专题11是偶然还是必然—概率初步阅读与思考统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据，并在此基础上作出推断的学科．在自然界和人类社会中，严格确定性的现象十分有限，不确定性现象却是大量存在的，而概率正是对随机现象的一种数学描述．数学中用概率来表示事件发生的机会大小，概率是一个比值，用字母P表示，计算公式是：事件发生的概率P=在具体的计算中，常用到树形图、列表、穷举等方法．统计与概率互为基础，概率这一概念是建立在概率这一统计量稳定性的基础上的，而推断、估计等统计方法的科学性有赖于概率理论的严密性．例题与求解【例1】一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8．同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是．（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）解题思路：用列表法列出所有情形．【例2】一项“过关游戏”规定：在第n关要掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关；否则不算过关．现有下列说法：①过第一关是必然事件；②过第二关的概率是；③可以过第四关；④过第五关的概率大于0．其中，正确说法的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个解题思路：对于（2），在理解“过关”意义的基础上，逐步计算相关概率．\n【例3】如图，用红、蓝、黄三色将图中区域A，B，C，D染色，要求有公共边界的相邻区域不能染相同的颜色，则满足区域A恰好染蓝色的概率为．解题思路：用树形图列出所有可能情形，或从整体考虑．【例4】小明准备给小陈打电话，由于保管不善，电话本上的小陈手机号码中，有两个数字已模糊不清．如果用x，y表示这两个看不清的数字，那么小陈的手机号码为139x370y580（手机号码由11个数字组成），小明记得这11个数字之和是20的整数倍．求小明一次拨对小陈手机号码的概率．解题思路：建立关于x，y的不定方程，由此可得x，y可能的对应值的所有情况．【例5】杨华与李红用五张相同规格的硬币纸片做拼图游戏．硬纸片正面如下图1所示，背面完全一致．将它们背面朝上洗匀后，同时抽出两张．规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分；当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，李红得1分；问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？解题思路：游戏对双方公平是指双方积分相同．解题的关键是分别求出杨华、李红的得分．\n【例6】一个正三角形ABC的每一个角各有一只蚂蚁，每只蚂蚁开始朝另一只蚂蚁做直线运动，目标角是随机选择．求蚂蚁不相撞的概率．（微软公司招聘面试试题）解题思路：三只蚂蚁在每个角上都有两种选择的方向（顺时针或逆时针），因每只蚂蚁选择的不确定性，故组成的各种情形似乎繁杂．出题用意就在于考查应试者摒除习惯因素的干扰、切中要害、化繁为简的能力．能力训练A级1．如图1，图中有一个黑球，图2有3个同样大小的球叠成的图形，最下一层的2个球为黑色，其余为白色；图3为6个同样大小的球叠成德图形，最下一层的3个球为黑色，其余为白色；…则从第n个图中随机取一个球，是黑球的概率为．（株洲市中考试题）2．有四张正面分别标有数字-3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将他们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程有正整数解的概率为．（重庆市中考试题）3．小丁、小明、小倩在一起做游戏时，需要确定做游戏的先后顺序．他们约定用“剪刀、布、锤子”的方式确定．那么，在一个回合中三个人都出“布”的概率是．（海南省中考试题）4．对于平面内任意一个凸四边形ABCD，现从以下四个关系式①AB=CD；②AD=BC；③AB//CD；④∠A=∠C中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是．（广州市中考试题）\n5．在0，1，2三个数中任取两个，组成两位数，则在组成的两位数中是奇数的概率为（）A．B．C．D．（泰安市中考试题）6．从分别写有数字1，2，3，4，5的五张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率为（）A．B．C．D．（全国初中数学联赛试题）7．经过某十字路口的汽车，可能继续直行，也可能向左或向右转．若这三种可能性大小相同，则两汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为（）A．