专题02乘法公式阅读与思考乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：1．熟悉每个公式的结构特征；2．正用即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用；3．逆用即将公式反过来逆向使用；4．变用即能将公式变换形式使用；5．活用即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．例题与求解【例1】1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是．（全国初中数字联赛试题）解题思路：因，而的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．【例2】（1）已知满足等式，则的大小关系是()A．B．C．D．（山西省太原市竞赛试题）（2）已知满足，则的值等于（）A．2B．3C．4D．5（河北省竞赛试题）解题思路：对于（1），作差比较的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．\n【例3】计算下列各题：（1）；（天津市竞赛试题）（2）；（“希望杯”邀请赛试题）（3）．解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．【例4】设，求的值．（西安市竞赛试题）解题思路：由常用公式不能直接求出的结构，必须把表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．【例5】观察：（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算的结果（用一个最简式子表示）．（黄冈市竞赛试题）解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．\n【例6】设满足求：（1）的值；（2）的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．能力训练A级1．已知是一个多项式的平方，则．（广东省中考试题）2．数能被30以内的两位偶数整除的是．3．已知那么．（天津市竞赛试题）4．若则．5．已知满足则的值为．（河北省竞赛试题）6．若满足则等于．7．等于（）A．B．C．D．8．若，则的值是（）A．正数B．负数C．非负数D．可正可负9．若则的值是（）A．4B．19922C．21992D．41992（“希望杯”邀请赛试题）\n10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？（“CASIO”杯全国初中数学竞赛试题）11．设，证明：是37的倍数．（“希望杯”邀请赛试题）12．观察下面各式的规律：写出第2003行和第行的式子，并证明你的结论．\nB级1．展开式中的系数，当1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出的值为．（《学习报》公开赛试题）112113311464115101051…………………3913第2题图2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为，则的值为．（天津市竞赛试题）3．已知满足等式则．4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为．（全国初中数学联赛试题）5．已知，则多项式的值为（）A．0B．1C．2D．36．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（）A．16种B．14种C．12种D．10种（北京市竞赛试题）7．若正整数满足，则这样的正整数对的个数是（）A．1B．2C．3D．4（山东省竞赛试题）8．已知，则的值是（）A．3B．9C．27D．81（“希望杯”邀请赛试题）9．满足等式的整数对是否存在？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．\n10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数．（天津市竞赛试题）11．若，且，求证：．12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？（浙江省中考试题）\n专题02乘法公式例173提示：满足条件的整数是奇数或是4的倍数．例2（1）Bx－y＝（＋4a＋a）＋（－8b＋16）＝＋≥0，x≥y．（2）B3个等式相加得：＋＋＝0，a＝3，b＝－1，c＝1．a＋b＋c＝3－1＋1＝3．例3（1）（2）4（3）－5050例4提示：由a＋b＝1，＋＝2得ab＝－，利用＋＝（＋）（a＋b)－ab(＋)可分别求得＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝．例5（1）设n为自然数，则n（n＋1)(n＋2)(n＋3）＋1＝（2）由①得，2000×2001×2002×2003＋1＝．例6（1）设－②，得ab＋bc＋ac＝，∵－3abc＝（a＋b＋c）（－ab－bc－ac），∴abc＝（）－（a＋b＋c）（－ab－bc－ac）＝×3－×1×（2＋）＝．（2）将②式两边平方，得∴＝4－2＝4－2＝．A级1．0或62．26，283．24．405．346．07．D8．A9．C\n10.原有136或904名学生．设m，n均为正整数，且m＞n，①－②得（m＋n）（m－n）＝240＝．，都是8的倍数，则m，n能被4整除，m＋n，m－n均能被4整除．得或，∴或8x＝－120＝904或8x＝－120＝136．11.因为a＝＋－2＝（－1）＋（－1）＝999999999＋37×（＋38＋1），而999999999＝9×111111111＝9×3×37037037＝27×37×1001001＝37×（27×1001001）．所以37|999999999，且37|37×（＋38＋1），因此a是37的倍数．12.第2003行式子为：＝．第n行式子为：＝．证明略B级1．1．0942．76提示：由13＋a＝9＋b＝3＋c得a－b＝－4，b－c＝－6，c－a＝103．134．1565．D6.C提示：（x＋y）（x－y）＝2009＝7×7×41有6个正因数，分别是1，7，41，49，287和2009，因此对应的方程组为：故（x，y）共有12组不同的表示．7．B8．C9．提示：不存在符合条件的整数对（m，n），因为1954不能被4整除．\n10．设所求两位数为，由已知得＝（k为整数），得而得或解得或，即所求两位数为65，5611.设,则由得③②③,得,即或分别与联立解得或12.(1),故28和2012都是神秘数（2）为4的倍数（3）神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数.,故两个连续奇数的平方差不是神秘数
