专题25图形面积的计算阅读与思考计算图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一，它包括两种主要类型：1.常见图形面积的计算由于一些常见图形有计算面积的公式，所以，常见图形面积一般用公式来解.2.非常规图形面积的计算非常规图形面积的计算通常转化为常见图形面积的计算，解题的关键是将非常规图形面积用常规图形面积的和或差来表示.计算图形的面积还常常用到以下知识：（1）等底等高的两个三角形面积相等.（2）等底的两个三角形面积的比等于对应高的比.（3）等高的两个三角形面积的比等于对应底的比.（4）等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积.（5）三角形一边上的中线平分这个三角形的面积.（6）平行四边形的对角线平分它的面积.熟悉如下基本图形：例题与求解【例1】如图，在直角△ABC的两直角边AC，BC上分别作正方形ACDE和CBFG.AF交BC于W，连接GW，若AC=14，BC=28，则S△AGW=______________．(2013年“希望杯”全国数学邀请赛试题)解题思路：△AGW的面积可以看做△AGF和△GWF的面积之差.【例2】如图，已知△ABC中的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF.四边形BDCE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为()A．3B．4C．5D．6（2013年全国初中数学竞赛广东试题）解题思路：设△ABC底边BC上的高为.本例关键是通过适当变形找出和DE之间的关系．【例3】如图，平行四边形ABCD的面积为30cm2，E为AD边延长线上的一点，EB与DC交于F点，已知三角形FBC的面积比三角形DEF的面积大9cm2，AD=5cm，求DE长.（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：由面积求相关线段，是一个逆向思维的过程，解题的关键是把条件中图形面积用DE及其它线段表示．【例4】如图，四边形ABCD被AC与DB分成甲、乙、丙、丁4个三角形，已知BE=80cm，CE=60cm，DE=40cm，AE=30cm，问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？（“华罗庚杯”竞赛决赛试题）解题思路：甲、乙、丙、丁四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解本例的突破口.【例5】如图，△ABC的面积为1，D，E为BC的三等分点，F，G为CA的三等分点，求四边形PECF的面积.解题思路：连CP，设S△PFC=，S△PEC=，建立，的二元一次方程组.【例6】如图，E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，DE与AF交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC.求梯形APCQ的面积与平行四边形ABCD的面积的比值．（2013年”希望杯“数学邀请赛试题）解题思路：连接EF，DF，AC，PB，设S□ABCD=，求得△APQ和△CPQ的面积.能力训练A级1.如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O.过点O的直线分别交AD，BC于E，F，则阴影部分面积是______.（海南省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6平方厘米，则长方形ABCD的面积是_____________平方厘米.（“希望杯”邀请赛试题）3.如图，ABCD是边长为的正方形，以AB，BC，CD，DA分别为直径画半圆，则这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是____________.（安徽省中考试题）4.如图，已知AB，CD分别为梯形ABCD的上底、下底，阴影部分总面积为5平方厘米，△AOB的面积是0.625平方厘米，则梯形ABCD的面积是_________平方厘米.（“祖冲之杯”邀请赛试题）5.如图，长方形ABCD中，E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=，则长方形ABCD的面积是阴影部分面积的()倍.A.2B.3C.4D.56.如图，是一个长为，宽为的长方形，两个阴影图形都是一对长为的底边在长方形对边上的平行四边形，则长方形中未涂阴影部分的面积为().A.B.C.D.7．如图，线段AB=CD=10cm，和是弧长与半径都相等的圆弧，曲边三角形BCD的面积是以D为圆心、DC为半径的圆面积的，则阴影部分的面积是()．A．25πB.100C.50πD.200（“五羊杯”竞赛试题）8．如图，一个大长方形被两条线段AB、CD中分成四个小长方形，如果其中图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为8，6，5，那么阴影部分的面积为()．