考点十三：三视图、几何计算13.1 空间几何体的结构及其三视图与直观图1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．13.2 空间几何体的表面积与体积了解柱体、锥体、台体、球体的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)高考真题示例1．（2022·安徽高考理科·Ｔ6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）（A）48（B）32+（C）48+（D）80【思路点拨】将三视图还原成直观图，可以知道这是一个底面为等腰梯形的直棱柱，之后利用面积公式，求出六个面的面积.【精讲精析】选C.这是一个底面为等腰梯形的直棱柱,两底面等腰梯形的面积和为四个侧面的面积为所以该几何体的表面积为48+.2.（2022·新课标全国高考理科·Ｔ6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）（A）（B）（C）（D）【思路点拨】由正视图和俯视图可联想到几何体的直观图，然后再推出侧视图.【精讲精析】选D.由正视图和俯视图可以推测几何体为半圆锥和三棱锥的组合体（如图所示），且顶点在底面的射影恰是底面半圆的圆心，可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D103.（2022·北京高考文科·T5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）（A）32（B）（C）48（D）正（主）视图侧（左）视图俯视图244【思路点拨】作出直观图，先求出斜高，再计算表面积.【精讲精析】选B.斜高为，表面积为.4.（2022·湖南高考理科·T3）设如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）332正视图侧视图俯视图（A）（B）（C）（D）【思路点拨】本题考查学生的空间想象能力和计算几何体的体积的能力.【精讲精析】选B.由三视图可以得到几何体的上面是一个半径为的球，下面是一个底面边长为3高为2的正四棱柱.故体积为5．（2022·陕西高考理科·T5）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）10（A）（B）（C）（D）【思路点拨】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算．【精讲精析】选A．由几何体的三视图可知该几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是.6.（2022·浙江高考理科·Ｔ3）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）【思路点拨】逐个检验筛查.【精讲精析】选D.由正视图来看符合条件的只有C,D.从俯视图来看只有D选项中的几何体符合.107.（2022·天津高考理科·T10）一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为__________【思路点拨】由三视图正确判断出组合体的图形是关键.【精讲精析】组合体的底座是一个长、宽、高分别为3、2、1的长方体，上面是一个底面半径为1，高为3的圆锥，所以所求的体积是：【答案】8.（2022·新课标全国高考理科·Ｔ15）已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为__.【思路点拨】画出图形，找出球心位置，然后数形结合求出棱锥O-ABCD的体积.【精讲精析】如图所示，垂直于矩形ABCD所在的平面，垂足为，连接，，则在中，由OB＝4,，可得＝2,【答案】9.（2022·新课标全国高考文科·Ｔ16）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________【思路点拨】画出图形，利用数形结合，然后利用球及圆的性质求解.【精讲精析】如图设球的半径为，圆锥的底面圆半径为，则依题意得，即，,10【答案】10.（2022·福建卷理科·Ｔ12）三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC的体积等于______.【思路点拨】利用公式求体积.【精讲精析】由题意得：【答案】】11.（2022·浙江高考文科·Ｔ8）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）（A）cm3（B）cm3（C）cm3（D）cm3【命题立意】本题主要考查了对三视图所表达的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题.【思路点拨】解答本题要先由三视图，想象出直观图，再求体积.【规范解答】选B.此几何体上方为正四棱柱、下方为四棱台.所以其体积为（cm3）.12.（2022·海南宁夏高考·理科T10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）（A）（B）（C）（D）10【命题立意】本小题主要考查了几何体的外接球问题.【思路点拨】找出球与棱柱的相应关系，找出球的半径与三棱柱棱长之间的关系.【规范解答】选Ｂ.设球心为，设正三棱柱上底面为，中心为，因为三棱柱所有棱的长为，则可知，，又由球的相关性质可知，球的半径，所以球的表面积为，故选Ｂ.13.（2022·天津高考文科·Ｔ12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为.【命题立意】本题主要考查三视图的基础知识，和柱体体积的计算，属于容易题.【思路点拨】由三视图还原几何体的形状.【规范解答】由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则由正视图和侧视图可知该几何体的高为1，结合三个视图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积为.【答案】314.（2022·山东高考文科·Ｔ4）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，该四棱锥侧面积和体积分别是（）A.B.C.D.8,810【解题指南】本题考查空间几何体的三视图及表面积和体积公式.【解析】选B.由图知，此棱锥高为2，底面正方形的边长为2，,侧面积需要计算侧面三角形的高，.15.（2022·广东高考理科·Ｔ5）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）A．4B．C．D．6【解题指南】本题考查空间想象能力与台体体积公式，应首先还原出台体形状再计算.【解析】选B.四棱台的上下底面均为正方形，两底面边长和高分别为，.16.（2022·辽宁高考文科·Ｔ10）与（2022·辽宁高考理科·Ｔ10）相同已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则球的半径为（）【解题指南】对于某些简单组合体的相接问题，通过作出截面，使得有关的元素间的数量关系相对集中在某个平面图形中。【解析】选C.由题意，结合图形，经过球心和三棱柱的侧棱中点的大圆，与三棱柱的侧棱垂直，三棱柱的底面三角形ABC为直角三角形，其外接圆的圆心为其斜边BC的中点，连接,由勾股定理，其中,所以球的半径为1017.（2022·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ6）如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ( )A.B.C.D.【解题指南】结合截面图形,构造直角三角形,利用勾股定理列出关于球半径的方程,求出球半径,再利用求出球的体积.【解析】选A.设球的半径为R,由勾股定理可知，,解得，所以球的体积.18.(2022·浙江高考文科·T5)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 ( )A.108cm3B.100cm3C.92cm3D.84cm3【解题指南】根据几何体的三视图,还原成几何体,再求体积.【解析】选B.由三视图可知原几何体如图所示,10所以.19.（2022·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ11）与（2022·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ8）相同某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π【解题指南】观察三视图，根据三视图确定几何体的构成，利用圆柱及长方体的体积公式求解.【解析】选A.由三视图可知,该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体,所以体积为×π×22×4+2×2×4=16+8π.20.（2022·辽宁高考理科·Ｔ13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_______.10【解题指南】由三视图知该几何体是一个简单的组合体，一个圆柱的内部被挖去一个长方体。【解析】圆柱的底面半径为2，母线长4，其体积被挖去一个底面是边长为2的正方形，侧棱长4的长方体，其体积故该几何体的体积是【答案】10
