专题05一元二次方程的整数根阅读与思考解一元二次方程问题时，我们不但需熟练地解方程，准确判断根的个数、符号特征、存在范围，而且要能深入地探讨根的其他性质，这便是大量出现于各级数学竞赛中的一元二次方程的整数根问题。这类问题因涵盖了整数的性质、一元二次方程的相关理论，融合了丰富的数学思想方法而备受命题者的青睐..解整系数（即系数为整数）一元二次方程的整数根问题的基本方法有：1．直接求解若根可用有理式表示，则求出根，结合整除性求解.2．利用判别式在二次方程有根的前提下，通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举讨论、不等分析求解3．运用根与系数的关系由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解.4．巧选主元若运用相关方法直接求解困难，可选取字母为主元，结合整除知识求解.例题与求解【例1】已知关于的方程的解都是整数，求整数的值.（绍兴市竞赛试题）解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定的值才能全面而准确.【例2】为质数且是方程的根，那么的值是（）A．B．C．D．（黄冈市竞赛试题）解题思路：设法求出的值，由题设条件自然想到根与系数的关系\n【例3】关于的方程的整数解的组数为（）A．2组B．3组C．4组D．无穷多组解题思路：把看作关于的二次方程，由为整数得出关于的二次方程的根的判别式是完全平方数，从而确定的取值范围，进而求出的值.【例4】试确定一切有理数，使得关于的方程有根且只有整数根.（全国初中数学联赛试题）解题思路：因方程的类型未确定，故应分类讨论.当时，由根与系数的关系得到关于的两个不等式，消去，先求出两个整数根.【例5】试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数.（全国初中数学联赛试题）解题思路：设前后两个两位数分别为，，则，即，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题.【例6】试求出所有这样的正整数解，使得二次方程至少有一个整数根.（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：本题有两种解法.由于的次数较低，可考虑“反客为主”，以为元，以为已知数整理成一个关于的一元一次方程来解答；或考虑因方程根为整数，故其判别式为平方式.\n能力训练A级1．已知方程有两个质数根，则(江苏省竞赛题)2．已知一元二次方程（是整数）有两个不相等的整数根，则(四川省竞赛题)3．若关于的一元二次方程和的根都是整数，则整数的值为__________4．若正整数，且一元二次方程的两个根都是正整数，则的值等于______________.5．两个质数恰是的整系数方程的两个根，则等于（）A．B．C．D．6．若的两个根都是整数，则可取值的个数是（）A．2个B．4个C．6个D．以上结论都不对7．方程恰有两个整数根，则的值是（）A．B．C．D．（北京市竞赛试题）8．若都是整数，方程的相异两根都是质数，则的值为（）（太原市竞赛试题）A．100B．400C．700D．10009．求所有的实数，使得方程的根都是整数.（“祖冲之”邀请赛试题）10．已知关于的方程和，是否存在这样的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的值；若不存在，请说明理由.（湖北省选拔赛试题）\n11．若关于的方程至少有一个整数根，求整数的值.（上海市竞赛试题）12．已知为整数，且是关于的方程的两个根，求的值.（全国初中数学联赛试题）B级1．已知，并且二次方程的根都是整数，则其最大根是___________.2．若关于的二次方程只有整数根，则.（美国数学邀请赛试题）3．若关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数的值有_________个.4．使方程的两根都是整数的所有正数的和是______________.（上海市竞赛题）5．已知方程（其中为非零实数）至少有一个整数根，那么.（全国初中数学联赛试题）6．设方程有两个不同的奇数根，则整数的值为____________（《学习报》公开赛试题）7．若，且有及，则的值为（）A．B．C．D．8．若方程有一个正跟，和一个负根，由以为根的二次方程为（）A．B．\nC．D．9．设关于的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数的值.（全国初中数学联赛试题）10．当为何有理数时，恰为两个连续的正偶数的乘积？（山东省竞赛题）11．是否存在质数使得关于的一元二次方程有有理数根？（全国初中数学竞赛试题）12．已知关于的方程组只有一组解且为整数解，其中均为整数且，满足，（1）求的值；（2）求的值及它对的的值.\n专题05一元二次方程的整数根例1当k=4时，x=1；当k=8时，x=-2；当k≠4且k≠8时，，，可得k=6或k=4,6,8或12．例2C例3C提示：方程变形为关于x的二次方程，且是完全平方数，得∴,∴,,,.例4①若，则不是整数；②，设方程的两根为，则，，于是有，解得或则或.例5由得,即,时,方程有实数解.由于必须是完全平方数,而完全平方数的末位数字可能为0,1,4,5,6,9,故仅可取25,此时或,,故所求的四位数为2025或3025.例6解法一:因的次数较低,故将方程整理为关于的一次方程,得,显然,于是,∵是正整数,,即,化简得,解得.当时,∵是正整数,故的值为1,3,6,10.解法二:为完全平方数,故为奇数的平方.令,是正整数,则,于是,原方程可化为,即,解得,,∴或得或,故的值位1,3,6,10.A级1.39942.13.14.19845.D6.B7.C8.D9.①当时，则，即为所求；②时,则,得\n,由此可得.10.提示:方程①,方程②根为,注意讨论.11.12.由韦达定理，得①，②，，，为正整数.由②得,即,故,得，，代入①，即只有满足条件.B级1.982.49,32,27,25,24,-25,8,-3,-1,0.3.5提示:当时,解得.当时,解得.当时,解得.当时,是整数，这时；当时，是整数，这时.综上所述,时,原方程的解为整数.4.提示:将原方程整理为关于的二次方程,,讨论枚举.5.1,3,5提示:,.6.-2,或-67.A提示:与时方程的两个不相等的实数根.8.C9.解得，，故，，消去得，，即，求得.10.设两连续正偶数为,则有,即,为有理数,则为完全平方数,令,也即,\n于是得,或解得或,相应的方程的解为或与或.总之,当或时,恰为两个整数8或10,或者46或48的乘积.11.令(为非负数),即.∵且奇偶性相同,则①,②,③,④,⑤；消去分别得：，，，，，对于第1、3种情形，对于第2、5种情形，（不合题意，舍去）；对于第四种情形，为合数（舍去）.又当时，方程为.12.(1),则是一元二次方程的两根,故,即,又∵且为整数,则,∴.(2)由条件得,又∵原方程只有一组解,当时,,∴符合条件,此时；当时，，解得，∴，即，∴，∴，符合条件，此时=1。综上知：k=0，x=0，y=1或k=1，x=1，y=-1。
