8.3圆的方程第八章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.能通过实际案例理解构成圆的几何要素.2.在平面直角坐标系中,能推导出圆的标准方程并掌握其应用.3.掌握圆的标准方程和圆的一般方程的互化,并能从二元二次方程的角度理解圆与方程的关系.4.能根据给定的条件求圆的方程,并能应用圆的方程解决实际问题.备考指导圆的方程是高考命题的重点,在高考中以选择题或填空题的形式出现,难度中等.主要考查圆的标准方程和圆的一般方程的应用,经常与直线知识进行综合考查,有时也与椭圆、双曲线、抛物线知识相融合.本节常用的方法有公式法、代入法、待定系数法.要强化知识在实际情境的应用,加强逻辑推理、数学运算、直观想象和数学建模的素养.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.圆的定义及方程(1)定义:平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.(2)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为(a,b),半径为r.温馨提示1.当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0只有实数解它表示一个点.2.当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解,它不表示任何图形.\n2.点与圆的位置关系已知圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点(x0,y0).(1)(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔点在圆上;(2)(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔点在圆外;(3)(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔点在圆内.\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的圆.()(4)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.()√××√√\n2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=23.(多选)圆x2+y2-4x-1=0()A.关于点(2,0)对称B.关于直线y=0对称C.关于直线x+3y-2=0对称D.关于直线x-y+2=0对称D因为圆心为(1,1)且过原点,所以该圆的半径,所以该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.ABC圆的方程可化为(x-2)2+y2=5,可知圆心为(2,0),故圆关于点(2,0)对称,且关于经过点(2,0)的直线对称.\n4.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是()A.(-1,1)B.(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)5.已知方程x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0表示圆,则实数m的取值范围为.A∵点(1,1)在圆内,∴(1-a)2+(1+a)2<4,解得-1<a<1.(-1,3)x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0可化为(x-2)2+(y+m)2=3+2m-m2,故有3+2m-m2>0,解得-1<m<3.\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1求圆的方程例1(1)过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程为()A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4C由题意易知线段AB的垂直平分线的方程为y=x,所以所求圆的圆心坐标为(1,1),半径为2,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.故选C.\n(2)已知圆E经过点A(0,1),B(2,0),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为()C\n\n解题心得求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法:(1)几何法:通过研究圆的性质,求出圆的圆心及半径等基本量.确定圆心的坐标时,常用到三个性质:①圆心在过切点且垂直切线的直线上;②圆心在任意一条弦的垂直平分线上;③当两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线.(2)代数法:设出圆的方程,用待定系数法求解.①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,求出a,b,r的值;②若已知圆上三点的坐标,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,求出D,E,F的值.\n对点训练1(1)已知圆C的半径为5,圆心在x轴的负半轴上,且被直线3x+4y+4=0截得的弦长为6,则圆C的方程为()A.x2+y2-2x-3=0B.x2+y2+16x+39=0C.x2+y2-16x-39=0D.x2+y2-4x=0B设圆心坐标为(a,0)(a<0),解得a=-8,则圆C的方程为(x+8)2+y2=25,即x2+y2+16x+39=0.故选B.\n(2)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为()A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2B\n能力形成点2与圆有关的轨迹问题例2如图,已知点A(-1,0),B(1,0),C是圆x2+y2=1上的动点,连接BC并延长至点D,使得|CD|=|BC|,求AC与OD的交点P的轨迹方程.解设动点P(x,y),由题意可知P是△ABD的重心.设动点C(x0,y0)(y0≠0),依题意,C为BD的中点,B(1,0),则D(2x0-1,2y0).又A(-1,0),\n解题心得求与圆有关的轨迹方程问题时,根据题设条件的不同,常采用以下方法:(1)直接法:直接根据题目提供的条件求出轨迹方程.(2)定义法:根据圆、直线等定义求出轨迹方程.(3)几何法:利用圆的几何性质求出轨迹方程.(4)相关点代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式,进而求出轨迹方程.\n对点训练2已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.\n解(1)由题意知A,P两点不重合,设AP的中点为M(x,y),则点P的坐标为(2x-2,2y),其中x≠2.因为点P在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,即(x-1)2+y2=1.故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠2).(2)设PQ的中点为N(x,y).在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.设O为坐标原点,连接ON,图略,则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,即x2+y2-x-y-1=0.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.\n能力形成点3与圆有关的最值问题命题角度1斜率型最值问题例3已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求的最大值和最小值.\n命题角度2截距型最值问题例4在例3的条件下求y-x的最大值和最小值.解y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距.如图,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,\n命题角度3距离型最值问题例5在例3的条件下求x2+y2的最大值和最小值.解如图,x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.\n命题角度4利用函数或基本不等式求最值问题例6设圆x2+y2=2的切线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B,当|AB|取最小值时,切线l的方程为.x+y-2=0\n解题心得求解与圆有关的最值问题的两大规律:(1)借助几何性质求最值①形如的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最值问题;②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;③形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(2)利用函数或基本不等式求最值首先根据题目条件列出关于所求目标的关系式,然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、基本不等式等方法解决问题.\n对点训练3(1)(2020黑龙江大庆模拟)已知实数x,y满足x2-4x+3+y2=0,则的取值范围为,.\n(2)已知实数x,y满足(x-2)2+(y+1)2=1,则2x-y的最大值为,最小值为.令b=2x-y,则b为直线2x-y=b在y轴上的截距的相反数,当直线2x-y=b与圆相切时,b取得最值.(3)已知点P(x,y)在圆C:(x-1)2+(y-1)2=1上移动,则x2+y2的最小值为.\n(4)设P为直线3x-4y+11=0上的动点,过点P作圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB的面积的最小值为.\n第三环节 学科素养提升\n易错警示——轨迹问题易忘记检验特殊点致错典例设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.\n\n解题心得1.本题易忘记四边形MONP为平行四边形,导致未除去两个特殊点.2.本题也容易把求点P的轨迹理解成只求点P的轨迹方程,应注意求一动点满足的轨迹除了要求出轨迹方程,还要说明方程对应的是什么曲线.\n变式训练已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.\n\n(2)设M(x,y),C(x0,y0),因为B(3,0),M是BC的中点,由(1)知,点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0),将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1.故动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0).
