专题29方程思想阅读与思考所谓方程思想就是从问题中发现或者构造等量关系，恰当引入未知量，寻找已知量与未知量的等量关系，列方程或方程组，通过解方程或方程组而使问题获解的解题方法.应用方程思想解决问题的常见途径有：1．引入字母，把代数式的化简求值问题转化为方程或方程组问题来解；2．突出主元，把等式看作是其中某个字母的方程，将问题转化为方程或方程组问题来探讨；3．构造一元二次方程，利用求根公式、根的判别式、根与系数的关系等知识，求解代数式的相关问题；4．列方程、方程组解应用题；5．通过列方程或方程组解几何计算题，把几何问题代数化．17世纪，法国数学家笛卡尔曾有过一个伟大的设想：把所有问题数学问题代数问题方程问题．虽然笛卡尔的理想在他的一生中未能实现，但随着计算机的广泛应用，人们已经越来越体验到方程思想的重要性．构造一元二次方程是方程思想解题最重要的途径，在代数式的化简求值、求字母取值范围、探求最值等方面有广泛的应用．常用的构造方法有：①用根的定义构造；②用韦达定理的逆定理构造；③对于含有多个字母的变元等式问题，把等式整理为关于某个字母的一元二次方程.例题与求解【例1】已知：，，，是四个不同的有理数，且（a＋c）(a＋d)＝1，(b＋c)(b＋d)＝1，那么(a十c)(b＋c)的值是_______________．（江苏省竞赛试题）解题思路：本例内容新颖，构思巧妙，解题思路宽广，或用特殊值代入试算、或从变形已知等式入手.仔细观察已知两个等式特点，，可看作是方程(x＋c)(x＋d)＝1的两根，利用方程思想揭示题设条件与结论的内在规律．\n【例2】化简的结果是()A．B．C．D．2（武汉市选拔赛试题）解题思路：设＝，将二次根式的化简问题转化为解方程.【例3】已知实数，满足，，则的值为()A.7B．C．D．5（全国初中数学联赛试题）解题思路：本题可以构造一元二次方程，利用根与系数关系——韦达定理解决.【例4】已知，，，求的值．（“《数学周报》杯”天津竞赛试题）解题思路：要求的代数式中含三个字母，正好与已知的三个等式中含的三个字母相同，所以可以将已知的三个等式组成二元二次方程组，求出这些未知数的值．\n本例已知的三个等式中含的三个字母相同，结构相同，排列位置循环转，根据这些特点可构造二次方程求解，这也是解决这类问题的常见方法.【例5】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP＝AQ.点E，D分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB，垂足为点Q，交AC于点H，当点E到达顶点B时，P，Q同时停止运动，当BP长为何值时，△HDE为等腰三角形？（台州市中考试题改编）解题思路：本题可结合图形，从几何知识中找等量关系列方程．利用方程思想解几何题，通常是对某几何量进行合理设元，根据几何性质正确列出方程、方程组，然后化归为解方程、方程组的有关问题．著名数学家波利亚曾说：“为了使问题的概念完整，更富于启发性，更为人所熟悉，我们可以引入辅助元素”通过引入辅助元素，有利于各知识领域之间的横向过渡，有利于转化问题．解决间题．引入辅助元素的常见形式有：①引入参数；②引入辅助方程；③引入辅助函数；④引入辅助配对代数式；⑤恰当作辅助线；⑥引入辅助命题．\n【例6】周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明有几个．（全国初中数学联赛试题）解题思路：设直角三角形的斜边为c，直角边分别为a，b，面积为s．由题设条件及几何知识可得到关于以a，b，c，s的方程组，这样，符合条件的直角三角形是否存在的探讨就转化方程组是否有解的讨论．能力训练1．设，则＝_____________.（全国初中数学联赛试题）2．一个读书小组有六位同学，分别姓赵、钱、孙、李、周、吴，这个读书小组有六本书，书名分别是A，B，C，D，E，F．每人至少读过其中的一本书，已知赵、钱、孙、李、周分别读过其中的2，2，4，3，5本书，而书A，B，C，D，E分别被小组中的1，4，2，2，2位同学读过，那么，吴姓同学读过____本书，书F被小组中__________位同学读过．3．