专题20直线与圆的位置关系（1）阅读与思考圆心到直线的距离与圆的半径的大小量化确定直线与圆的相离、相切、相交三种位置关系.直线与圆相切是研究直线与圆的位置关系的重点.与切线相关的知识，包括弦切角、切线的性质和判断、切线长定理、切割线定理等.证明一直线是圆的切线是平面几何问题中一种常见的题型，证明的基本方法有：1.利用定义，判断直线和圆只有一个公共点；2.当已知一条直线和圆有一个公共点时，就把圆心和这个公共点连接起来，再证明这条半径和直线垂直；3.当直线和圆的公共点没有确定时，就过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径.熟悉如下基本图形和以上基本结论.例题与求解【例1】如图，已知AB为⊙O的直径，CB切⊙O于点B，CD切⊙O于点D，交BA的延长线于E.若AB＝3，DE＝2，则BC的长为()（青岛市中考试题）A．2B．3C．3.5D．4例1题图例2题图解题思路：本例包含了切线相关的丰富性质，从C点看可应用切线长定理，从E点看可应用切割线定理，又EC为⊙O的切线，可应用切线性质，故解题思路广阔.【例2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB＝45°，∠ABC＝120°，⊙O的半径为1.(1)求弦AC，AB的长;(2)若P为CB的延长线上一点，试确定P点的位置，使PA与⊙O相切，并证明你的结论.（哈尔滨市中考试题）解题思路：第(2)题是考查探索能力的开放性几何题，只要探求得PB与BC，或PC与BC的关系，或求得PB或PC的长，点P的位置即可确定.\n【例3】已知△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点.过点P作BC的平行线交BT于点E，交直线AC于点F.(1)当点P在线段AB上时(如图)，求证：PA•PB＝PE•PF；(2)当点P为线段BA的延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.（北京市中考试题）解题思路：本例是“运动型”的开放性问题，要求点在运动变化中，判断原结论是否成立，通过观察、比较、归纳、分析等系列活动，逐步确定应有的结论.【例4】已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合（P不与点D，C重合），MN为折痕，点M，N分别在边BC，AD上.连接AP，MP，AM，AP与MN相较于点F，⊙O过点M，C，P.(1)请你在图1中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；(2)与是否相等？请说明理由；(3)随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H.设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形（图2、图3供参考）.（宜昌市中考试题）解题思路：对于(3)，只依靠AB的长不能画出图形，需求出关键的量，因为∠C＝90°，⊙O过点M，C，P，故将画出矩形的条件转化为求出CP（或MP）的长.当矩形确定后，依据线段CP的长，就可确定P点的位置.\n【例5】如图，已知△ABC内接于⊙O，AD，BD为⊙O的切线，作DE∥BC，交AC于点E，连接EO并延长交BC于点F.求证：BF＝FC.（太原市竞赛试题）解题思路：要证明BF＝FC，只需证FO⊥BC即可，连接OA，OB，OD，将问题转化为证明∠DAO＝∠EFC.【例6】如图，在等腰△ABC中，已知AB＝AC，∠C的平分线与AB交于点P，M是△ABC的内切⊙I与边BC的切点，作MD∥AC，交⊙I于点D，求证：PD是⊙I的切线.（全国初中数学联赛试题）解题思路：设⊙I切AB于点S，连接IM，IS，ID，直接证明∠PDI＝90°困难，不妨证明∠PDI＝∠PSI，即证明△PIS≌△PID.能力训练A级1.PA，PB切⊙O于A，B，∠APB＝78°，点C是⊙O上异于A，B的任意一点，则∠ACB＝__________.2.如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E.要使DE⊥AC，则△ABC的边必须满足的条件是__________.（武汉市中考试题）第2题图第3题图3.如图，PA切⊙O于点A，C是上任意一点，∠PAB＝62°，则∠C的度数是__________.（荆门市中考试题）\n4.直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＋BC＜DC.若腰DC上有一点P，使AP⊥BP，则这样的点（）A．不存在 B．只有一个 C．只有两个 D．有无数个5．如图，已知AB是⊙O的直径，CD，CB是⊙O的切线，D，B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD，BD，给出以下四个结论：①AD∥OC；②E为△CDB的内心；③FC＝FE.其中正确的结论是()A．①②B．②③C．①③D．①②③6．如图，ABCD为⊙O的内接四边形，AC平分∠BAD并与BD相交于E点，CF切⊙O于点C并与AD的延长线相交于点F.图中的四个三角形①△CAF,②△ABC,③△ABD,④△BEC，其中一定相似的是（）(连云港市中考试题)A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④第5题图第6题图第7题图7．