8.7抛物线第八章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.了解抛物线的实际背景,感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程.3.理解抛物线的定义、几何图形和标准方程,并能解决相关问题.备考指导抛物线是高考的重点内容,考查频率很高,一般出现在选择题或填空题中,中等难度.在近几年高考中,抛物线的考查主要侧重于定义、方程、几何性质等,有时和向量、不等式、函数等内容结合.本节常用的方法有定义法、代入法、待定系数法,考查的题目常利用抛物线的定义进行转化.要加强逻辑推理、数学运算、直观想象的素养.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.问题思考若定点F在定直线l上,则动点的轨迹是什么图形?过点F且与直线l垂直的直线.\n2.抛物线的标准方程与几何性质\n抛物线中的常用结论:设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),AC,BD分别垂直于准线,垂足分别为C,D,如图所示,则⑤以AB为直径的圆与准线相切.⑥以AF或BF为直径的圆与y轴相切.⑦∠CFD=90°.\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.()(4)已知过抛物线的焦点与抛物线的对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径,则抛物线x2=-2ay(a>0)的通径长为2a.()(5)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线一定相切.()×××√×\n2.过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|PQ|等于()A.9B.8C.7D.6B抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.\n3.已知抛物线的顶点为原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(-2,-4),则该抛物线的标准方程为.4.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是.y2=-8x或x2=-y依题意,设抛物线方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0).将点P(-2,-4)的坐标代入,分别得方程为y2=-8x或x2=-y.[-1,1]由已知得Q(-2,0),当直线l的斜率不存在时,不满足题意,故设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,由Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0,解得-1≤k≤1.\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1抛物线的定义和标准方程命题角度1抛物线的定义及应用例1(1)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为()C\n(2)设P是抛物线y2=4x上的一个动点,若点B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为.4如图,分别作PM,BQ与准线垂直,垂足分别为M,Q,则|PB|+|PF|=|PB|+|PM|≥|BQ|=4,当B,P,Q三点共线时,等号成立.故|PB|+|PF|的最小值为4.\n拓展延伸若将本例1(2)中点B的坐标改为(3,4),则|PB|+|PF|的最小值为.\n命题角度2抛物线的标准方程及应用例2(1)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的标准方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16xC\n(2)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九章“勾股”,讲述了“勾股定理”及一些应用.书上将直角三角形的三条边分别称为“勾”“股”“弦”.设点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,l是该抛物线的准线,过抛物线上一点A作准线的垂线AB,垂足为B,射线AF交准线l于点C,若Rt△ABC的“勾”|AB|=3,“股”,则抛物线方程为()A.y2=2xB.y2=3xC.y2=4xD.y2=6xB\n解题心得1.根据抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离可以相互转化.2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于抛物线标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.\n对点训练1(1)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,为该抛物线上一点,以M为圆心的圆与抛物线C的准线相切于点A,∠AMF=120°,则抛物线方程为()A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8xC\nC\n能力形成点2抛物线的几何性质A\n(2)已知过抛物线C的焦点,且与抛物线C的对称轴垂直的直线l与抛物线C交于A,B两点,|AB|=12,P为抛物线C的准线上一点,则△ABP的面积为()A.18B.24C.36D.48C解题心得在涉及抛物线的焦点、顶点、准线的问题中,要注意利用几何图形直观、形象地解题.涉及抛物线上的关键点时,应运用代入的技巧,从代数的角度进行定量分析.\n对点训练2(1)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P为l上一点,Q为直线PF与抛物线C的一个交点,若,则|QF|=()C\n(2)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作抛物线的弦,与抛物线交于A,B两点,M为AB的中点,分别过A,B两点作抛物线的切线l1,l2相交于点P,△PAB常被称作阿基米德三角形.给出下列关于△PAB的结论:①点P必在抛物线的准线上;②AP⊥PB;③△PAB的面积的最小值为;④PF⊥AB;⑤PM平行于x轴.其中正确结论的个数是()A.2B.3C.4D.5C\n\n能力形成点3直线与抛物线的关系例4(多选)如图,过点P(2,0)作直线x=2和直线l:x=my+2(m>0)分别交抛物线y2=2x于点A,B和点C,D(其中点A,C位于x轴上方),直线AC,BD交于点Q,则下列说法正确的是()A.C,D两点的纵坐标之积为-4B.点Q在定直线x=-2上C.点P与抛物线上各点的连线中,PA最短D.无论CD旋转到什么位置,始终有∠CQP=∠DQPAB\n\n当n2=2时,|PN|取得最小值,所以点P与抛物线上各点的连线中,PA不是最短,所以C错误.无论CD旋转到什么位置,|PA|=|PB|.但|QA|≠|QB|,所以不可能始终满足∠CQP=∠DQP,所以D错误.\n例5已知抛物线C:x2=2py(p>0)和定点M(0,1),设过点M的动直线交抛物线C于A,B两点,抛物线C在点A,B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上,求p的值;(2)若△ABN面积的最小值为4,求抛物线C的方程.\n\n\n解题心得1.直线与抛物线相交于两点问题可结合抛物线的定义及几何性质进行处理,必要时联立直线方程与抛物线方程来解决.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系,采用“设而不求”“整体代入”的解法,有时可以直接利用抛物线中的常用结论.\n对点训练3(1)过抛物线x=8y2的焦点作两条互相垂直的弦AB,CD,则=.8\n\n\n\n第三环节 学科素养提升\n误区警示1——忽略抛物线中变量的取值范围致错典例1设点A的坐标为(a,0)(a∈R),求曲线y2=4x上的点到点A的距离的最小值.解:设曲线上任意一点B(x,y)到点A的距离为d,则d2=(x-a)2+y2=x2-(2a-4)x+a2=[x-(a-2)]2+(4a-4).由题意知x∈[0,+∞),反思提升在求与抛物线有关的最值时,要充分利用抛物线所隐含的条件.本题容易忽略抛物线方程中x的取值范围,也容易忽略对参数a进行分类讨论.\n误区警示2——忽视抛物线方程的标准形式致错答案:D\n\n解题心得1.本题中易将抛物线C1的方程与方程y2=2px混淆,导致抛物线的焦点求解错误.2.本题中使用判别式解决相切问题计算量较大,容易出错,不如利用导数工具能简便快捷地求出结果.
