第06节指数与指数函数【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测指数幂的运算1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.3.了解指数函数的变化特征.2022•浙江理3；2022•浙江文8；理7；2022•浙江理12；2022•浙江文7；理12；2022•浙江5.1.指数幂的运算；2.指数函数的图象和性质的应用.3.备考重点：（1）指数函数单调性的应用，如比较函数值的大小；（2）图象过定点；（3）底数分类讨论问题.指数函数的图象和性质【知识清单】1.根式和分数指数幂1.根式(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.对点练习化简：(1)(a>0，b>0)；(2)＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0.【答案】(1)ab－1.(2)－.-9-\n＝＋500－10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－.2.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数对点练习【2022广西桂林模拟】当x<0时，函数f(x)＝(2a－1)x的值恒大于1，则实数a的取值范围是( )A.B．(1,2)C．(1，＋∞)D．(－∞，1)【答案】A【解析】由题意可得0<2a－1<1，解得<a<1，故选A.-9-\n【考点深度剖析】从近几年的高考试题来看，指数函数的图象和性质及其应用是高考的热点，题型多以选择题、填空题为主，偶尔有以大题中关键一步的形式出现，主要考查视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、运算能力等．常常与对数函数综合考查.【重点难点突破】考点1根式、指数幂的化简与求值【1-1】化简的结果为（ ）A．5B．C．﹣D．﹣5【答案】B【解析】，故选【1-2】×0＋×－＝________.【答案】【领悟技法】指数幂的化简与求值(1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．提醒：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．(2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．【触类旁通】【变式一】.【答案】2-9-\n【变式二】1.5－×0＋80.25×＋(×)6－【答案】【解析】原式＝.考点2根式、指数幂的条件求值【2-1】已知，求下列各式的值.（1）；（2）；（3）【答案】【解析】（1）将两边平方得，所以.（2）将两边平方得，所以.（3）由（1）（2）可得【2-2】已知是方程的两根，且求的值.【答案】【解析】由已知，，所以因为所以【领悟技法】-9-\n根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.【触类旁通】【变式一】已知且，求的值.【答案】考点3指数函数的概念、图象、性质及其应用【3-1】【2022山东德州一模】已知a＝，b＝，c＝，则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a【答案】D【解析】∵在R上为减函数，，∴.又∵在上为增函数，，【3-2】【2022河南安阳模拟】已知函数(a>0，且a≠1)，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于( )A.1B.a-9-\nC.2D.a2【答案】A【解析】∵以为端点的线段的中点在轴上，∴.又∵，∴.【3-3】函数y＝的值域为( )A. B.C.D．(0,2]【答案】A【3-4】指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________.【答案】(1，2)【解析】由题意知0<2－a<1，解得1<a<2.【领悟技法】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.2.形如.一类函数，有如下结论：（1）的定义域、奇偶性与的定义域、奇偶性相同；（2）先确定的值域，再利用指数函数的单调性，确定的值域；（3）的单调性具有规律“同增异减”，即的单调性相同时，是增函数，的单调性不同时，是减函数.【触类旁通】【变式一】已知,且,若,则的大小关系为（）-9-\nA．B．C．D．【答案】D【解析】由于,所以,,而,由于,因此,所以,应选D．【变式二】【2022河北衡水中学模拟】若a＝，b＝x2，c＝logx，则当x>1时，a，b，c的大小关系是( )A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b【答案】A【易错试题常警惕】易错典例1：计算下列各式的值．（1）；（2）；（3）；（4）.易错分析：，不注意的奇偶性对的影响，是导致错误出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准、记熟、会用、活用．温馨提醒：(1)中实数的取值由的奇偶性确定，只要有意义，其值恒等于，即-9-\n；(2)是一个恒有意义的式子，不受的奇偶性限制，，但的值受的奇偶性影响.易错典例2：已知，求的值.易错分析：本题解答一是难以想到应用“立方差”公式，二是应用“立方差”公式时易出现错误．正确解析：由于，所以=温馨提醒：条件求值问题，化简已知条件、所求代数式是进一步代入计算的基础，熟记公式，准确化简是关键.易错典例3：函数的单调递增区间是________．易错分析：本题解答往往忽视函数的定义域，而出现错误．正确解析：令，得函数定义域为，所以在上递增，在递减．根据“同增异减”的原则，函数的单调递增区间是.温馨提醒：处理函数问题时，应注意遵循“定义域优先”的原则.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.-9-\n向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】已知实数a，b满足等式a＝b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】函数y1＝x与y2＝x的图象如图所示．由a＝b得，a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．-9-
