[A级 基础练]1．若函数f(x)＝(2a－5)·ax是指数函数，则f(x)在定义域内( )A．为增函数 B．为减函数C．先增后减D．先减后增解析：选A.由指数函数的定义知2a－5＝1，解得a＝3，所以f(x)＝3x，所以f(x)在定义域内为增函数．2．设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝的大小关系是( )A．M＝NB．M≤NC．M<ND．M>N解析：选D.因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a>2，所以M＝(a－1)0.2>1，N＝<1，所以M>N，故选D.3．(多选)已知函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数图象经过点A的是( )A．y＝＋2B．y＝|x－2|＋1C．y＝log2(2x)＋1D．y＝2x－1解析：选ABC.函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，令x－1＝0，得x＝1，f(1)＝2，所以恒过点A(1，2)．把x＝1，y＝2代入各选项验证，只有D中的函数没经过该点．4．(2021·镇江模拟)已知函数f(x)＝－，则f(x)是( )A．奇函数，且在R上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数C．奇函数，且在R上是减函数D．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
解析：选C.易知f(x)的定义域为R，f(－x)＝－＝－，则f(－x)＋f(x)＝0，所以f(x)是奇函数．函数f(x)＝－显然是减函数．故选C.5．当x∈[－2，2]时，ax<2(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是( )A．(1，)B.C.∪(1，)D．(0，1)∪(1，)解析：选C.x∈[－2，2]时，ax<2(a>0且a≠1)．若a>1，y＝ax是增函数，则有a2<2，可得a<，故有1<a<；若0<a<1，y＝ax是减函数，则有a－2<2，可得a>，故有<a<1.综上所述，a∈∪(1，)．6．计算：＋0.1－2＋－3π0＋＝________．解析：原式＝＋＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100.答案：1007．函数y＝ax－b(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是________．解析：因为函数y＝ax－b的图象经过第二、三、四象限，所以函数y＝ax－b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上．令x＝0，则y＝a0－b＝1－b，由题意得解得故ab∈(0，1)．答案：(0，1)
8．已知函数f(x)＝的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是________．解析：当0≤x≤4时，f(x)∈[－8，1]，当a≤x<0时，f(x)∈，所以[－8，1]，即－8≤－<－1，即－3≤a<0.所以实数a的取值范围是[－3，0)．答案：[－3，0)9．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的图象过点(0，－2)，(2，0)．(1)求a与b的值；(2)求x∈[－2，4]时，f(x)的最大值与最小值．解：(1)因为点(0，－2)，(2，0)在函数f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的图象上，所以所以又a＝－不符合题意，所以(2)由(1)可得f(x)＝()x－3.因为>1，所以y＝()x在其定义域上是增函数，所以f(x)＝()x－3在区间[－2，4]上单调递增．所以f(x)在区间[－2，4]上的最小值为f(－2)＝－，最大值为f(4)＝6.10．已知函数f(x)＝.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的最大值等于，求a的值．解：(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝，不论a取何值，t在(－∞，0]
上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，又y＝是单调递减的，因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是(0，＋∞)．(2)由于f(x)的最大值是，且＝，所以函数g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，从而a＝2.[B级 综合练]11．(多选)关于函数f(x)＝的性质，下列说法中正确的是( )A．函数f(x)的定义域为RB．函数f(x)的值域为(0，＋∞)C．方程f(x)＝x有且只有一个实根D．函数f(x)的图象是中心对称图形解析：选ACD.函数f(x)＝的定义域为R，所以A正确；因为y＝4x在定义域内单调递增，所以函数f(x)＝在定义域内单调递减，所以函数的值域为，所以方程f(x)＝x只有一个实根，所以B不正确，C正确；因为f(x＋1)＋f(－x)＝＋＝＋＝，所以f(x)关于点对称，所以D正确．12．已知函数f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中，一定成立的是________．①a＜0，b＜0，c＜0；②a＜0，b≥0，c＞0；③2－a＜2c；④2a＋2c＜2.解析：
作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，由图象可知a<0时，b的符号不确定，1>c>0，故①②错；因为f(a)＝|2a－1|，f(c)＝|2c－1|，所以|2a－1|>|2c－1|，即1－2a>2c－1，故2a＋2c<2，④成立；又2a＋2c>2，所以2a＋c<1，所以a＋c<0，所以－a>c，所以2－a>2c，③不成立．答案：④13．已知函数y＝a＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交．(1)求该函数的解析式，并画出图象；(2)判断该函数的奇偶性和单调性．解：(1)因为函数y＝a＋b的图象过原点，所以0＝a＋b，即a＋b＝0，所以b＝－a.函数y＝a－a＝a.又0<≤1，－1<－1≤0.且y＝a＋b无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，所以a<0且0≤a<－a，所以－a＝2，函数y＝－2＋2.用描点法画出函数的图象，如图．(2)显然函数的定义域为R.令y＝f(x)，则f(－x)＝－2＋2＝－2＋2＝f(x)，所以f(x)为偶函数．当x>0时，y＝－2＋2＝－2＋2为单调增函数．当x<0时，y＝－2＋2＝－2＋2为单调减函数．所以y＝－2
＋2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数．14．定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界，已知函数f(x)＝＋＋1.(1)当a＝－1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．解：(1)不是．理由如下：设y＝f(x)＝＋＋1.当a＝－1时，y＝f(x)＝－＋1(x<0)，令t＝，x<0，则t>1，y＝t2－t＋1＝＋.所以y>1，即函数f(x)在(－∞，0)上的值域为(1，＋∞)．所以不存在常数M>0，使得|f(x)|≤M成立．所以函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．(2)由题意知，|f(x)|≤3对x∈[0，＋∞)恒成立．即－3≤f(x)≤3对x∈[0，＋∞)恒成立．令t＝，x≥0，则t∈(0，1]．所以－≤a≤－t对t∈(0，1]恒成立，所以≤a≤，设h(t)＝－，p(t)＝－t，t∈(0，1]．因为h(t)在(0，1]上单调递增，p(t)在(0，1]上单调递减，
所以h(t)在(0，1]上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在(0，1]上的最小值为p(1)＝1.所以实数a的取值范围为[－5，1]．[C级 创新练]15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域为( )A．{0，1，2，3}B．{0，1，2}C．{1，2，3}D．{1，2}解析：选D.f(x)＝＝＝1＋，因为2x>0，所以1＋2x>1，所以0<<1，则0<<2，所以1<1＋<3，即1<f(x)<3，当1<f(x)<2时，[f(x)]＝1，当2≤f(x)<3时，[f(x)]＝2.综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1，2}，故选D.16．已知函数f(x)，若在其定义域内存在实数x满足f(－x)＝－f(x)，则称函数f(x)为“局部奇函数”，若函数f(x)＝4x－m·2x－3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是( )A．[－2，2)B．[－2，＋∞)C．(－∞，2)D．[－4，－2)解析：选B.根据“局部奇函数”的定义可知，方程f(－x)＝－f(x)有解即可，即4－x－m·2－x－3＝－(4x－m·2x－3)，所以4－x＋4x－m(2－x＋2x)－6＝0，化为(2－x＋2x)2－m(2－x＋2x)－8＝0有解，令2－x＋2x＝t(t≥2)，
则有t2－mt－8＝0在[2，＋∞)上有解，设g(t)＝t2－mt－8，对称轴为x＝.①若m≥4，则Δ＝m2＋32>0，满足方程有解；②若m<4，要使t2－mt－8＝0在t≥2时有解，则需解得－2≤m<4.综上可得实数m的取值范围为[－2，＋∞)．
