19.3正方形学习目标：1.探索并掌握正方形的性质，并了解正方形与矩形、菱形之间的联系.2.会判定一个四边形是正方形.3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.自主学习一、知识链接填表：性质判定方法矩形边：角：对角线：对称性：1.2.3.菱形边：角：对角线：对称性：1.2.3.二、新知预习阅读教材P119~120，完成下列问题：1.正方形的性质：（1）正方形是中心对称图形，也是轴对称图形.（2）四条边_________.（3）四个角都是_________.（4）对角线________且互相______________.2.正方形的判定：（1）矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？由此得出______________的矩形是正方形.（2）菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？一个角是_____由此得出______________的菱形是正方形.（3）平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
合作探究一、探究过程探究点1：正方形的性质例1如图，已知正方形ABCD，求∠ABD、∠DAC、∠DOC的大小．【针对训练】1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )A．45° B．55° C．60° D．75°分析：观察发现∠BFC＝∠AFE，∠AFE在△AEF中，而∠CAD＝45°，∠DAE＝60°，AE与AB构成等腰三角形，所以可以求出∠AEF的度数，从而求出结果．(或求出∠ABF的度数，直接利用三角形的外角也可求出)例2如图，△EBF为等腰直角三角形，点B为直角顶点，四边形ABCD是正方形．（1）求证：△ABE≌△CBF；（2）CF与AE有什么特殊的位置关系？请证明你的结论．【针对训练】2.如图，以正方形的中心O为顶点作一个直角，直角的两边分别交正方形的两边BC、DC于点E、F，问：（1）△BOE与△COF有什么关系？证明你的结论；（2）若正方形的边长为2，四边形EOFC的面积为多少？
探究点2：正方形的判定做一做：用一张矩形的纸片(如图所示)折出一个正方形．对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．那么如何判断一个四边形是正方形呢？【要点归纳】正方形的判定方法：1.有一个角是直角的菱形是正方形．2.有一组邻边相等的矩形是正方形．例3已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于点Q、点P．求证：四边形PQMN是正方形．分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM＝DN，用同样的方法证AN＝DP.即可证出MN＝NP.从而得出结论．二、课堂小结内容正方形的性质1.四条边都相等2.四个角都是直角3.对角线相等且互相垂直平分正方形的判定1.有一个角是直角的菱形是正方形．2.有一组邻边相等的矩形是正方形．当堂检测1.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（ ）A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm23.如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是________.第3题图第4题图
4.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形ABCD是正方形．5.如图6，已知点E为正方形ABCD的边BC上一点，连结AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G，延长DG交AB于点F.求证：BF=CE.参考答案自主学习一、知识链接性质判定方法矩形边：对边相等角：四个角都是直角对角线：相等且互相平分对称性：轴对称，中心对称1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.2.有三个角是直角的四边形是矩形.3.对角线相等的平行四边形是矩形.菱形边：四边都相等角：对角相等对角线：互相垂直平分对称性：轴对称，中心对称1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.四条边都相等的四边形是菱形.3.对角线互相垂直的四边形是菱形.二、新知预习1.(2)都相等（3）直角（4）相等垂直平分2.（1）一组邻边相等（2）一个角是直角合作探究一、探究过程探究点1：例1解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，∴∠ABD＝×90°＝45°，∠DAC＝45°.∠DOC＝90°.【针对训练】1.C例2证明：（1）∵等腰直角△EBF，∴BE=BF，∠EBF=90°.在正方形ABCD中，BA=BC，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠ABF=∠CBF+∠ABF=90°，∴∠ABE=∠CBF.在△ABE和△CBF中，∴△ABE≌△CBF（SAS）.
（2）CF⊥AE，理由：延长CF交AB于H，交AE于G.∵△ABE≌△CBF，∴∠BAE=∠BCF.∵∠BCF+∠BHC=90°，∴∠BAE+∠AHG=90°.∴∠AGH=90°，即CF⊥AE．【针对训练】2.解：（1）△BOE≌△COF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴OB=OC，OB⊥OC，∠OBC=∠OCD=45°．∵∠EOF=90°，∴∠BOE=90°-∠EOC=∠COF，且∠OBE=∠OCF.∴△BOE≌△COF（ASA）.（2）由（1）知：四边形EOFC的面积=S△BOC=S正方形ABCD=×4=1．探究点2：例3证明：∵PN⊥l1，QM⊥l1，∴PN∥QM，∠PNM＝∠QMN=90°.∵PQ∥NM，∴四边形PQMN是矩形．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠1＋∠2＝90°.又∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3.又∠AMB＝∠DNA=90°，∴△ABM≌△DAN(AAS).∴AM＝DN.同理，△CDP≌△DAN(AAS)，∴AN＝DP.∴AM＋AN＝DN＋DP，即MN＝PN.∴四边形PQMN是正方形．当堂检测1.D2.A3.22.5°4.AB=BC5.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA=AB=BC，∠DAF=∠B=90°.∴∠DAG+∠EAB=90°.∵DG⊥AE，∴∠DAG+∠FDA=90°.∴∠FDA=∠EAB.∴△DAF≌△ABE(ASA).∴AF=BE.∴AB-AF=BC-BE，即BF=CE.
