专题01整式的乘除阅读与思考指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：，，，，，．学习指数运算律应注意：1．运算律成立的条件；2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式；3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是：1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐；3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．例题与求解【例1】（1）若为不等式的解，则的最小正整数的值为．（“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）（2）已知，那么．（“华杯赛”试题）（3）把展开后得，则．（“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）若则．（创新杯训练试题）解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．\n【例2】已知，，则等于（）A．2B．1C．D．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：为指数，我们无法求出的值，而，所以只需求出的值或它们的关系，于是自然想到指数运算律．【例3】设都是正整数，并且，求的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：设，这样可用的式子表示，可用的式子表示，通过减少字母个数降低问题的难度．【例4】已知多项式，求的值．解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法．【例5】是否存在常数使得能被整除？如果存在，求出的值，否则请说明理由．解题思路：由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数），根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出的值，所谓是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．\n【例6】已知多项式能被整除，求的值．（北京市竞赛试题）解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．本题关键是能够通过分析得出当和时，原多项式的值均为0，从而求出的值．当然本题也有其他解法．能力训练A级1．（1）．（福州市中考试题）（2）若，则．（广东省竞赛试题）2．若，则．3．满足的的最小正整数为．（武汉市选拔赛试题）4．都是正数，且，则中，最大的一个是．（“英才杯”竞赛试题）5．探索规律：，个位数是3；，个位数是9；，个位数是7；，个位数是1；，个位数是3；，个位数是9；…那么的个位数字是，的个位数字是．（长沙市中考试题）6．已知，则的大小关系是（）A．B．C．D．7．已知，那么从小到大的顺序是（）A．B．C．D．（北京市“迎春杯”竞赛试题）8．若，其中为整数，则与的数量关系为（）A．B．C．D．（江苏省竞赛试题）\n9．已知则的关系是（）A．B．C．D．（河北省竞赛试题）10．化简得（）A．B．C．D．11．已知，试求的值．12．已知．试确定的值．13．已知除以，其余数较被除所得的余数少2，求的值．（香港中学竞赛试题）\nB级1．已知则=．2．（1）计算：=．（第16届“希望杯”邀请竞赛试题）（2）如果，那么．（青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题）3．（1）与的大小关系是（填“＞”“＜”“＝”）．（2）与的大小关系是：（填“＞”“＜”“＝”）．4．如果则=．（“希望杯”邀请赛试题）5．已知，则．（“五羊杯”竞赛试题）6．已知均为不等于1的正数，且则的值为（）A．3B．2C．1D．（“CASIO杯”武汉市竞赛试题）7．若，则的值是（）A．1B．0C．—1D．28．如果有两个因式和，则（）A．7B．8C．15D．21（奥赛培训试题）9．已知均为正数，又，，则与的大小关系是（）A．B．C．D．关系不确定10．满足的整数有（）个A．1B．2C．3D．4\n11．设满足求的值．12．若为整数，且，，求的值．（美国犹他州竞赛试题）13．已知为有理数，且多项式能够被整除．（1）求的值；（2）求的值；（3）若为整数，且．试比较的大小．（四川省竞赛试题）\n专题01整式的乘除例1(1)(n2)100＞(63)100，n2＞216，n的最小值为15．