如图，△ABC内接于⊙O，AE切⊙O于点A，BC∥AE．(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)设AB=10cm，BC=8cm，点P是射线AE上的点，若以A，P，C为顶点的三角形与△ABC相似，问这样的点有几个?(南昌市中考试题)8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交斜边AB于点E，OD∥AB．求证：(1)ED是⊙O的切线；(2)2DE2＝BE•OD.\n9．如图，在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的边，且a，b是关于x的一元二次方程x2＋4(c＋2)＝(c+4)x的两个根.点D在AB上，以BD为直径的⊙O切AC于点E．(1)求证：△ABC是直角三角形；(2)若tanA＝时，求AE的长.(内蒙古中考试题)10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC中点，连接DE.(1)求证：直线DE是⊙O的切线；(2)连接OC交DE于点F，若OF＝CF，求tan∠ACO的值．(武汉市中考试题)11．如图，⊙O的半径r＝25，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于点H，P为CA延长线上一点，且∠PDA＝∠ABD．(1)试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若tan∠ADB＝，PA＝AH，求BD的长；(3)在(2)的条件下，求四边形ABCD的面积.(成都市中考试题)\nB级1．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，过点C的切线与AD的延长线交于点E．若∠DAB＝56°，∠ABC＝64°，则∠CED＝__________.2．如图，⊙O与矩形ABCD的边AD，AB，BC分别相切于点E，F，G，P是上的一点，则∠EPF＝__________.（广州市中考试题）第1题图第2题图第3题图3．如图，直线AB，AC与⊙O分别相切于点B，C两点，P为圆上一点，P到AB，AC的距离分别为4cm，6cm，那么P到BC的距离为__________cm.（全国初中数学联赛试题）4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，圆心O在BC上，若AB＝a，AC＝b，则⊙O的半径等于（）A． B． C． D．5．如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ABC＝30°，AC的延长线与过点B的⊙O的切线相交于点D．若⊙O的半径OC＝1，BD∥OC，则CD的长为()A．1+B．C．D．第4题图第5题图第6题图6．如图，⊙O的内接△ABC的外角∠ACE的平分线交⊙O于点D．DF⊥AC，垂足为F，DE⊥BC，垂足为E．给出以下四个结论：①CE＝CF；②∠ACB＝∠EDF；③DE是⊙O的切线；④＝．其中正确的结论是()(苏州市中考试题)A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④\n7．如图，已知AC切⊙O于点C，CP为⊙O的直径，AB切⊙O于点D，与CP的延长线交于点B.若AC＝PC.求证：(1)BD＝2BP；(2)PC＝3BP.(天津市中考试题)8.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径.动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动.P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止.设运动时间为t(s).(1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形?(2)当t为何值时，PQ与⊙O相切?(呼和浩特市中考试题)9.如图，已知在△ABC中，∠ABC＝90°,O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD＝2，AE＝1.求证：S△AOD，S△BCD是方程10x2－51x＋54＝0的两个根.(河南省中考试题)10.如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.(1)求证：直线PB与⊙O相切;(2)PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝4，求弦CE的长.(武汉市中考试题)\n11.如图，直线y＝x＋4交x轴于点B，交y轴于点A，⊙O′过A，O两点.(1)如图1，若⊙O′交AB于点C，当O′在OA上时，求弦AC的长;(2)如图2，当⊙O′与直线l相切于点A时，求圆心O′的坐标;(3)当O′A平分△AOB的外角时，请画出图形，并求⊙O′的半径的长.12.如图，AB是⊙O的直径，AB＝d，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，使AC＝AB，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E.