平方根一、学生起点分析学生在七年级上册学习“棋盘上的故事”就认识了一种运算“乘方”，并能熟练计算任何一个数的平方．知道正数的平方是正数，负数的平方是正数，0的平方是0．在七年级下册第六章《实数》的第一课时学习中又认识了算术平方根的概念和表示方法，已能求非负数的算术平方根．那么这一课时进一步学习平方根．本节也为后面学习“立方根”做基础．二、教学任务分析本节安排了两个课时完成．第一课时是了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．在具体的例子中抽象出概念，发展学生的抽象概括能力．本节课是第二课时，继续学习平方根的概念及其运用．并对“平方根”和“算术平方根”，“平方”和“开平方”的概念做辨析，使学生在“引导－探索－类比－发现”中发展学习数学的能力．为此，本节课的教学目标是①了解平方根、开平方的概念，明确算术平方根与平方根的区别和联系．②进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系．③经历平方根概念的形成过程，让学生不仅掌握概念，而且提高和巩固所学知识的应用能力．教学重点是①了解平方根、开平方的概念．②了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根．③了解平方根与算术平方根的区别与联系．教学难点是①平方根与算术平方根的区别和联系．②负数没有平方根，即负数不能进行开平方的运算．三、教学过程设计:本节课采用引导、探究、类比相结合的教学方法，设计了六个教学环节第一环节复习旧知引入新知；第二环节形成概念，辨析概念；第三环节例题和巩固练习；第四环节课堂小结；第五环节思维拓展；第六环节布置作业．第一环节复习旧知引入新知内容:方法一复习引入1．什么叫算术平方根?3的平方等于9，那么9的算术平方根就是3．6
的平方等于，那么的算术平方根就是______________． 展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长_7_米．2．到目前为止，我们已学过哪些运算?这些运算之间的关系如何？乘方有没有逆运算? 平方与算术平方根之间的关系？已知折叠着的正方形ABCD面积为1，则边长为__1___．将它扩展，若面积变为原来的2倍，那么它的边长为______；若面积变为原来的3倍，则边长为_________；若面积变为原来的n倍，则边长为________．方法二复习引入问题平方等于9，，49的数还有吗？目的:这一环节主要是复习旧知识和提出问题，由上节课的“算术平方根”的求法使学生能明白“平方”和“算术平方根”的关系，让学生在几何图形中认识．熟悉它们的互化关系．并把上节课的思考题制作成Flash情景引入，增加动画效果．效果借助多媒体吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣．说明数学知识源于生活，并服务于我们的生活．这两种方法通过生活中的具体问题激发学生的学习兴趣，并让他们产生解决问题的强烈愿望．第二环节:新课学习内容（一）探究新知填空3=(9)(－3)=(9)()=90=0 ()=() (不存在)=－4()=()（二）形成概念(1)一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．而把正的平方根叫做a的算术平方根．表达式为:若x=a，那么x叫做a的平方根．记作．6
例如:(±4)=16，则+4和－4都是16的平方根；即16的平方根是±4；4是16的算术平方根．（三）探索平方与开平方的关系:给出几组具体的数据，由平方探知开平方与平方的互逆关系．（四）概念辨析平方根与算术平方根的联系与区别联系1．包含关系平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种．2．只有非负数才有平方根和算术平方根．3．0的平方根是0，算术平方根也是0．区别1．个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根．2．表示法不同：平方根表示为，而算术平方根表示为．目的形成“平方根”的概念．在列举一些具体数据的感性认识基础上，由平方运算反推出平方根的概念和定义，并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化并，明白它们之间的互逆关系，辨析概念“平方根”与“算术平方根”的区别与联系，使之与上一节课紧密联系．效果由于遵循了从具体到抽象的过程，注重学生原有认知基础的回顾，并和原有的概念进行了比较与辨析，因此，学生对这一抽象的概念掌握得比较牢靠．说明平方根与算术平方根的区别是本节课的一大难点，也是学生经常容易出错的地方．对这两个概念加以比较与区别有利于学生的理解与掌握．第三环节例题和新知巩固（一）例题示范求下列各数的平方根:(1)64；(2)；(3)0.0004；(4)；(5)11解（1），，；（2），；（3），；（4），；（5）目的这是书上的例题，要求学生能正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达．能熟练地求出一个数的平方根，然后由题中的数据探索出正数、0、负数的平方根的个数．6
效果通过对例题的详解，学生能准确地书写表达，规范平方根的书写格式，掌握正确的符号化语言．（二）思考提升1．，的算术平方根是_____，的平方根是_____；2．，，，=_______；3．=，．（三）巩固练习1．下列说法正确的是①②25的平方根是5；③－36的平方根是－6；④平方根等于0的数是0；⑤64的平方根是8．2．下列说法不正确的是()．(A)0的平方根是0(B)的平方根是(C)非负数的平方根是互为相反数(D)一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数3．已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（）．(A)a+1(B)(C)+1(D)4．为何值，有意义？答因为，所以目的围绕本节课的重点知识（平方根）作适当的练习，在不同的变式练习中加深对平方根意义的理解．效果学生基本能顺利解决这些问题，并利用探索的规律进行规范的表达．第四环节课堂小结内容引导学生总结本课时的知识、方法．目的让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰，既巩固了有关知识，又培养了学生良好的学习习惯．效果在老师的引导下学生自己总结本节课的知识、方法，如平方根的概念若，则x叫a的平方根，6
平方根的个数正数有2个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．平方与开方之间的关系；求平方根的方法求一个数的平方根就是转化寻找哪个数平方等于这个数．第五环节提高训练内容1.的小数部分为a，的小数部分为b，求的值．2．已知实数a，b满足①若a，b为的两边，求第三边c的取值范围；②若a，b为的两边，第三边c等于5，求的面积．目的安排了两道题，其中最后一题是用算术平方根的意义来解决三角形的问题，这一环节主要针对层次较好的学生提供的题．可供老师根据教学的实际情况灵活处理．第六环节 作业布置习题2．４四、教学设计反思本节课是八年级上册第二章《平方根》的第二课时．主要知识是平方根的学习和运用．教材是教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整．（一）注重概念的形成过程，让学生在概念的形成的过程中，逐步理解所学的概念．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很必要的．所以在学习平方根的概念时，对正数有两个平方根学生不太容易接受，往往丢掉负的平方根，因为这与他们以前的经验不符．对此，在平方根的引入时，可多提一些具体的问题．如“9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9．还有其他的数，它的平方也是9吗？”等等，旨在引起学生的思考，让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念．再让学生去讨论一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？引导学生更深刻地理解平方根的概念，然后通过具体的求平方根的练习，巩固新学的概念．（二）鼓励学生进行探究和交流本节课为学生提供了有趣而富有数学含义的问题，让学生进行充分的探索和交流．如把正方形的面积不断的扩大为2倍、3倍、n倍，来引导学生充分进行交流、讨论与探索等数学活动，从中感受学习平方根的必要性．（三）设计之中多处运用类比的方法，使学生清楚新旧知识的区别和联系．类比概念“平方根”和“算术平方根”的区别和联系，“平方”和“开平方”运算．（四）根据学生实际，灵活使用教材教材上只安排了一道例题和几个想一想，为了让学生对新知巩固，我增加了部分练习题，围绕“平方根”这一知识点进行各种题型的变式练习．当然，选题要有层次，有梯度．老师们在进行教学时可以根据学生的实际情况作适当的取舍．6
（五）建议根据知识结构的逻辑关系与学生的认知规律，建议教材在内容安排上平方根置于算术平方根之前．6
