中，试图从学生较为熟悉的现实情景入手，引领学生认识变量和函数的存在和意义，体会变量之间的互相依存关系和变化规律，借助生活实例，认识“由哪一个变量确定另一个变量？唯一确定的含义是什么？”，初步理解函数的概念．二．目标和目标解析【知识目标】（1）借助简单实例，初步理解变量与函数的关系，知道存在一类变量可以用函数方式来刻画．能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系．（3）借助简单实例，初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系．能判断两个变量间是否具有函数关系．【过程与方法目标】借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简.【情感与态度目标】9
(1)从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科.(2)借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣．【目标解析】函数的概念具有高度的抽象性．学生知道代数式中的字母可以表示数，方程中的未知数求出来后也是一个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表示的数．学生的生活经验中已具备一些朴素的函数关系的实例．学生初次接触两个变量之间的特殊对应关系，教师应根据学生的认知基础，创设丰富的现实情境，使学生在丰富的现实情境中感知变量和函数的存在和意义，认识常量与变量，理解具体实例中两个变量的特殊对应关系，初步理解函数的概念．【变量与函数概念的核心】两个变量间的特殊对应关系：（1）由哪一个变量确定另一个变量；（2）唯一对应关系.【教学重点】借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念．【教学难点】怎样理解“唯一对应”．【教学关键】借助实例，明确由哪一个量的变化引起另一个量的变化，进而指出由哪一个变量确定另一个变量；“唯一对应”是一种特殊的对应关系，包括“一对一”、“多对一”．“一对多”不是函数关系．三、教学问题诊断分析【学生已有的知识结构】学生已学习了实数的加减、乘除、乘方与开方的运算，学习了列代数式及求代数式的值，会列一次方程(组)及解方程组，知道字母可以表示数，方程中的未知数求出来后也是一个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表示的数．学生的生活经验中具有一些朴素的函数实例，依托学生熟悉的生活实例，引导学生认识抽象的函数的概念符合学生的认知规律．【学生学习的困难】学生对“唯一对应关系”的理解是一个难点，特别是没有实例背景的变量间的对应关系．应借助学生熟悉的简单实例明确研究函数的目的，理解变量间的特殊对应关系，初步理解函数的概念．函数关系的本质，是变量与变量之间的特殊对应关系（单值对应）．如果直接研究某个量y有一定困难，我们可以去研究另一个与之有关的量x，而x相对于y来说，比较容易研究，从而达到研究的目的.这也是一种化繁为简的转化思想．四、教学方法与教学手段学生的学法应以自主探究与合作交流为主．认识“唯一确定、唯一对应”的准确含义．9
教法采用师生互动探究式教学．函数概念具有高度的抽象性，借助学生熟悉的生活实例，引领学生经历从具体实例中抽象出常量、变量与函数的过程，初步理解抽象的函数概念．五、教学过程引言：其实，我们一直生活在一个充满变化的世界里，在我们身边到处都存在着在一个变化过程中一直变化着的量，要想更好地了解这个客观世界，就离不开研究这些量，今天我们就来研究两个量的关系，怎样由一个量来确定另一个量。板书课题：17.1.2函数两个量的关系一个__量另一个__量设计思路：从学生的生活入手，开门见山，在极短的时间(一两分钟)内指明本节课的学习内容．空格中将来填上变量的“变”字．现实世界中各种量之间的联系纷繁复杂，向学生说明我们数学的研究方法是化繁就简，本节课只关注一类简单的问题．概念的引入：【想一想】小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重，如下表：周岁12345678910111213体重（kg）7.912.215.618.420.723.025.628.531.234.037.641.244.9观察：随着年龄的增长，体重是如何变化的？设计思路：让学生从生活中身边熟悉的事例开始思考，感受随着时间的变化小蕾的体重在逐渐增加。学生可以从这个实例中初步感受到时间和体重这两个量之间的关系，一个量变了，另一个量也跟着变化。同学们想一想：随着时间的变化，在我们身边还有哪些量也一直在跟着变化？比如：随着时间的变化，同学们的身高在增高，植物在生长，太阳位置变化，冰山在融化，……设计思路：这个问题是在上一个问题的基础上提出的，让学生主动发现自己身边的素材，有很多量都在随着时间的变化而变化，进一步体会时间与某个量之间的关系，一个量变了，另一个量也跟着变化。9
