专题13位置确定——平面直角坐标系阅读与思考在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．从而坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系．利用平面直角坐标系是确定位置的有效方法之一，解与此相关的问题需注意：（1）理解点的坐标意义；（2）熟悉象限内的点、坐标轴上的点、对称轴的坐标特征；（3）善于促成坐标与线段的转化．例题与求解【例1】（1）已知点A(2a＋3b，－2)和B(8，3a＋2b)关于x轴对称，那么＝______________．(四川省中考试题)（2）在平面直角坐标系中，若点M(1，3)和点N(x，3)之间的距离为5，则x的值是____________．(辽宁省沈阳市中考试题)解题思路：对于（1）纵坐标互为相反数，对于（2），M，N在平行于x轴的直线上787．【例2】如图的象棋盘中，“卒”从A点到B点，最短路径共有()A．14条B．15条C．20条D．35条(全国初中数学竞赛预赛试题)解题思路：以点A为起点，逐渐地寻找到达每一个点的不同走法的种数，找到不同走法的规律．例2题图例3题图【例3】如图，已知OABC是一个长方形，其中顶点A，B的坐标分别为(0，a)和(9，a)，点E在AB上，且，点F在OC上，且．点G在OA上，且使△GEC的面积为20，△GFB的面积为16，试求a的值．（“创新杯”竞赛试题）解题思路：把三角形的面积用a表示，列出等式进而求出a的值．【例4】如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为：A(0，0)，B(7，0)，C(9，5)，D(2，7)．（1）在坐标系中，画出此四边形．（2）求此四边形的面积．（3）在坐标轴上，你能否找一个点P，使？若能，求出P点坐标；若不能说明理由．解题思路：对于（2），过C，D两点分别向x轴，y轴引垂线，由坐标得到相关线段．对于（3），由于P点位置不确定，故需分类讨论．【例5】如果将电P绕顶点M旋转1800后与点Q重合，那么称点P与点Q关于电M对称，定点M叫作对称中心，此时，点M是线段PQ的中点，如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为(1，0)，(0，1)，(0，0)，点，，，…中相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，…对称中心分别是A，B，C，A，B，C，…且这些对称中心依次循环，已知的坐标是(1，1)．试写出点，，的坐标．（江苏省南京市中考试题）解题思路：在操作的基础上，探寻点的坐标变化规律．【例6】如图①，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，现同时将点A，B分别向上平移2个单位．再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD．（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积．（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使，若存在这样一点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由．（3）如图②，点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO．当点P在BD上移动时（不与B，D重合），的值是否变化？若不变，求其值．解题思路：（1）由平移知C(0，2)，D(4，2)．另求出四边形面积．（2）设OP＝h，用h表示出可求出h的值．若为整数，则是y轴上的点，若不是，则说明该点不存在．能力训练A级1．如图，△AOB绕点O逆时针旋转900，得到，若点A的坐标为(a，b)，则点的坐标为______.（吉林省中考试题）1．△ABC的坐标系中的位置如图所示，若与△ABC关于y轴对称，则点A的对应点的坐标为______.（山东省青岛市中考试题）3．线段CD是由线段AB平移得到的，点A(－1，4)的对应点为C(4，7)，则点B(－4，－1)的对应点D的坐标是____________.（内蒙古包头市中考试题）4．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点．其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(3，2)，(3，1)，(3，0)，…，根据这个规律探究可得，第100个点的坐标为____________.