设，，且，那么k＝__________.（河南省竞赛试题）4．x，y，z是实数，并且满足，，则的最小值是________．（北京市竞赛试题）5．如图，AA'，BB'分别是∠EAB，∠DBC的平分线，若AA'＝BB'＝AB，则∠BAC＝________．（全国初中数学联赛试题）6．已知，则的值为()A．0B．4C．6D.12\n7．某单位一次在快餐店订了22盒盒饭，共花费140元，盒饭共有甲、乙、丙三种，它们的单价分别为8元、5元、3元，那么可能的不同订餐方案有()（山东省竞赛试题）A.1个B．2个C．3个D．4个8．已知，都是负实数，且，那么的值为()（江苏省竞赛试题）A．B．C.D．9．甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么()A．甲比乙大5岁B．甲比乙大10岁C．乙比甲大10岁D．乙比甲大5岁（全国初中数学竞赛试题）10．已知，且，则的值是()（山东省竞赛试题）A．35B．36C．－35D．－3611．已知，求的取值范围．（黄冈市竞赛试题）12.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一点.以O为圆心，以OB为半径作圆，交AC于E、F，交AB于D.若E是的中点，且AE：EF＝3：1，FC＝4，求∠CBF的正弦值及BC的长．（北京市海淀区中考试题）\n12.如图，在四边形ABCD中，AD＝DC＝1，∠DAB＝∠DCB＝90°，BC，AD的延长线交于P，求AB·S△ABP的最小值.（四川省竞赛试题）14.设a1，a2，b1，b2都为实数，a1≠a2，满足（a1＋b1）（a1＋b2）＝（a2＋b1）(a2＋b2)＝1．求证：（a1＋b1）（a2＋b1）＝（a1＋b2）(a2＋b2)＝－1.（“祖冲之杯”邀请赛试题）15.已知a，b，c都是正整数，且抛物线与轴有两个不同交点A，B．若A，B到原点的距离都小于1，求的最小值．（全国初中数学联赛试题）16.在平面直角坐标系xOy中，我们把横坐标为整数，纵坐标为完全平方数的点称为“好点”.求二次函数的图象上所有“好点”的坐标．（《数学周报》杯全国竞赛试题）\n17．已知a，b，c为正数，满足以①，②．证明：以，，为三边长可构成一个直角三角形．（全国初中数学联赛试题）18.一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎，如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶多少km?（全国初中数学竞赛试题）19.如图，AB为半圆⊙O的直径，动点C在半圆上，CD⊥AB于D，⊙O1与内切且与AB，CD相切，⊙O2与内切且与AB，CD相切，E，F是AB上的两个切点，求证：∠ECF＝45°.\n专题29方程思想例1.-1提示：a、b是方程的两个根，由根的性质得，将x=-c代入上式得－1=(－c－a)(－c－b)，即(a+c)(b+c)=－1．例2B例3A提示：解法一：∵，．又y4+y2=3，即（y2)2+y2=3，且，y2≥0，∴，y2是一元二次方程t2+t－3=0的两个不等实根．由韦达定理，=－1，=－3，=1+6=7．解法二：∵x2>0，y2≥0，由已知条件得，y2=，∴．例4，①，②③．①+②－③得，解得x=;①+③－②得，解得；②+③－①得，解得z=24．∴7x+5y－2z=0．例5分当BP≤，<BP<，BP=三种情况讨论．当BP=时，HDE为等腰三角形．例6由题意得由①②得2c<a+b+c=6<3c，∴2<c<3 ⑤．由②有（a+b)2=(6－c)2，将③④代入得3C=9－s，∴有6<3c<9，从而3C=7或3c=8．若3c=7，则s=2，代入②④得a+b=，ab=4，由于此时方程组无解，故此情形不可能；若3c=8，则s=1，此时a+b=，ab=2．解得，而c=，以这三个数为边长构成唯一的直角三角形．能力训练1．－2提示：，∴a2+a=1，=．2．16提示：六位同学读过的书的总本数等于六本书被读过的人次总数．3．∵x－y=2，即x≠y，∴x，y是方程2z2－2z+k=0的两根，x+y=1，xy=，又x－y=2，∴k=2xy=－．