【问题1】如图是某地一天内的气温变化图．(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？(4)任意确定一个时间t，对应的温度T的值是唯一确定的吗？答：(1)这天的6时的气温是-1℃、10时的温度是2℃，14时的温度是5℃。(2)这一天中，最高气温是5℃，最低气温是-4℃。(3)这一天中，从3点到14点气温在逐渐升高，0点到3点气温在逐渐降低，14点到24点气温在逐渐降低。(4)任意确定一个时间t，就可以确定一个对应的温度T，而且是唯一确定的。设计思路：学生先观察图象，随着老师的引导对应找出每一个时刻所对应的温度，并能找出温度的变化趋势，让学生感受到随着时间的变化，温度也在随着变化，每确定一个时间t，就能确定一个唯一的温度T与时间t对应，学生可以体会时间与温度这两个量之间的关系，一个量变了，另一个量也跟着变化，同时也能感受到这两个量之间的唯一对应关系，为下文变量及函数意义的表述作准备。在解决这个问题的过程中也在注意后续相关问题的渗透，例如：观察函数图象，感知函数的单调性；通过求函数值，渗透初步的对应思想，也隐含平面直角坐标系的相关知识等。同学们想一想：生活中还有没有这样的例子，通过图象来表示两个量之间的关系？比如：心电图，股票图……【问题2】如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，则S与r之间满足，请完成下表：半径r（cm）11.522.63.2…圆面积π9
S（cm2）（1）圆的半径越大，它的面积就。（2）任意给半径r一个确定值，对应的圆面积S的取值是唯一确定的吗？答：半径r（cm）11.522.63.2…圆面积S（cm2）π2.25π4π6.76π10.24π…（1）圆的半径越大，它的面积就越大。（2）任意给半径r一个确定值，对应的圆面积S的取值是唯一确定的。设计思路：研究完生活中的变量关系，进一步体会数学公式中存在的两个变量关系，先填写表格，计算当取定一个半径r的值时，所对应的圆面积的值，初步体会圆的面积随着半径的变化而变化，圆的面积与半径之间存在唯一对应的关系。同学们想一想：你还能找到哪些数学公式也符合两个量之间的关系，一个量变了，另一个量也跟着变化？比如：正方形面积，正方形周长，三角形面积……设计思路：从每个不同的角度启发学生挖掘身边熟悉的素材，再一次从数学公式的角度理解两个变量之间存在的关系，一个量变了，另一个量也在跟着变化，深化学生头脑中两个变量的印象，为下面函数关系概念的出现做好铺垫工作。【问题3】汽车以600米/分的速度在公路上匀速行驶.（1）汽车行驶2分钟后，汽车行驶的路程是米；若行驶5分钟、20分钟呢？（2）汽车行驶x分钟后，则汽车行驶的路程是y米，则y=.（3）当时间x取定一个确定的值时，对应的路程y的取值是否唯一确定？答：（1）汽车行驶2分钟后，汽车行驶的路程是1200米；若行驶5分钟，汽车行驶路程是3000米，若行驶20分钟，汽车行驶路程是12000米。（2）汽车行驶x分钟后，则汽车行驶的路程是y米，则y=600x.（3）当时间x取定一个确定的值时，对应的路程y的取值是唯一确定的。设计思路：9
行程问题是学生在学习过程中经常遇到、耳熟能详的实例，速度不变，时间变化了，路程就跟着变化，这个问题的呈现形式是填空求值，以及写解析式，可以从数量关系的角度启发学生还有大量的实例可以表示两个变量之间的关系，进一步感受一个量变了，另一个量也跟着变化。同学们想一想：你还知道哪些数量关系符合两个量之间的关系，一个量变了，另一个量也跟着变化？比如：单价不变，数量越多，总价越多，总价随数量的变化而变化。工作效率不变，时间越多，工作总量越多，工作总量随时间的变化而变化。设计思路：到这个问题时，学生头脑中已经积攒了大量的两个变量的实例，对于一个量变了，另一个量也跟着变化有了很深的印象，再找一些数学关系的实例，加深理解，也为下面马上引出的函数概念做好最后的铺垫工作。函数概念生成：以上这些问题中我们都在尝试用一个量确定另一个量，他们都刻画了某些变化规律，这里也出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量，以气温问题为例，时间的变化引起温度的变化，当时间取定一个值时，所得T的对应值只有一个（可能是“一对一”，也可能是“多对一”），即通过时间t,能把温度T“唯一确定”.反之，当T=0时，所得t的值为8点和21点两个时刻（“多对一”），通过温度T，不能把时间t“唯一确定”.在这个问题中，我们把温度T称为时间t的函数．（但时间t不是温度T的函数，因为通过温度T，不能把时间t“唯一确定”.）如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量。此时也称y是x的函数。设计思路：上面这三个问题中都含有变量之间的单值对应关系，通过研究这些问题引出函数概念，通过这种从实际问题出发开始讨论的方式，使学生体验从具体到抽象地认识过程，如何把具体的实例进行抽象，形式化为数学知识是本课的关键．这里提出的问题“上述几个问题中，分别涉及哪些量的关系？通过哪一个量可以确定另一个量？”是一个关键的“脚手架”，通过“脚手架”引领学生经历数学概念的形成过程，引导学生认识为什么要引进变量、常量、函数的概念，逐步了解如何给数学概念下定义．巩固概念：9