（四川省德阳市中考试题）5．若点A(－2，n)在x轴上，则点B(n－1，n＋1)在()．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限（江西省南昌市中考试题）6．若点M(a＋2，3－2a)在y轴上，则点M的坐标是()．A.(－2，7)B.(0，3)C.(0，7)D.(7，0)（重庆市中考试题）7．如图，若平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是()．A.(3，7)B.(5，3)C.(7，3)D.(8，2)（江苏省南京市中考试题）8．如果点P(m，1－2m)在第四象限，那么m的取值范围是()．A.B.C.D．（陕西省中考试题）9．如图，已知A(8，2)，B(2，2)，E，F在AB上且∠EOA＝∠EAO，OF平分∠BOE．（1）求∠FOA．（2）若将A点向右平移，在平移过程中∠OAB:∠OEB的值是否发生变化？请说明理由．10．如图，智能机器猫从平面上的O点出发，按下列规律走：由O向东走12cm到，再由向北走24cm到，由向西走36cm到，由向南走18cm到，由向东走60cm到，…，问：智能机器猫到达点与O点的距离是多少？（“华罗庚金杯”数学竞赛试题）11．中国象棋棋盘中蕴含这平面直角坐标系，如右图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规律是沿“日”形的对角线走．例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点A，B处．（1）如果“帅”位于点(0，0)，“相”位于点(4，2)，则“马”所在的点的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为．（2）若“马”的位置在C点，为了达到D点，请按“马”走的规律，在图中画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示．（浙江省舟山市中考试题）B级1．点A(－3，2)关于原点的对称点为B，点B关于x轴的对称点为C，则点C的坐标为______.（广西壮族自治区竞赛试题）2．在平面直角坐标系中，已知A(3，－3)，点P是y轴上一点，则使△AOP为等腰三角形的点P共有______个．（内蒙古自治区包头市中考试题）3．如图，在直角坐标系中，已知点A(－3，0)，B(0，4)，且AB＝5，对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为______．（浙江省嘉兴市中考试题）4．若关于x，y的方程组的解为坐标的点(x，y)在第二象限，则符合条件的实数m的范围是()．A.B.C.D．（四川省竞赛试题）5．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a，b)，若规定以下三种变换：①．如；②．如；③．如．按照以上变换由：，那么等于()．A.(－5，－3)B.(5，3)C.(5，－3)D．(－5，3)（山东省济南市中考试题）6．设平面直角坐标系的轴以1cm作为长度单位，△PQR的顶点坐标为P(0，3)，Q(4，0)，R(k，5)，其中，若该三角形的面积为8cm2，则k的值是()．A.1B.C.2D．E．（澳洲数学竞赛试题）7．如图，四边形ABCO各个顶点的坐标分别为(－2，8)，(－11，6)，(－14，0)，(0，0)．（1）求这个四边形的面积．（2）若把原来四边形ABCO各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增大a，则所得的四边形面积又是多少？8．如图，平面直角坐标系中A(－2，0)，B(2，－2)，线段AB交轴于点C．（1）求点C的坐标．（2）若D(6，0)，动点P从D点开始在x轴上以每秒3个单位向左运动，同时，动点Q从C点开始在y轴上以每秒1个单位向下运动．问：经过多少秒钟，？9．某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第K棵树种植在处，其中，当时，表示非负实数a的整数部分，例如，按此方案，求第2009棵树种植点的坐标．（浙江省杭州市中考试题）10．如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－1，0)，现将点A向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到点A的对应点B，点C的坐标为(3，2)．（1）判断BC与x轴的位置关系，并求出△ABC的面积．