第2课时完全平方公式11.3公式法第十一章因式分解
学习目标1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．（重点）2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．（难点）
导入新课复习引入1.因式分解：把一个多项式转化为几个整式的积的形式.2.我们已经学过哪些因式分解的方法？1.提公因式法2.平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)
讲授新课用完全平方公式分解因式一你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？同学们拼出图形为：aabbabababa²b²ab
这个大正方形的面积可以怎么求？a2+2ab+b2（a+b）2=ababa²ababb²（a+b）2a2+2ab+b2=将上面的等式倒过来看，能得到：
a2+2ab+b2a2－2ab+b2我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫作完全平方式.观察这两个式子：（1）每个多项式有几项？（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？三项这两项都是数或式的平方，并且符号相同是第一项和第三项底数的积的±2倍
完全平方式的特点：1.必须是三项式（或可以看成三项的）；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的±2倍.完全平方式:
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.2ab+b2±=(a±b)²a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
3.a²+4ab+4b²=()²+2·()·()+()²=()²2.m²-6m+9=()²-2·()·()+()²=()²1.x²+4x+4=()²+2·()·()+()²=()²x2x+2aa2ba+2b2b对照a²±2ab+b²=(a±b)²，填空：mm-33x2m3
下列各式是不是完全平方式？（1）a2－4a+4;（2）1+4a²;（3）4b2+4b-1;（4）a2+ab+b2;（5）x2+x+0.25.是（2）因为它只有两项；不是（3）4b²与-1的符号不统一；不是分析：不是是（4）因为ab不是a与b的积的2倍.
例1如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是()A.11B.9C.-11D.-9B解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3),故可知N=(-3)2=9.变式训练如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.解析：∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.±8典例精析
本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．方法总结
例2分解因式：（1）16x2+24x+9；（2）-x2+4xy-4y2.分析：(1)中，16x2=(4x)2,9=3²,24x=2·4x·3,所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+(3)2.2ab+b2a2(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为-(x2-4xy+4y2),然后再利用公式分解因式.
解：(1)16x2+24x+9=(4x+3)2；=(4x)2+2·4x·3+(3)2(2)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.
练一练下把下列各式分解因式：(1)t2+22t+121；(2)m2+n2-mn.(2)m2+n2-mn=m2-2·m·n+(n)2=(m-n)2.解：(1)t2+22t+121=t2+2×11t+112=(t+11)2.
例3把下列各式分解因式：(1)3ax2+6axy+3ay2；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.解:(1)原式=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2；分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.(2)原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2.
练一练：把下列各式分解因式：(1)ax2+2a2x+a3；(2)-x2-y2+2xy；解：(1)ax2+2a2x+a3=a(x2+2ax+a2)=a(x+a)2.先提出公因式a(2)-x2-y2+2xy=-(x2-2xy+y2)=-(x-y)2.先提出公因式-1
解：(3)(x+y)2-4(x+y)+4=(x+y)2-2·(x+y)·2+22=(x+y-2)2.(4)(3m-1)2+(3m-1)+=(3m-1)2+2·(3m-1)·+()2=(3m-)2(3)(x+y)2-4(x+y)+4；(4)(3m-1)2+(3m-1)+.把(x+y)看成一个整体把(3m-1)看成一个整体
当多项式有公因式时，应先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解；完全平方公式中的a、b，既可以是单项式，也可以是多项式，把多项式看成一个整体即可.方法总结
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.概念学习
例4把下列完全平方公式分解因式：(1)1002－2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.解：(1)原式=（100－99)²(2)原式＝(34＋16)2本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算，=1.＝2500.
例5已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．＝112＝121.解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，∴x－2＝0，y－5＝0，∴x＝2，y＝5，∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.
此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答问题．方法总结
当堂练习1.下列四个多项式中，能因式分解的是()A．a2＋1B．a2－6a＋9C．x2＋5yD．x2－5y2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是()A．4xy(x－y)－x3B．－x(x－2y)2C．x(4xy－4y2－x2)D．－x(－4xy＋4y2＋x2)3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．BB14.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________．±4
5.把下列多项式因式分解.（1）x2－12x+36;（2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1;(3)y2+2y+1－x2;(2)原式=[2(2a+b)]²－2·2(2a+b)·1+(1)²=(4a+2b－1)2;解：(1)原式=x2－2·x·6+(6)2=(x－6)2;(3)原式=(y+1)²－x²=(y+1+x)(y+1－x).
(2)原式6.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.解：(1)原式＝(38.9－48.9)2＝100.
7.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)小聪和小明的解答过程如下：他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.x2－2x＋3.(2)原式＝(x2－6x＋9)＝(x－3)2解:(1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2小聪:小明:××
8.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．原式＝2×52＝50.解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.当a－b＝3时，原式＝32＝9.(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.当ab＝2，a＋b＝5时，
课堂小结完全平方公式分解多项式完全平方公式：a2+2ab+b2=()2a2-2ab+b2=()2多项式的特征另一项是这两整式的______的_____倍.注意事项有公因式时，应先提出_______.公因式a+ba-b可化为____个整式.有两项符号_____,能写成两个整式的_________的形式.三相同平方和乘积2运用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法叫做公式法.
