专题06有理数的计算阅读与思考在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算． 数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速度．有理数的计算常用的技巧与方法有：1．利用运算律．2．以符代数．3．裂项相消．4．分解相约．5．巧用公式等．例题与求解【例1】已知m，n互为相反数，a，b互为负倒数，x的绝对值等于3，则的值等于______________．（湖北省黄冈市竞赛试题）解题思路：利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算．【例2】已知整数满足，且，那么等于（）A．0B．10C．2D．12（江苏省竞赛试题）解题思路：解题的关键是把25表示成4个不同的整数的积的形式．【例3】计算：（1）（“祖冲之杯”邀请赛试题）（2）；（江苏省泰州市奥校竞赛试题）（3）．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1），若先计算每个分母值，则掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于（2），由于相邻的后一项与前一项的比都是7，考虑用字母表示和式；（3）中裂项相消，简化计算．【例4】都是正整数，并且，．(1)证明：，；(2)若，求和的值．（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）解题思路：（1）对题中已知式子进行变形．（2）把（1）中证明得到的式子代入，再具体分析求解．【例5】在数学活动中，小明为了求的值（结果用表示），设计了如图①，所示的几何图形．（1）请你用这个几何图形求的值．（2）请你用图②，在设计一个能求的值的几何图形．（辽宁省大连市中考试题）解题思路：求原式的值有不同的解题方法，二剖分图形面积是构造图形的关键．【例6】记，令称为这列数的“理想数”，已知的“理想数”为2004．求的“理想数”．（安徽省中考试题）解题思路：根据题意可以理解为为各项和，为各项和的和乘以．能力训练A级1．若互为相反数，互为倒数．，的值为____________．（湖北省武汉市调考试题）2．若，则=___________．（“希望杯”邀请赛试题）3．计算：（1）＝________________；（2）＝__________________．4．将1997减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，，依次类推，直至最后减去余下的，最后的答案是_______________．（“祖冲之杯”邀请赛试题）5．右图是一个由六个正方体组合而成的几何体，每个小正方体的六个面上都分别写着－1，2，3，－4，5，6六个数字，那么图中所有看不见的面上的数字和是___________．（湖北省仙桃市中考试题）6．如果有理数满足关系式，那么代数式的值（）A．必为正数B．必为负数C．可正可负D．可能为0（江苏省竞赛试题）7．已知有理数两两不相等，则，，中负数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．0个或2个（重庆市竞赛试题）8．若与互为相反数，则＝（）A．0B．1C．－1D．1997（重庆市竞赛试题）9．如果，，则的值是（）A．2B．1C．0D．-1（“希望杯”邀请赛试题）10．若是互为不相等的整数，且，则等于（）A．0B．4C．8D．无法确定11．把，3.7，，2.9，4.6分别填在图中五个Ο内，再在每个□中填上和它相连的三个Ο中的数的平均数，再把三个□中的平均数填在△中．找出一种填法，使△中的数尽可能小，并求这个数．（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）12．已知都不等于零，且的最大值为，最小值为，求的值．B级1．计算：＝________________．（“五羊杯”竞赛试题）2．计算：＝________________．（“希望杯”邀请赛试题）3．计算：＝____________________．4．据美国詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类的知识总量已达到每三年翻一翻，到2020年甚至要达每73翻番空前速度，因此，基础教育任务已不是“教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习”．已知2000年底，人类知识总量，假入从2000年底2009年底每3年翻一翻；从2009年底到2019年底每1年翻一番；2020年是每73天翻一翻．（1）2009年底人类知识总量是：__________________；（2）2019年底人类知识总量是：__________________；（3）2020年按365天计算，2020年底类知识总量会是____________________．（北京市顺义区中考试题）5．你能比较和的大小吗？为了解决这个问题，我们首先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是自然数），然后我们从分析n=1，n=2，n=3…中发现规律，经归纳、猜想得出结论（1）通过计算，比较下列各组中两数的大小：（在横线上填写“＞”“=”“＜”）①，②；③；④；⑤（2）从第（1）题的结果中，经过归纳，可以猜想出与的大小关系是_____________________________________________________________________________；（3）根据以上归纳．猜想得到的一般结论，试比较下列两数的大小_____：．（福建省龙岩市中考试题）6．有2009个数排成一列，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和．若第一个数是1，第二个数是－1，则这个2009个数的和是（）A．－2B．－1C．0D．2（全国初中数学竞赛海南省试题）7．如果，那么的值为（）A．－1B．1C．D．不确定（河北省竞赛试题）8．三进位制数201可用十进制数表示为；二进制数1011可用十进制法表示为．前者按3的幂降幂排列，后者按2的幂降幂排列，现有三进位制数，二进位制数，则与的大小关系为（）．A．B．C．D．不能确定（重庆市竞赛试题）9．如果有理数满足，则（）A．B．C．D．（“希望杯”邀请赛试题）10．有1998个互不相等的有理数，每1997个的和都是分母为3998的既约真分数，则这个1998个有理数的和为（）A．B．C．D．（《学习报》公开赛试题）11．观测下列各式：，，．．．回答下面的问题：（1）猜想＝______________．（直接写出你的结果）（2）利用你得到的（1）中的结论，计算的值．（3）计算①的值；②的值．专题06有理数的计算例128或-26例2D提示：abcd=5×1×（-1）×（-5），a=-5，b=1，c=-1，d=-5.例3（1）提示：==.（2）提示：设s=，则7s=（3）原式=+=1+1-=2-=例4（1）A===同理B=由A-B=-==得∴m==13-，又∵m，n均为正整数，∴13+n为13×13的因数，∴13+n=∴n156，m=12.例5（1）原式=1-，（2）例6由题意知，即.又∴=2004×500.故8，，，…，的“理想数“为””==2008.A级1.2提示：原式==1+1=2.2.2提示：M-1+，解得M=2.3.（1）；（2）-84.1提示：设a=1997，由题意原式==5.-136.B7.B提示：不妨设x>y>z.8.B9.D10.A11.提示：设○内从右到左填的数分别为，，，，则△内填的数为.要使△中填的数尽可能小，则，，分别为2，9，3，7，而剩下的两个为，.12.1998提示：时，m=4；时，n-4.B级1.612.5提示：倒叙相加.2.6提示：3.4.（1）（2）（3）5.（1）略（2）当n<3时，；当n≥3时，（3）>001-00076.A提示：先写出前面一些数：1，－1，－2，－1，1，2，1，－1，…，经观察发现每6个数为一次循环，又2009＝334×6＋5.而每一组中1＋（－1）＋（－2）＋（－1）＋1＋2＝0，故这2009个数的和，等于最后五个数之和.为1＋（－1）＋（－2）＋（－1）＋1＝－2.7.A8.A9.A10A11.（1）×π2×（n＋1）2（2）原式＝×1002×（100＋1）2＝25502500（3）①原式＝×100×（100＋1）2－×102×（10＋1）2＝25499475;②原式＝23×（13＋23＋33＋…＋493＋503）＝23××502×（50＋1）2＝13005000.
