题型专项练2 客观题12+4标准练(B)一、单项选择题1.设集合M={x||x|≤2},N={x|x2-2x-3<0},则集合M∩N=( ) A.{x|-1≤x<2}B.{x|-1<x≤2}C.{x|-2<x≤3}D.{x|-2≤x<3}2.已知i为虚数单位,复数z=,则z的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知y=f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数.若当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+a),则f(2021)=( )A.-1B.0C.1D.24.某工厂生产一批医疗器械的零件,每个零件生产成型后,得到合格零件的概率为0.7,得到的不合格零件可以进行一次技术精加工,技术精加工后得到合格零件的概率是0.3,而此时得到的不合格零件将不能再加工,只能成为废品,则生产时得到合格零件的概率是( )A.0.49B.0.73C.0.79D.0.915.中国的5G技术领先世界,5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C=Wlog2.它表示:在受噪音干扰的信道中,最大信息传递速度C取决于信道带宽W,信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中叫做信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式,若带宽W增大到原来的1.1倍,信噪比从1000提升到16000,则C大约增加了(附:lg2≈0.3)( )A.21%B.32%C.43%D.54%6.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题:已知一对兔子每个月可以生一对小兔子(一雄一雌),而每一对小兔子在它们出生后的第3个月里,又能生一对小兔子.假如没有发生死亡现象,那么从第1个月开始,每月末的兔子总对数依次为:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,如果用an表示第n个月的兔子的总对数,那么an=an-1+an-2(n∈N*,且n≥3),这就是著名的斐波那契数列,其中,a1=1,a2=1.若从该数列的前120项中随机地抽取一个数,则这个数是偶数的概率为( )A.B.C.D.7.《九章算术》是中国古代第一部数学专著,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.例如,堑堵指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱,阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,若AA1=,AB=2,当阳马B-A1ACC1的体积最大
时,堑堵ABC-A1B1C1中异面直线A1C与AB所成角的大小是( )A.B.C.D.8.已知拋物线y2=2px(p>0)上有两点A,B,O为坐标原点,以OA,OB为邻边的四边形为矩形,且点O到直线AB距离的最大值为4,则p=( )A.1B.2C.3D.4二、多项选择题9.某教练组为了比较甲、乙两名篮球运动员的竞技状态,选取了他们最近10场常规赛得分如下,则从最近10场比赛的得分看( )甲:8,12,15,21,23,25,26,28,30,34乙:7,13,15,18,22,24,29,30,36,38A.甲的中位数大于乙的中位数B.甲的平均数大于乙的平均数C.甲的竞技状态比乙的更稳定D.乙的竞技状态比甲的更稳定10.已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的零点构成一个公差为的等差数列,把函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,关于函数g(x),下列说法正确的是( )A.在区间上单调递减B.其图象关于直线x=对称C.函数g(x)是偶函数D.当x∈时,g(x)∈[-,2]11.如图,在直角三角形ABC中,A=90°,|AB|=,|AC|=2,点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上,则( )A.点P所在圆的半径为2B.点P所在圆的面积为4πC.的最大值为14D.的最大值为1612.已知a>0,b>0,且a+2b=2,则下列说法正确的是( )A.5a+25b≥15B.