(2)原式＝x2(x2＋x)＋x(x2＋x)－2(x2＋x)＋2005＝x2＋x－2＋2005＝2004(3)令x＝1时，a12＋a11＋a10＋…＋a2＋a1＋a0＝1，①令x＝－1时，a12–a11＋al0－…＋n2－al＋a0＝729②由①＋②得：2(a12＋al0＋a8＋…＋a2＋a0)＝730．∴a12＋a10＋a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝365．(4)所有式子的值为x3项的系数，故其值为7．例2B提示：25xy＝2000y，①80xy＝2000x，②①×②，得：(25×80)xy＝2000x＋y，得：x＋y＝xy．例3设a＝m4，b＝m5，c＝n2，d＝n3，由c－a＝19得，n2－m4＝19，即(n＋m2)(n－m2)＝19，因19是质数，n＋m2，n－m2是自然数，且n＋m2＞n－m2，得，解得n＝10，m＝3，所以d－b＝103－35＝757例4－提示：由题意知：2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6＝2x2＋3xy－2y2＋(2m＋n)x＋(2n－m)y＋mn．∴，解得，∴＝－倒5提示：假设存在满足题设条件的p，q值，设(x4＋px2＋q)＝(x2＋2x＋5)(x2＋mx＋n)，即x4＋px2＋q＝x4＋(m＋2)x3＋(5＋n＋2m)x2＋(2n＋5m)x＋5n，得，解得，故存在常数p，q且p＝6，q＝25，使得x4＋px2＋q能被x2＋2x＋5整除．例6解法1∵x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，∴2x4－3x3＋ax2＋7x＋b能被(x＋2)(x－1)整除，设商是A．则2x4－3x3＋ax2＋7x＋b＝A(x＋2)(x－l)，则x＝－2和x＝1时，右边都等于0，所以左边也等于0．当x＝－2时，2x4－3x3＋ax2＋7x＋b＝32＋24＋4a－14＋b＝4a＋b＋42＝0，①当x＝1时，2x4－3x3＋ax2＋7x＋b＝2－3＋a＋7＋b＝a＋b＋6＝0．②①－②，得3a＋36＝0，∴a＝－12，∴b＝－6－a＝6．∴＝＝－2解法2列竖式演算，根据整除的意义解\n∵2x4－3x3＋ax2＋7x＋b能被x2＋x－2整除，∴，即，∴＝－2A级1．(1)－5(2)532．83．74．65．796．A7．D提示：a＝(25)11，b－(34)11，c＝(53)11，d＝(62)118．A9．B10．C11．480012．a＝4．b＝4，c＝113．提示：令x3＋kx2＋3＝(x＋3)(x2＋ax＋6)＋r1，x3＋kx2＋3＝(x＋1)(x2＋cx＋d)＋r2，令x＝－3，得r1＝9k－24．令x＝－1，得r2＝k＋2，由9k－24＋2＝k＋2，得k＝3．B级1．2．(1)提示：原式＝×＝×＝(2)123．(1)＜1516＜1615＝264，3313＞3213＝265＞264．(2)＞提示：设32000＝x．4．45．512提示：令x＝±2．6．C提示：由条件得a＝c－3，b＝c2，abc＝c－3·c2·c＝17．C8．D9．C提示：设a2＋a3＋…a1996＝x，则M＝（a1＋x）(x＋a1997)＝a1x＋x2＋a1a1997＋a1997x．N＝(a1＋x＋a1997)x＝alx＋x2＋a1997x．M＝N＝a1a1997＞0．10．D11．由ax2＋by2＝7，得(ax2＋by2)(x＋y)＝7(x＋y)，即ax3－ax2y＋bxy2＋by3＝7(x＋y)，(ax3＋by3)－xy(ax＋by)－7(x＋y)．∴16＋3xy＝7(x＋y)．①由ax3＋by3＝16，得(ax3＋by3)(x＋y)＝16(x＋y)，即ax4＋ax3y＋bxy3＋by4＝16(x＋y)，（ax4＋by4)＋xy(a＋b)＝16(x＋y）．∴42＋7xy＝16(x＋y）．②由①②可得，x＋y＝－14，xy＝－38．由a＋b＝42，得（a＋b）（x＋y）＝42×（－14），（a＋b）＋xy（a＋b）＝－588，＋16×（－38）＝－588．\n故＝20．12．两边同乘以8得＋＋＋＝165．∵x＞y＞z＞w且为整数，∴x＋3＞y＋3＞z＋3＞w＋3，且为整数．∵165是奇数，∴w＋3＝0，∴w＝－3．∴＋＋＝164．∴＋＋＝41，∴z＋1＝0，∴z＝－1．∴＋＝40．两边都除以8得：＋＝5．∴y－2＝0，∴y＝2．∴＝4．∴x－2＝2，∴x＝4．∴＝＝1．13．（1）∵（x－1）（x＋4)＝＋3x－4，令x－1＝0，得x＝1；令x＋4＝0，得x＝－4．当x＝1时，得1＋a＋b＋c＝0；①当x＝－4时，得－64＋16a－4b＋c＝0．②②－①，得15a－5b＝65，即3a－b＝13．③①＋③，得4a＋c＝12．（2）③－①，得2a－2b－c＝14．（3）∵c≥a＞1，4a＋c＝12，a，b，c为整数，∴1＜a≤，则a＝2，c＝4．又a＋b＋c＝－1，∴b＝－7，．∴c＞a＞b．
