第9章多边形9.1三角形9.1.1认识三角形第2课时三角形中的重要线段学习目标：1．理解三角形的高、中线与角平分线的概念，了解三角形的稳定性．2．会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线．重点：三角形的高、中线与角平分线的特征．难点：三角形的高、中线与角平分线的应用．自主学习一、知识链接如图,按要求作图：（1）在左图中，过点P作线段AB的垂线PD和AB的中点E．则有______=_______．（2）在右图中，作出∠AOB的平分线OD，则有∠_____=∠______=____∠AOB．二、新知预习1．三角形的高：（1）小学我们已经学过三角形的高，在图①中作出△ABC的高AD．（2）自主归纳：①从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作_____，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高；②一个三角形有_____条高，请在图①中作出△ABC的另外两条高；③三角形的高是一条_____．图①图②图③画图略。2．三角形的中线：（1）如图②，连结△ABC的顶点A和它的边BC的中点D，类比三角形高线的定义，则所得的线段AD应叫做△ABC的边BC上的_______．并画出△ABC的其他中线．（2）自主归纳：第7页共7页
①在三角形中，连结一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的_____；②一个三角形有____条中线，每条中线都是一条______．3．三角形的角平分线：（1）如图③，你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗?（2）自主归纳①三角形角平分线定义：________________________________________________________________．②三角形的角平分线与角的平分线的区别是：____________________________________________________________________________________________________.③一个三角形有____条角平分线．4．用几何语言表示三角形的高、中线、角平分线：几何推理图例三角形的高∵AD是△ABC的高，∴①______⊥______，②∠ADB=______=______°．三角形的中线∵CE是△ABC的中线，∴AE=______=______AB．三角形的角平分线∵BF为△ABC的角平分线，∴①∠1=∠______=______∠ABC．②∠ABC=______∠1=______∠2．三、自学自测按要求画出下列三角形的中线、高线、角平分线．ADGHBCEFI画中线AD，BE，CF画高DG，EH，FM画角平分线GM，HN，IP四、我的疑惑__________________________________________________________________________________________合作探究一、要点探究探究点1：三角形的高做一做：请在下图中分别画出△ABC的高线．第7页共7页
ABCABC【归纳总结】三角形的高或其延长线相交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的顶点上，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部．典例精析例1如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值．方法总结：面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积（但不求出面积），利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解．探究点2：三角形的中线问题1：任意作一个三角形，画出它的三条中线，观察它们的交点，有什么结论？问题2：如图，AD为△ABC的中线，猜想△ABD与△ACD的面积关系，并证明．问题3：求△ABD与△ACD的周长之差，你有什么发现？【归纳总结】①三角形的三条中线相交于一点；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；③三角形的中线将三角形分成两个小三角形,它们的周长之差等于它们与大三角形的公共边的边长之差．典例精析例2如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF-S△BEF的值．第7页共7页
方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．探究点3：三角形的角平分线例3如图，DC平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠ECD的度数．二、课堂小结三角形的有关线段三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段．三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．一条中线把三角形分为面积相等的两个小三角形，它们的周长之差等于它们与大三角形的公共边的边长之差．三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点与交点的线段．第7页共7页
当堂检测1．画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是（ ）（建议作为第1题）ABCD2．如图，△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有（ A．2条B．3条C．4条D．5条3．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，有以下等式：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是（ ）A．①②B．③④C．①④D．②③第2题图第3题图4．下列说法正确的是（ ）A．三角形三条高都在三角形内B．三角形三条中线相交于一点C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外D．三角形的角平分线是射线5．看图填空：（1）∵BE是△ABC的角平分线，∴______=______=______．（2）∵CF是△ABC的角平分线，∴∠ACB=2________=2________E第5题图第6题图6．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC=3cm2，则S△ABC=______cm2．7．在△ABC中，CD是中线，已知BC-AC=5cm，△DBC的周长为25cm，求△ADC的周长．第7页共7页
答案自主学习一、知识链接（1）作图略.AE，BE（2）作图略.AOD，BOD，二、新知预习（1）作图略.①垂线②3③作图略.垂线段2(1)中线(2)①中线②3线段3．三角形的角平分线：(1)作图略.(2)三角形的一个角的平分线与这个内角的对边相交,连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线③34．AD，BC∠ADB，∠ADC，90°BE，∠2，22三、自学自测解图略.合作探究一、要点探究探究点1：三角形的高解：图略.典例精析例1解：根据垂线段最短，当BP⊥AC时，BP的值最小.根据三角形的面积法可知：×BC×AD＝×AC×BP，所以有×6×4=×5×BP，得BP=4.8.即BP的最小值是4.8.探究点2：三角形的中线问题1：三角形的三条中线相交于一点.问题2解：面积相等。因为AD为△ABC的中线，所以有BD=CD.又因为△ABD与△ACD同底等高，所以△ABD与△ACD的面积相等.问题3：解：因为△ABD的周长为AB+AD+BD,△ACD的周长为AD+CD+AC.因为BD=CD,所以△ABD与△ACD的周长之差为AB—AC.典例精析例2解：∵点D是AC的中点，∴AD=AC，∵S△ABC=12，∴S△ABD=S△ABC=×12=6．∵EC=2BE，S△ABC=12，∴S△ABE=S△ABC=×12=4，∵S△ABD-S△ABE=（S△ADF+S△ABF）-（S△ABF+S△BEF）=S△ADF-S△BEF即S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE=6-4=2.探究点3：三角形的角平分线解：因为DE∥BC，所以∠AED=∠ACB=80°.又因为DC平分∠ACB，所以∠ACD=∠DCB.所以∠ECD=40°.当堂检测第7页共7页
1.C2.B 3.B4.D5．（1）∠ABE∠CBE∠ABC（2）∠ACF∠BCF6．127．解：因为△DBC的周长=DB+DC+BC,△ADC的周长为DA+AC+DC,所以△DBC的周长—△ADC的周长为DB+DC+BC-（DA+AC+DC）.又因为CD是中线，所以AD=BD.所以△DBC的周长—△ADC的周长=BC-AC=5cm.所以△ADC的周长=△DBC的周长-5cm=20cm.第7页共7页