4．4由x+y=－z，xy=\n知，x，y是方程t2+zt+=0的两根，由Δ≥0得z≥2，又|x|+|y|=－(x+y)=z≥2．5．设∠BAC=x，则，，∴+4x+4x=1800，解得x=120．6．B7．C提示：设该单位订甲、乙、丙三种盒饭分别有x，y，z盒，则①×8－②得3y+5z=36，5z=36－3y≤36．由此可知z≤7，且3y，36均是3的倍数知z是3的倍数．∴z的可能值为0，3，6，相应的y的值为12，7，2．∴共有3组解：，，，8．C9．A提示：设甲现在x岁，乙现在y岁，x>y，则有，10．D提示：由已知得a4+3a2－1=0，，∴a2，是方程x2+3x－1=0的根．又由a2b≠1得a2≠，由根与系数关系得a2+=－3，=－1，∴．11．提示：设，则，(x+y)=，∴x，y是方程的两个实根．由Δ≥0得m，又，．12．sinCBF=，BC=提示：；连结OE，DF，则OE∥BF，∴AE：EF=AO：OB=3：1，OE：BF=3：4，∴AE=3EF，AO：AB=3：4．设OB=r，则AO=3r，BF=r，AD=2r．由AE·AF=AD·AB得EF=r．在RtΔABC中，BC2=CF·CE=4（4+EF）=AC2－AB2，解得r=，sin∠CBF=sin∠BDF=．13．设DP=x，则PC=，AB=．又设y=AB·SΔABP=，即x2+2(1－y)x+1+2y=0．由Δ≥0得y≥4，故AB·SΔABP的最小值为4．14．由题设知x1=a1，x2=a2是一元二次方程（x+b1）(x+b2)－1=0的两根，∴（x+b1）(x+b2)－1=（x1－a1）(x2－a2)．令x=－b1，得（a1+b1）(a2+b1)=－1；令x=－b2，得（a1+b2）(a2+b2)=－1．15．设A(x1，0)，B(x2，0)，且x1<x2，则x1，x2是方程ax2+bx+c的两根，∴x1+x2=＜0，x1x2=＞0，则x1＜0，x2＜0.∵方程有两个不相等的实根，∴△=b2-4ac＞0，得b＞①.∵，，即-1＜x1＜0，-1＜x2＜0，∴，得c<a②．从而a≥1，故抛物线开口向上．旦当x=-1时，y>0．∴，得b<a+c．∵b，a+c是整数，∴a+c≥b+l③．由①得a+c>+1→\n>1．由②得>1∵>+1，即a>（+1）2≥（+1）2=4，∴a≥5．又b>2≥2>4，∴b≥5．取a=5，b=5，c=1时．抛物线y=5x2+5x+l满足题设条件，故a+b+c的最小值为5+5+l=ll.16.设y=m2，（x-90）2=k2，m，k都是非负数，则k2-m2=7×701=1×4907，即(k+m)（k-m）=7×701=1×4907.∴或，解得∴∴“好点”共有4个，它们的坐标分别为：（444，120409）．（-264,120409），(2544,6017209)，（-2364,6017209）．17．①×②得=8→=8→=0→=0→=0→=0→→→故b-c+a=0或c+a-b=0或c-a+b=0，即b+a-c=0或c+a-b=0或c-a+b=0．因此以为三边长可以构成一个直角三角形．18．设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶lkm磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为，又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykrn分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程．有两式相加，得，则.\n19.连结AC，BC，O1E，O2F，设AD=a,BD=b.∵⊙O2与AB，CD相切，∴O2F=DF=x，∴AF=AD+DF=a+x.在Rt△OFD2中，OF2=OO22-O2F2，易证，即，化简得x2+2ax-ab=0,∴x=-a+，∴AF==，∴AF2=a（a+b）=ADAB=AC2，∴AF=AC.同理，BE=BC.∴∠ECF=∠ACF+∠BCE-∠ACB=∠CFE+∠CEF-90°=180°-∠ECF-90°，∴∠ECF=45°．