A.B.C.D．9．如图，长方形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的任一点，△ABG，△DCH的面积分别为15和20，求阴影部分的面积.（五城市联赛试题）10.如图，正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，已知正方形BEFG的边长为4，求△DEK的面积．（广西壮族自治区省南宁市中考试题）B级1.如果图中4个圆的半径都为，那么阴影部分的面积为_____________.（江苏省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD中，E是BC上的一点，F是CD上的一点，若三角形ABE的面积是长方形ABCD面积的，三角形ADF的面积是长方形ABCD面积的，三角形CEF的面积为4cm2，那么长方形ABCD的面积是_________cm2.（北京市“迎春杯”邀请赛试题）3.如图，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积为___________________.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图，若正方形APHM，BNHP，CQHN的面积分别为7，4，6，则阴影部分的面积是_____.(“五羊杯”竞赛试题）5.如图，把等边三角形每边三等分，使其向外长出一个边长为原来的的小等边三角形，称为一次“生长”，在得到的多边上类似“生长”，一共“生长”三次后，得到的多边形的边数=________，面积是原三角形面积的______倍.(“五羊杯”竞赛试题）6.如图，在长方形ABCD中，AE=BG=BF=AD=AB=2，E，H，G在同一条直线上，则阴影部分的面积等于().A.8B.12C.16D．207.如图，边长分别为8cm和6cm的两个正方形，ABCD与BEFG并排放在一起，连接EG并延长交AC于K，则△AKE的面积是().A.48cm2B.49cm2C.50cm2D．51cm2（2013年“希望杯”邀请赛试题）8.在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S1，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S2，则的整数部分是().A.0B.1C.2D．3（全国初中数学联赛试题）9.如图，△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD=2DC，S△GEC=3，S△GDC=4，则△ABC的面积是().A.25B.30C.35D．4010.已知O（0，0），A（2，2），B（1，a），求a为何值时，S△ABO=5？11.如图，已知正方形ABCD的面积为1，M为AB的中点，求图中阴影部分的面积.（湖北省武汉市竞赛试题）12.如图，△ABC中，.求的值.（“华罗庚金杯”邀请赛试题）专题25图形面积的计算例1196提示：×28×（28+14）-×28×28=×28×14=28×7=196.例2D提示：设△ABC底边上的高为h，则×BC×h=24故h====.设△ABC底边DE上的高为，△BDE底边DE上的高为，则h=.∴=+=+）===6.例32cm.提示：设△ABE的AE边上的高为hcm，DE长为xcm，则，解得DE=2.例4提示：,,,.例5，.设，则，于是①+②，得，∴，即.例6设，因为E,F分别是AB,BC的中点，所以.∴.如图，连接EF,DF，则.所以.设，则.由得.∴.∴.连接AC，又∵AQ∥PC，，∴.∴.连接PB，则.由，得.∴，从而，.于是.∴.A级1.提示：,.2.48.3.4.15.625.5.B.6.C.7.B.8.C.9.35提示:连接EF，,.10.解法一：将△DEK的面积转化为规则图形的面积之和或差.如图,延长AE交PK的延长线于点H.设正方形ABCD，正方形PKPF的边长分别a，b.则===16.解法二：运用等积变形转化问题，连接DB,GE,FK.则∠DBA=∠GEB=45°,∴DB∥GE,得，同理GE∥FK，得.∴.B级1.（或）.2.120提示：设AB=a，AD=b，CE=c，CF=d.则BE=b-c-，DF=a-d，c=b，d=a，cd=8.3.18.75（≈3）.4.8.5提示：连HD.5.48提示：“生长”n次后得到边形，面积为原面积的倍.6.B.7.B提示：过点K作KH⊥AB.∵AB=8，BE=6，∴AE=8+6=14.又∵∠KAE=∠KEA=45°,∴KH=AE=7..8.B提示：根据正方形的对称性，只需考虑它的部分即可.9.B.10.⑴当a＞1时，即B在OA上方时，如图.，∴，解得a=6.⑵当0≦a＜1时，即B在OA于x轴之间时，依题意，有，解得a=-4（不合题意，舍去）.⑶当a＜0时，即B在x轴下方时，有，解得a=-4.综上所述，当a=-4或a=6时，.1..∵为公共部分,∴.又因为△AMG与△AMD的高的高相等（以A为顶点作高），△MCG与△MCD的高相等（以C为顶点作高），∴,即，解得：.∴.连BG，设,，.则解得同理可得：又S，得.∴故.