（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PC，使，若存在这样的点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由．（3）如图②所示，点D是线段AC上的一个动点，过D作DE⊥AC交x轴于点E，过E点作∠DEF＝∠DEA交AC于F点，试求出∠ACB与∠1之间的数量关系，并证明你的结论．专题13位置确定——平面直角坐标系例1（1）2提示：由题意知，解得，故a+b=(－2)+4=2．（2）6或－4提示：由题意知|1－x|=5，解得x=6或－4．例2D提示：如右图，从点A出发，每次向上或向右走一步，到达每一点的最短路径条数如图中所标数字，如：到达点P，Q的最短路径条数分别为2和3，以此类推，到达点B的最短路径条数为35条．例3如图：设G点坐标为（0，b），b>0，因为S长方形OABC－SΔGEC=SΔOGC+SΔAGE+SΔBEC，所以9a－20=，解得．同理，由S长方形OABC－SΔGFB=SΔABG+SΔOGF+SΔBFC，得，解得3a=32－6b．把代入上式中，得3a=72－9a，解得a=6例4（1）略（2）S四边形ABCD=44（3）①当点P在x轴上，设P（x,0)．∴PB=|x－7|，∴．∴x=27或－13．∴P1（27，0），P2（－13，0）．②当P点在y轴上，延长CB交y轴于E点，过点C作CF⊥y轴于F．设E（0，yE），，．又，解得．，设P（0，y)，当P点在E点上方时，PE=y+，∴，解得；当P点在E点下方时，PE=，∴，解得．综上：P1（27，0），P2（－13，0），P3（0，），P4（0，）满足题意．例5点P7与点P1重合，6个点构成一个循环，P2（1，－1），P7（1，1）．∵100=6×16+4，∴点P100与点P4坐标相同，为（1，－3）．例6（1）由平移知C（0，2），D（4，2）．S四边形ABCD=4×2=8．（2）∵SΔPAB=S四边形ABDC=8，设OP=h，则．又AB=4，∵AB=4，，解得h=4．故点P的坐标为（0，4）或（0，－4）．（3）∵CD∥AB，∴∠OPC=∠DCP+∠POB，的值为1．A级1．（－b，a)2．（4，2）3．（1，2）4．（14，8）提示：第一列1个点，第二列2个点，……，前13列一共个点，第100个点位于第14列第9个点，坐标为（14，8）．5．B6．C7．C8．D9．（1）∠FOA=22．50．（2）会变化．A点向右平移，∠OEB不会发生变化，但∠OAB会变化．10．依规律第6次由A5向北走72cm到A6，OP=12－36+60=36cm，PA6=24－48+72=48cm，OA62=OP2+PA62=362+482=602，得OA6=60cm，即A6与O点的距离为60cm．11．(1)(－3，0)（1，3）（3，1）（2）略B级1．（3，2）提示：由题意知，点B坐标为（3，－2），点B关于x轴的对称点C的坐标为（3，2）．2．43．（36，0）提示：图形摆放形状每3个一循环，第10个图形与第1个图形摆放形状相同，横坐标为（4+5+3）×3=36．4．B5．B6．B7．两个四边形面积都为808．（1）由面积公式可知：C（0，－1）．（2）设经过t秒后，．∴PA=|8－3t|，则，OQ=1+t，则×1=1+t，解之得或10.9．根据题意知，当k=6,11,16，21，…时，，当k(k≥2)取其他值时，；所示横坐标xk值有如下规律：x1=1,x2=xl+1=2，x3=x2+1=3,x4=x3+1=4,x5=x4+15;x6=x5+1-5=1;x7=x6+1=2;x8=x7+1=3;x9=x8+1=4;x10=x9+1=5;x11=x10+1-5=1;x12=x11+1=3;x13=x12+1=3；x14=x13+1=4;x15=x14+1=5；…因为2009÷5=401×5+4，所以x2009=x4=4.对于纵坐标有如下规律：y2=y3=y4=y5=y1=1,y6=y5+1=2y7=y8=y9=y10=y6=2,y11=y10+1=3;yl2=yl3=y14=y15=y11=3,y16=y15+1=4;y17=yl8=yl9=y20=y16=4,y21=y20+1=5;...所以y5(n-1)+1=n（n≥1，n为整数）．令5(n-l)d+l=2009，解得，又因为n是整数，所以y2009=402．即第2009棵树种植点的坐标为(4，402).10.(1)∵B(0,2),C(3,2),∴BC∥x轴，又∵BC=3，∴.(2).∴,即,∴PB=1．又∵B点坐标为(0，2)，∵P点坐标为(0，1)或(0，3).(3)∠1=2∠ACB，理由如下：∵∠ACB+∠AED=∠CAE+∠AED=90°，两边同时乘以2得：2∠ACB+2∠AED=180°．又∵∠1+2∠AED=180°，∴∠1=2∠ACB．