指出前面几个问题中的涉及到的量，并指出其中的变量、常量、自变量与函数.1.“小蕾体重问题”中，（1)涉及到的量有，其中的变量是；（2）________是自变量，________是因变量，是的函数.2.“圆的面积问题”中，（1)涉及到的量有，其中的变量是，常量是____；（2）____________是自变量，________是因变量，是的函数.3.“行程问题”中，（1)涉及到的量有，其中的变量是，常量是____；（2）____________是自变量，________是因变量，是的函数.注意：常量与变量必须依存于一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，关键看它在这个变化过程中是否发生变化.在第三个问题中，引导学生将行程问题中的三个量进行挖掘分析，当时间不变时，路程是速度的函数，路程不变时，时间是速度的函数或速度是时间的函数；若三个量都变化，则不存在函数关系。设计思路：用熟悉的事例进一步巩固常量、变量、自变量、因变量、函数的概念。再一次体会函数中的唯一对应。并根据实际情况适当指出并不是所有的函数关系都能写出解析式。辨析：y是x的函数吗？x1-12-2…y1144…答：y是x的函数。y是x的函数吗？x14916…y±1±2±3±4…答：y不是x的函数。思考：下列各图中，表示是的函数的有_________________（可以多选）.9
设计思路：理解函数概念的核心是“①由哪一个变量确定另一个变量；②唯一对应关系”，给定自变量的任意一个值就有唯一确定的的值和它对应，这样的对应可以是“一个自变量对应一个因变量”（简称“一对一”），也可以是“几个自变量对应一个因变量”（简称“多对一”），但不可以是“一个自变量对应多个因变量”（简称“一对多”）.函数三种表示方法：前面问题的形式有填空、列表、求值、写解析式、读图等，隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析法、列表法、图象法.这几种表示方法各有什么优缺点呢？解析法：两个变量关系清晰可见，但是没有具体的取值，需要计算。列表法：每个自变量对应的因变量很清楚，但是列举的是有限项，不能列举所有的项，也不能清楚表示出变量之间的关系。图像法：可以清晰的看出每个量的变化趋势，但具体的取值不是很明显。设计思路：根据班级实际授课情况，启发学生感受函数的三种表示方法各有优缺点，鼓励启发学生自己去发现，自己总结概括，培养学生自主思考、善于总结的学习能力。【巩固练习】1、你能举出涉及两个变量的例子吗？指出自变量、因变量以及它们之间的函数关系设计思路：巩固变量与函数等概念，让学生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关系。能准确写出简单的函数关系式，找到自变量、因变量。【小结】函数的概念：自变量（确定）函数值（确定）设计思路：通过小结，让学生抓住理解函数概念的实质．教学设计说明世界是运动变化的,函数就是研究运动变化的重要数学模型,它源自生活，又服务于生活。函数有着广泛的应用，初中阶段对函数的认识也是逐步加深的，因此，本节课的学习效果如何将直接影响学生的后续学习。本节课注重联系学生的生活实际，在探索实际问题中的数量关系和变化规律中，自主学习，构建常量和变量的概念、函数的定义。通过学生举例、研讨，体会“变化与对应”的思想，激发学习兴趣和学习主动性。9
新课程标准要求学生能认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实生活中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。因此本节课从创设学生能理解的生活情境开始，使学生从生活中理解变量和常量的概念，通过温度变化、汽车行驶等问题，作为函数的实际背景，体会变量之间的相互依存关系和变化规律.遵循从具体到抽象、感性到理性的渐进认识规律和以教师为主导、学生为主体的教学原则，引导学生探究新知，引导学生在观察、分析后归纳，然后提出注意问题，帮助学生把握概念的本质特征，并在概念的形成过程中培养学生的观察、分析概括和抽象等的能力.分析变化和对应的数学思想，通过另两个例子加深对同一问题中两变量的变化和对应关系的理解，同时又渗透了函数的三种表示法。在具体的教学过程中，我遵循由感性到理性，由具体到抽象的认识过程，启发学生审清题意，明确题中的各量的含义，在整个教学过程中，始终注重的是学生的参与意识，注重学生对待学习的态度是否积极；注重引导学生从数学的角度去思考问题，让学生主动暴露思维过程，及时得到信息的反馈。我在课堂上，尽量留给学生更多的空间，更多的展示自己的机会，让学生在充满情感的、和谐的课堂氛围中，充分调动学生的非智力因素，特别是内在动机，让他们以强烈的求知欲和饱满的热情来学习新知识，在老师和同学的鼓励与欣赏中认识自我，找到自信，体验成功的乐趣，从而树立了学好数学的信心。9
