专题08 还原与对消——方程的解与解方程阅读与思考解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、得方程的解．我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)地解方程．方程的解是方程理论中的一个重要概念，对于方程解的概念，要学会从两个方面去运用：1．求解：通过解方程，求出方程的解，进而解决问题．2．代解：将方程的解代入原方程进行解题．当方程中的未知数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为ax＝b的形式，其方程的解由a，b的取值范围确定．字母a，b的取值范围确定或对解方程的过程并未产生实质性的影响，其解法同数字系数的一次方程解法一样；当字母a，b的取值范围未给出时，则需讨论解的情况，其方法是：(1)当a≠0时，原方程有唯一解x＝；(2)当a＝0且b＝0时，原方程有无数个解；(3)当a＝0，b≠0时，原方程无解；例题与求解[例1] 已知关于x的方程3[x－2(x－)]＝4x和－＝1有相同的解，那么这个解是______．(北京市“迎春杯”竞赛试题)解题思路：建立关于a的方程，解方程．[例2] 已知a是任意有理数，在下面各说法中(1)方程ax＝0的解是x＝1(2)方程ax＝a的解是x＝1(3)方程ax＝1的解是x＝(4)方程|a|x＝a的解是x＝±1结论正确的个数是()．A．0B．1C．2D．3(江苏省竞赛试题)解题思路：给出的方程都是含字母系数的方程，注意a的任意性．[例3] a为何值时，方程＋a＝－(x－12)有无数多个解？无解？解题思路：化简原方程，运用方程ax＝b各种解的情况所应满足的条件建立a的关系式．[例4] 如果a，b为定值时，关于x的方程＝2＋，无论k为何值时，它的根总是1，求a，b的值．(2013年全国初中数学竞赛预赛试题)解题思路：利用一元一次方程方程的解与系数之间的关系求解．[例5] 已知p，q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px＋5q＝97的解是1，求代数式p2－q的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题)解题思路：用代解法可得到p，q的关系式，进而综合运用整数相关知识分析．[例6] (1)在日历中(如图①)，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a，则用含a的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是______．(2)现将连续自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数(如图②)．①图中框出的这16个数的和是______；②在右图中，要使一个正方形框出的16个数之和等于2000，2004，是否可能？若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．图①日一二三四五六678910111212345131415161718192021222324252627282930 2003200419971999200020012002…………3637383940414219962930313233343522232425262728151617181920218910111213141234567图②(湖北省黄冈市中考试题)解题思路：(1)等差数列，相邻两数相差7．(2)①经观察不难发现，在这个方框里的每两个关于中心对称的数之和都等于44．如31与13，11与33，17与27都成中心对称的．于是易算出这16个数之和．②设框出的16个数中最小的一个数为a，用a表示出16个数之和，若算出的a为自然数，则成立；不为自然数，则不可能．能力训练A级1．若关于x的方程(k－2)x|k－1|＋5k＝0是一元一次方程，则k＝______；若关于x的方程(k＋2)x2＋4kx－5k＝0是一元一次方程，则方程的解x＝______．2．方程x－[x－(x－)]＝(x－)的解是______．(广西赛区选拔赛试题)3．若有理数x，y满足(x＋y－2)2＋|x＋2y|＝0，则x2＋y3＝______．(“希望杯”邀请赛试题)4．若关于x的方程a(2x＋b)＝12x＋5有无数个解，则a＝______，b＝______．(“希望杯”邀请赛试题)5．已知关于x的方程9x－3＝kx＝14有整数解，那么满足条件的所有整数k＝______．(“五羊杯”竞赛试题)6．下列判断中正确的是()．A．方程2x－3＝1与方程x(2x－3)＝x同解B．方程2x－3＝1与方程x(2x－3)＝x没有相同的解C．方程x(2x－3)＝x的解都是方程2x－3＝1的解D．方程2x－3＝1的解都是方程x(2x－3)＝x的解7．方程＋＋…＋＝1995的解是()．A．1995B．1996C．1997D．19988．若关于x的方程＝0的解是非负数，则b的取值范围是()．A．b＞0B．b≥0C．b≠2D．b≥0且b≠2(黑龙江省竞赛试题)9．关于x的方程a(x－a)＋b(x＋b)＝0有无穷多个解，则()．A．a＋b＝0B．