B．C．D．（呼和浩特市中考试题）8．盒子里有十个球，每个球上写有1～10中的一个数字，不同的球上数字不同，其中两个球上的数字之和可能是3，4，…，19．现从盒中随意取两个球，这两个球上的数之和最有可能出现的是（）A．2B．10C．11D．209．一个口袋中有三个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，……不断重复上诉过程．小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（）A．18个B．15个C．12个D．10个（青岛市中考试题）10．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮同学随机地在大正方形及其内部区域投针．若直角三角形的两条直角边长分别是2和1，则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是（）A．B．C．D．（临沂市中考试题）\n11．有四张卡片（背面完全相同），分别写有数字1，2，-1，-2．把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张，记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字．用字母b，c分别表示甲、乙两同学抽出的数字．（1）用列表法求关于x的方程有实数解的概率；（2）求（1）中方程有两个相同实数解的概率．12．将背面完全相同，正面分别写有数字1，2，3，4的四张卡片混合后，小明从中随机地抽取一张，把卡片上的数字作为被减数；将形状、大小完全相同，分别标有数字1，2，3的三个小球混合后，小华从中随机地抽取一个，把小球上的数字作为减数，然后计算出这两个数的差．（1）请你用画树形图或列表的方法，求这两个数差为0的概率；（2）小明与小华做游戏，规则是：若这两数的差为非负数，则小明赢；否则，小华赢．你认为该游戏公平吗？请说明理由．如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平．（重庆市中考试题）B级1．一只盒子中有红球m个，白球10个，黑球n个，每个球除颜色外都相同．从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同．那么，m与n的关系是．（山东省竞赛试题）2．某广场地面铺满了边长为36cm的正六边形地砖．现在向上抛掷半径为cm的圆碟，圆碟落地后与地砖间的间隙不相交的概率大约是．（太原市竞赛试题）3．甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100m接力跑比赛．如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么，恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（）A．B．C．D．（浙江省竞赛试题）\n4．一条绳子被任意割成两段，较长的一段至少是较短的一段的x倍的概率为（）A．B．C．D．E．（美国高中数学考试题）5．把一颗六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数的图象与轴有两个不同交点的概率是（）A．B．C．D．（全国初中数学竞赛试题）6．长为1，2，3，4，5的线段各一条，从这五条线段中任取三条，能构成钝角三角形的概率为（）A．B．C．D．7．一张数学游戏在两个同学甲、乙之间进行．裁判在黑板上先写出正整数2，3，…，2006，然后随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中的一个数，然后甲再擦去另一个数，如此下去）．若最后剩下的两个数互质，则判甲胜；否则，判乙胜．按照这种游戏规则，求甲获胜的概率．（四川省竞赛试题）8．任意选择一对有序整数(b，c)，其中每一个整数的绝对值小于或等于5，每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的．求方程没有相异正实根的概率．（美国高中数学考试题）9．袋中有数字卡片九张，其数字分别为1～9．若随机一次抽出三张，求被抽出的卡的数字全是奇数的概率．（香港中学数学竞赛试题）\n10．将20个球放入两个袋中，每袋10个球，各袋中的球分别标上自然数1～10，其中一袋中的球全是白色，另一袋中的球全为黑色．若从两个袋中任意各取一个球，求白球上的数比黑球上的数大的概率．（香港中学生数学竞赛试题）11．如图，将三枚相同的硬币依次放入一个4×4的正方形格子中（每个正方形格子只能放一枚硬币）．求所放的三枚硬币中，任意两个都不同行且不同列的概率．（四川省竞赛试题）12．在一个口袋中有n个小球，其中两个是白球，其余为红球，这些球的形状、大小、质地完全相同．在看不到球的情况下，从袋中随机地取出一个球．