求AE的长.(四川省竞赛试题)\n专题20直线与圆的位置关系（1）例1、B提示：连接，则例2、（1），（2）提示：若是⊙的切线，则^，又^，得∥，，，，，，即当时，是⊙的切线例3、提示（1）证明（2）当为延长线上一点时，第（1）题的结论仍成立例4、（1）略（2），理由如下：假设，则∥。，^，^，与关于对称，^，而与不重合，这与“过一点（）”只能作一条直线与已知直线（）垂直”矛盾，假设不成立，即（3）证明≌，得，设，则，，连接并延长交于，则四边形为矩形，∥，得，，，，，解得即，，，由此画图例6连切点半径，和，得四点共圆，得，，设，则，，则，∥，，，而，，在与中，，，，≌，，故是⊙的切线A级1、51︒或129︒2、3、或4、D提示：以为直径的圆与相交5、6、7、（1）略（2）满足条件的点有两个：过点作∥交于点，则，这时；过点作⊙的切线交于点，则，这时\n7、（1）提示：连接，证明，，（2）在中，，又，，又2，，8、（1）由已知，得，由两根关系得，，，是直角三角形（2）提示：连接，则∥，，，，9、（1）连接，，，是⊙的直径，，是的中点，，，，≌，，直线是⊙的切线（2）作^于点，由（1）知BD⊥AC，EC=EB．∵OA=OB，∴OE∥AC且OE=，∴∠CDF=∠OEF，∠DCF=∠EOF．∵CF=OF，∴△DCF≌△EOF，∴DC=OE=AD，∴BA=BC，∴∠A=45°．∵OH⊥AD，∴OH=AH=DH，∴CH=3OH，故tan∠ACO=．11．（1）略（2）连接DO并延长与⊙O相交于点E，连接BE．设AH=3k．∵tan∠ADB=，PA=，AC⊥BD于点H．∴DH=4k，AD=5k，PA=，PH=PA+AH=．∴tan∠P=．∴∠P=30°，PD=8k．∵BD⊥AC，∴∠P+∠PDB=90°．∵PD⊥DE，∴∠PDB+∠BDE=90°．∴∠BDE=∠P=30°．∵DE是直径，∴∠DBE=90°，DE=2r=50．∴BD=DE·cos∠BDE=50·cos30°=．（3）连接CE．∵DE是直径，∴∠DCE=90°．∴CD=DE·sin∠CED=DE·sin∠CAD=．∵∠PDA=∠ABD=∠ACD，∠P=∠P，∴△PDA∽△PCD．∴．∴．解得PC=64，k=．\n∴AC=PC－PA=64－．∴S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD=．B级1．86°2．45°3．连接BP，MQ，PC，QN，由PM⊥AB，PN⊥AC，PQ⊥BC可得P，Q，C，N四点共圆，P，Q，B，M四点共圆．由△MPQ∽△QPN得PQ=．4．C5．B【提示】连接OB，过C作CH⊥BD交BD于点H．∴OBHC是正方形，CH=1．∵∠ABC=30°，∴∠OAC=60°=∠D．在Rt△CDH中，，∴CD=．6．D7．提示：（1）连接OD，由△BDO∽△BCA，得BD=，又BD2=BP·BC．（2）由（1）可知BC=2BD，BD=2BP，得BC=4BP，∴PC+BP=4BP，∴PC=3BP．8．（1）∵直角梯形ABCD，AD∥BC，∴PD∥QC．∴当PD=QC时，四边形PQCD是平行四边形．由题意可知AP=t，CQ=2t，∴8－t=2t，3t=8，t=时，四边形PQCD为平行四边形．（2）设PQ与⊙O相切于点H，过P作PE⊥BC于E．∵直角梯形ABCD，AD∥BC，∴PE=AB．有题意可知AP=BE=t，CQ=2t，∴BQ=BC－CQ=22－2t，EQ=BQ－BE=22－2t－t=22－3t．∵AB为⊙O的直径，∠ABC=∠DAB=90°，∴AD、BC为⊙O的切线．∴AP=PH，HQ=BQ．∴PQ=PH+HQ=AP+BQ=22－t．在Rt△PEQ中，PE2+EQ2=PQ2，∴122+(22－3t)2=(22－2t)2，即8t2－88t+144=0，t2－11t+18=0，∴t1=2，t2=9．∵P在AD边运动时间为，而t=9＞8，∴t=9舍去．∴当t=2时，PQ与⊙O相切．9．提示：AB=4，BC=CD=3，S△AOD=．\n作BH⊥AC于H，则Rt△AOD∽Rt△ABH，得．∴S△BCD=．10．（1）过点O作OD⊥PB于点D，连接OC．∵PA切⊙O于点C，∴OC⊥PA．又∵点O在∠APB的平分线上，∴OC=OD，∴PB与⊙O相切．（2）过点C作CF⊥OP于点F．在Rt△PCO中，PC=4，OC=3，OP=，∵OC·PC=OP·CF=2S△POD，∴CF=．在Rt△COF中，．∴EF=EO+OF=，∴．11．（1）AC=．（2）连接AC，则A，O’，C共线．设OC=a，则AC2=a2+42，又AC2=（a+3）2－52，即a2+42=（a+3）2－52，解得a=，∴O’．（3）如图，设⊙O’交x轴于点C，交BA的延长线于D．∵O’A平分∠OAD，∴∠OAC=∠DAC，∴，∴OC=CD．∵∠AOC=90°，∴AC是⊙O’的直径．∴∠D=90°，∴△AOC≌△ADC，∴AD=AO=4．设OC=DC=a，在Rt△BCD中，BC=a+3，BD=9，CD=a，∴（a+3）2=a2+92，解得a=12，∴AC2=OA2+OC2=42+122=160，AC=，∴⊙O’的半径长为．\n12．连接AD，由△CDE∽△CAD，有．又由△ADE∽△BDA，有．由①②及AB=AC，得AE=CD．由∠DAE=∠EDC，知CD是△ADE外接圆的切线．故CD2=CE·CA，即AE2=CE·CA．设AE=x，则CE=d－x，∴，即x2+dx－d2=0，解方程并取正根得AE=x=．