≥6C.b+D.blna2+aln(2b)≤0三、填空题13.已知双曲线x2-=1的一个焦点与抛物线8x+y2=0的焦点重合,则m的值为 . 14.有5名医生被安排到两个接种点进行新冠疫苗的接种工作,若每个接种点至少安排两名医生,且其中一名负责接种信息录入工作,则不同的安排方法有 种(数字作答). 15.在△ABC中,AB=AC,BC=4,D为BC边的中点,沿中线AD折起,使∠BDC=60°,连接BC,所得四面体ABCD的体积为,则此四面体内切球的表面积为 . 16.在一个三角形中,到三个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点.如图,在△ABC
中,P为△ABC的费马点,经证明它也满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,因此费马点也称为三角形的等角中心.在△ABC外作等边△ACD,再作△ACD的外接圆,则外接圆与线段BD的交点P即为费马点.若AB=1,BC=2,∠CAB=90°,则PA+PB+PC= . 题型专项练2 客观题12+4标准练(B)1.B 解析:M={x||x|≤2}={x|-2≤x≤2},N={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},则M∩N={x|-1<x≤2}.2.A 解析:∵z=i,i,故z的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限.3.C 解析:因为y=f(x)是定义在R上的奇函数,x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+a),所以f(0)=log2(0+a)=0,所以a=1.又因为y=f(x)的周期为4,所以f(2021)=f(4×505+1)=f(1)=1.4.C 解析:设事件A:“第一次就得到合格零件”,事件B:“第一次得到不合格零件,进行一次技术精加工后得到合格零件”,所以P(A)=0.7,P(B)=(1-0.7)×0.3=0.09,所以生产时得到合格零件的概率是P(A)+P(B)=0.7+0.09=0.79.5.D 解析:由题意-1=1.1-1=1.1-1≈0.54,所以C大约增加了54%.6.A 解析:因为奇数加奇数结果是偶数,奇数加偶数结果是奇数,偶数加奇数结果是奇数,所以数列中任意相邻的三项,其中一项为偶数,两项为奇数,所以前120项中偶数有40项,所以这个数是偶数的概率为7.C 解析:在堑堵ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC.又AC⊥BC,且AA1∩AC=A,所以BC⊥平面ACC1A1,所以阳马B-A1ACC1的体积V=BC=AC·AA1·BC=AC·BC,在直角三角形ABC中,4=AB2=AC2+BC2≥2AC·BC,即AC·BC≤2,当且仅当AC=BC=时取得等号.所以当AC=BC=时,阳马B-A1ACC1的体积取得最大值又A1B1∥AB,所以∠CA1B1(或其补角)为异面直线A1C与AB所成的角,连接B1C(图略),则B1C==2,A1C==2,即A1B1=B1C=A1C=2,所以∠CA1B1=,即异面直线A1C与AB所成角为8.B 解析:由题意,设直线AB的方程为x=my+b(b≠0),与抛物线方程联立,消去x可得y2-2pmy-2pb=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2pm,y1y2=-2pb.由=x1x2+y1y2=(my1+b)(my2+b)+y1y2=(m2+1)y1y2+mb(y1+y2)+b2=(m2+1)(-2pb)+2pm2b+b2=b2-2pb=0,解得b=2p或b=0(舍去),即直线AB的方程为x=my+2p,则原点O到直线AB的距离d=,当m=0时,d取最大值,且d最大值=2p=4.所以p=2.9.AC 解析:由题意可得,甲、乙中位数分别为=24,=23,即甲的中位数大于乙的中位数,A正确;