（1）若取出的是红球的概率为，求n的值；（2）在（1）的条件下，把这n个球中的两个标号为1，其余分别标号为2，3，…，n-1，随机地取出一个小球后不放回，再随机地取出一个小球，请用列表法或树形图求第二次取出的小球标号大于第一次取出的小球标号的概率；（3）若第（2）问去掉“在（1）的条件下”，且第二次取出的小球标号大于第一次取出的小球标号的概率为，求n的值．\n专题11是偶然还是必然一概率初步例1P（朝上的面两数之和为7）==，例2B提示：①②③正确.例3由树形图知，共有12种不同的染色情形，其中，A处染蓝色共有4种情形，所求概率为=.例4手机号码的数字之和为，设36+x+y=20k(k为正整数)，则x+y=20k-36．又0≤x≤9，0≤y≤9．∴0≤z+y≤18，即0≤20k-36≤18，解得l.8≤k≤2.7，∵k为整数，∴k=2．从而x+y=4，(x，y)=(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)．故小明一次拨对小陈手机号码的概率为．例5(1)∵P（拼成电灯）=，P（拼成小人）=，P（拼成房子）=，P（拼成小山）=.∴杨华平均每次得分为（分），李红平均每次得分为（分）．故游戏规则对双方不公平．(2)改为当拼成的图形是小人时杨华得3分，其余规则不变，就能使游戏规则对双方公平．例6选择一只蚂蚁A作为参照标准，一旦A确定了自己的运动方向，那么其他蚂蚁必须做相同方向的运动才能避免相撞，蚂蚁B，C分别有的概率选择与A相同的运动方向，故蚂蚁避免撞到一起的概率为A级1．2．3．4．提示：其中①②、①③、③④可得出四边形ABCD是平行四边形．5．A6.C7．C8.C9．C10．C11．(1)P=(2)P=12．(1)P==(2)该游戏不公平．游戏规则改为：若这两数的差为正数，则小明赢；否则，小华赢．B级1．m+n=102．提示：欲使圆碟不压地砖间的间隙，则圆碟的圆心必须落在与地砖同心、边与地砖边彼此平行、距离为cm的小正六边形内，如图，A2O=A1A2=36，作OC1⊥A1A2，C1C2=，A2C1=18,C1O=A2O=,C2O=C1O-C1C2=，又C2O=B2O,得BO2=24=B1B2.故P=．\n3.A提示：=．4．E提示：如图，设AB是这种绳子，P是AB上一点，使得AP：PB=1：x．若AP=s，则PB=sx．所求截点在AP上的概率为，又因为截点位于线段另一端B同样距离的线段上的可能性是一样的，则所求事件的概率是．5.C6．C提示：(2，3，4)，(2，4，5)满足a2+b2<c2.7.解题的关键是对数组进行恰当的分类，并根据裁判擦去的数是奇数还是偶数进行讨论：2，3，…，2006中有1002个奇数、l003个偶数．①若裁判擦去的是奇数，此时乙一定获胜．因为乙不管甲擦什么数，只要还有奇数就擦奇数，这样，最后两个数一定都是偶数，从而所剩的两个数不互质．②若裁判擦去的是偶数，此时甲一定获胜．设裁判擦去的数是2m，则将所剩的数配成1002对：(2，3)，…，(2m-2，2m-1)，(2m+l，2m+2)，(2005，2006)．这样，不管乙擦去哪一个数，甲都擦去所配对的数对中的另一个数，最后剩下的两个数必互质，故甲胜。故甲获胜的概率为.8．从问题的反面考虑，设方程x2+bx+c有两相异的正实根x1，x2，则b2-4c>0，x1x2=c>0，x1+x2=-b>0，，．于是b=-3且c=1或2；或b=-4且c=1，2，3；或b=-5且c=1,2，3，4，5．因此，有10对有序整数可使方程有相异正实根，而可取的有序整数共有ll2对．故所求的概率为．9．数字卡1,2,3，…，9中奇数卡有1,3,5,7,9，由这五个奇数中的三个奇数组成的所有不同的组合共有个,而直接由数字卡1,2,3，…，9中取三张卡组成的所有不同的组合共有个，故从九张卡1,2，…，9中抽出三张卡全是奇数的概率为．10．首先确定白球、黑球上的数出现的概率，再将所得的结果相乘、相加即可．在白（黑）球的袋中任取一个球，取到数为110的球的机会是一样\n的，因此取到各个球的概率都是，现假设从白球袋中取得的球上的数为10（概率为），要使从黑球袋中取得的球上的数小于10，那么黑球上的数只能是9，8．…，2，1（概率为）；同样，设从白球袋中取得的球上的数为9（概率为）．要使从黑球袋中取得的球上的数小于9，那么黑球上的数只能是8，…，2,1（概率为）．以此类推，设从白球袋中取得的球上的数为2(概率也为)，要使从黑球袋中取得的球上的数小于2，那么黑球上的数只能是1(概率为).因此，从两个袋中任意各取一个球，白球上的数比黑球上的数大的概率为×＋×＋×＋……＋×＋×＝.11.总的放法数n＝16×15×14＝3360种.第一枚硬币放入16个格子有16种放法，与第一枚硬币不同行且不同列的第二枚硬币有9种放法，与前两枚硬币不同行且不同列的格子有4种放法，满足题意要求的放法有m＝16×9×4＝576种.故所求概率为P＝＝＝.12.⑴由＝，得n＝5.⑵P＝.⑶P＝＝＝，即n2－n－90＝0，解得n＝10或n＝－9(舍去).