a－b＝0C．ab＝0D．＝010．已知关于x的一次方程(3a＋8b)x＋7＝0无解，则ab是()．A．正数B．非正数C．负数D．非负数(“希望杯”邀请赛试题)11．若关于x的方程kx－12＝3x＋3k有整数解，且k为整数，求符合条件的k值．(北京市“迎春杯”训练题)12．已知关于x的方程＋a＝x－(x－6)，当a取何值时，(1)方程无解？(2)方程有无穷多解？(重庆市竞赛试题)B级1．已知方程2(x＋1)＝3(x－1)的解为a＋2，则方程2[2(x＋3)－3(x－a)]＝3a的解为______．2．已知关于x的方程＝的解是x＝2，其中a≠0且b≠0，则代数式－的值是______．3．若k为整数，则使得方程(k－1999)x＝2001－2000x的解也是整数的k值有______个．(“希望杯”邀请赛试题)4．如果＋＋＋…＋＝，那么n＝______．(江苏省竞赛试题)5．用※表示一种运算，它的含义是A※B＝＋，如果2※1＝，那么3※4＝______．(“希望杯”竞赛试题)6．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是______克．巧克力果冻50g砝码第6题图(河北省中考试题)7．有四个关于x的方程①x－2＝－1②(x－2)＋(x－1)＝－1＋(x－1)③x＝0④x－2＋＝－1＋其中同解的两个方程是()．A．①与②B．①与③C．①与④D．②与④8．已知a是不为0的整数，并且关于x的方程ax＝2a3－3a2－5a＋4有整数解，则a的值共有()．A．1个B．3个C．6个D．9个(“希望杯”邀请赛试题)9．(1)当a取符合na＋3≠0的任意数时，式子的值都是一个定值，其中m－n＝6，求m，n的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题)(2)已知无论x取什么值，式子必为同一定值，求的值．(“华罗庚杯”香港中学竞赛试题)10．甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出后，甲队人数是乙队人数的k(k是不等于1的正整数)倍还多6人，问乙队原有多少人？(上海市竞赛试题)11．下图的数阵是由77个偶数排成：第11题图……………………………………14214414614815015215430323436384042161820222426282468101214用一平行四边形框出四个数(如图中示例)．(1)小颖说四个数的和是436，你能求出这四个数吗？(2)小明说四个数的和是326，你能求出这四个数吗？专题08还原与对消----方程的解与解方程例1提示：两方程的解分别为x＝a和x＝，由题意知a＝，得a＝.从而可以得到x＝a＝×＝.例2A提示：当a＝0时，各题结论都不正确.例3提示：原方程化为0x＝6a－12（1）当6a－12＝0，即a＝2时，原方程有无数个解.（2）当6a－12≠0，即a≠2时，原方程无解．例4原方程整理可得：(4x＋b)k＝12＋x－a．∵无论k为何值时，它的根总是1．∴x＝1且k的系数为0．∴4＋b＝0，13－2a＝0．∴，．例5提示：把x＝1代入方程px＋5q＝97，得p＋5q＝97，故p与5q之中必有一个数是偶数（1）若p＝2，则5q＝95，q＝19，；（2）若5q是偶数，则q＝2，p＝87，而87不是质数，与题设矛盾，舍去；因此．例5（1）a－7，a，a＋7；aa＋1a＋2a＋3a＋7a＋8a＋9a＋10a＋14a＋15a＋16a＋17a＋21a＋22a＋23a＋24（2）①44×8＝352；②设框出的16个数中最小的一个数为a，则这16个数组成的正方形方框如右图所示，因为框中每两个关于正方形的中心对称的数之和都等于2a＋24，所以这16个数之和为8×（2a＋24）＝16a＋192．当16a＋192＝2000时，a＝113；当16a＋192＝2004时，a＝113.25．∵a为自然数，∴a＝113.25不合题意，则框出的16个数之和不可能等于2004，由长方形阵列的排列可知，a只能在1，2，3，4列，则a被7整除的余数只能是1，2，3，4．因为113＝16×7＋1，所以，这16个数之和等于2000是可能的．这时，方框涨最小的数是113，最大的数是113＋24＝137．A级1．0；2．x＝03．84．6；5．10；26；8；－8提示：，能被17整除，则，或6．D7．B提示：原方程化为8．D9．A10．B11．原方程的解为，显然k－3＝±1，±3，±7，±21，即k＝4，2，6，0，－4，10，24，－18．12．提示：原方程化为（1）当a＝－1时，方程无解；（2）当a＝1时，方程有无穷多解．B级1．10.52．提示：当x＝2时，代入得．3．16提示：为整数，2001＝1×3×23×29，故k可取±1，±3，±23，±29，±3×23，±3×29，±23×29，±22001共16个值．4．2003提示：＝，得．5．提示：，解得x＝8．6．207．A8．C9．（1）取a＝0，则；取a＝1，则，得，又，解得，．（2）令x＝0，则；令x＝1，则，得，即，故．10．设乙队原有x人，则80＝k(x＋16)＋6，解得．∵x必须为正整数且k≠1，∴，，得出k＝2或37，只有当k＝2时，x＝21人．11．（1）能，这四个数分别是100，102，116，118．（2）不能．