甲的平均数=22.2,乙的平均数=23.2,甲的平均数小于乙的平均数,B错误;甲的方差[(8-22.2)2+(12-22.2)2+…+(34-22.2)2]=61.56,乙的方差[(7-23.2)2+(13-23.2)2+…+(38-23.2)2]=92.56,即,甲的竞技状态比乙的更稳定,C正确,D错误.10.AD 解析:因为f(x)=sinωx+cosωx=2sin,由于函数f(x)的零点构成一个公差为的等差数列,则该函数的最小正周期为π.因为ω>0,所以ω==2,所以f(x)=2sin将函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位长度,得到函数g(x)=2sin=2sin2x的图象.对于A选项,当x时,2x≤π,则函数g(x)在区间上单调递减,A选项正确;对于B选项,g=2sinπ=0≠±2,所以函数g(x)的图象不关于直线x=对称,B选项错误;对于C选项,函数g(x)的定义域为R,g(-x)=2sin(-2x)=-2sin2x=-g(x),函数g(x)为奇函数,C选项错误;对于D选项,当x时,2x,则-sin2x≤1,所以-g(x)≤2.所以当x时,g(x)∈[-,2],D选项正确.11.ABC 解析:如图,设BC的中点为M,过A作AH⊥BC于点H,连接PM,PA,AM.因为A=90°,|AB|=,|AC|=2,所以|BC|=5,|AM|=,所以由|AB||AC|=|BC||AH|,得|AH|==2,所以圆的半径为2,即点P所在圆的半径为2,所以点P所在圆的面积为4π,所以选项A正确,B正确;因为=0,所以=()·()=()=4+2,所以当P,M,A三点共线,且P,M在点A的两侧时,2取最大值,且(2)max=2||·||=2×2=10,所以的最大值为4+10=14,所以选项C正确,D错误.12.BCD 解析:因为a>0,b>0,且a+2b=2,对于A,5a+25b=5a+52b≥2=2=10,当且仅当5a=52b,即a=1,b=时取等号,故A错误;对于B,因为a+2b=2,所以a=2-2b(0<b<1),所以,令f(b)=,则f'(b)=,因为0<b<1,所以b3(1-b)2>0,令g(b)=2b3-(1-b)2,0<b<1,则g'(b)=6b2-2b+2>0,所以g(b)在区间(0,1)上单调递增,又g=0,所以当b时,g(b)<0,即f'(b)<0,f(b)在区间上单调递减,当b时,g(b)>0,即f'(b)>0,f(b)在区间上单调递增,所以f(b)min=f=6,故6,即B正确;对于C,b+=b+=b+,令h(b)=b+,则h'(b)=1+=1+,
当b>时,h'(b)>0,所以h(b)在区间上单调递增;当0<b<时,h'(b)=1-,所以h'(b)在区间上单调递增,又h'=0,所以在区间上,h'(b)<0,在区间上,h'(b)>0,即在区间上,h(b)单调递减,在区间上,h(b)单调递增,所以b=时h(b)取得最小值,且最小值为h,所以b+,故C正确;对于D,blna2+aln(2b)=2blna+aln(2b)=(2-a)lna+aln(2-a),令p(x)=(2-x)lnx+xln(2-x),0<x<2,则p(1)=0,p'(x)=-lnx+-1+ln(2-x)-=ln(2-x)-lnx+,当1<x<2时,ln(2-x)<0,-lnx<0,0<<1,>1,所以p'(x)<0,所以p(x)在区间(1,2)上单调递减,当0<x<1时,ln(2-x)>0,-lnx>0,>1,0<<1,所以p'(x)>0,所以p(x)在区间(0,1)上单调递增,所以x=1时p(x)有最大值,且p(x)max=p(1)=0,所以p(x)≤0在区间(0,2)上恒成立,所以p(a)≤0,故D正确.13.3 解析:设抛物线的焦点为F,由8x+y2=0得y2=-8x,所以F(-2,0).由题意得m>0,所以1+m=22,得m=3.14.120 解析:根据题意,分两步进行安排:第一步,将5名医生分为两组,一组3人,另一组2人,每一组选出1人,负责接种信息录入工作,有=60种分组方法;第二步,将分好的2组,安排到两个接种点,有2种情况,则共有60×2=120种安排方法.15.(84-48)π 解析:如图,由题意得BD=CD=2,AD⊥平面BCD,四面体A-BCD的体积VA-BCD=AD=,得AD=3,所以AB=,设BC的中点为E,连接AE,DE.因为BD=DC=2,∠BDC=60°,所以DE⊥BC,BC=BD=DC=2,DE=,所以AE⊥BC.所以AE==2所以四面体A-BCD的表面积S=2+22×2=6+3设内切球的半径为R,由VA-BCD=S·R=(2+)R=,得R==2-3,所以内切球的表面积为4πR2=12(7-4)π=(84-48)π.16 解析:根据题意有,∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则∠PAB+∠PBA=60°.因为AB=1,BC=2,∠CAB=90°,所以∠ABC=60°,即∠PBC+∠PBA=60°,所以∠PAB=∠PBC,从而有△PAB∽△PBC,则,则PC=2PB=4PA,在△PAB中,由余弦定理,可得PA2+PB2-12=2PA·PBcos120°,解得PB=,PA=,则PC=,故PA+PB+PC=
