考点五：数列基础5.1 数列的概念与简单表示法1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．5.2 等差数列及其前n项和1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系． 5.3 等比数列及其前n项和1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式和前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系． 6.4 数列的通项与求和1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．数列求和的常用方法1．公式法(1)直接用等差、等比数列的求和公式．(2)掌握一些常见的数列的前n项和．①1＋2＋3＋…＋n＝__________；②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝__________；③2＋4＋6＋…＋2n＝__________；④12＋22＋32＋…＋n2＝__________；⑤13＋23＋33＋…＋n3＝__________＝__________.2．倒序相加法如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如__________数列的前n项和公式即是用此法推导的．3.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如__________数列的前n项和公式就是用此法推导的．4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．5．分组转化法把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解．6．并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.6.5 数列的综合应用101．以递推关系为背景，在等差、等比数列交汇的题目中，进行数列的基本运算，求数列的通项公式与前n项和．2．在数列与函数、不等式、解析几何的交汇处，考查数列的综合应用．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题．高考真题示例1.(2022·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T16)数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1= .【解题提示】利用递推关系式逐步推导,可直接求得a1.【解析】由an+1=,可得an=1-,又a8=2,故a7=,……依次下去得a1=.答案:2.（2022·福建高考理科·Ｔ3）等差数列的前项和，若，则()【解题指南】利用公式，联系基本量建立方程求解．【解析】C.由题，，解得，所以．3．（2022·重庆高考文科·Ｔ2）在等差数列中,则（）A.B.C.D.【解题提示】根据题设条件求出公差,进而可求出的值.【解析】选B.设公差为,因为所以解得所以4.（2022·安徽高考文科·Ｔ7）设Sn为等差数列｛an｝的前n项和，，则a9=（）A.-6B.-4C.-2D.2【解题指南】利用等差数列的前n项和公式及通项公式求出首项及公差。【解析】选A。由，10联立解得，所以。5．（2022·上海高考文科·T2）在等差数列中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=.【解析】【答案】156.（2022·广东高考理科·Ｔ12）在等差数列中，已知，则=___【解题指南】本题考查等差数列的基本运算,可利用通项公式和整体代换的思想求解.【解析】设公差为，则，.【答案】20.7.(2022·新课标全国Ⅱ高考理科·T16)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为 .【解题指南】求得Sn的表达式,然后表示出nSn,将其看作关于n的函数,借助导数求得最小值.【解析】由题意知:错误！未找到引用源。解得d=错误！未找到引用源。,a1=-3,所以即nSn=错误！未找到引用源。,令f(n)=错误！未找到引用源。,则有令f'(n)>0,得,令f'(n)<0,得又因为n为正整数,所以当n=7时,取得最小值,即nSn的最小值为-49.【答案】-498.（2022·辽宁高考理科·Ｔ6）在等差数列{}中，已知+=16，则该数列前11项和=（）(A)58(B)88(C)143(D)176【解题指南】利用等差数列的性质：，10利用公式求和.【解析】选B.由于为等差数列，所以，所以.9.（2022·辽宁高考文科·Ｔ4）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（）(A)12(B)16(C)20(D)24【解题指南】利用等差数列的性质：.【解析】选B.由于为等差数列，所以.10.（2022·江西高考理科·Ｔ12）设数列都是等差数列.若，则________【解题指南】根据等差数列的性质，整体得到三者所满足的关系，求得的值.【解析】均是等差数列，根据等差数列的性质，，，即，＝35.【答案】3511.（2022·辽宁高考文科·Ｔ15）若Sn为等差数列{an}的前n项和，，，则____________．【思路点拨】可利用等差数列的下标性质，迅速求解．【精讲精析】∵，即．∴．由下标性质知：，∵，∴．【答案】12.（2022·广东高考理科·Ｔ11）等差数列前9项的和等于前4项的和.若10，则.【思路点拨】利用等差数列前项和公式求得公差，然后再由求得的值.【精讲精析】由题意得，解得.则，.由得，解得.【答案】1013.（2022·天津高考文科·Ｔ5）设是首项为，公差为的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则=（）A.2B.-2C.D.【解析】选D.因为成等比数列，所以即，解得14.(2022·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T5)等差数列的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则的前n项和Sn=( )A.n(n+1)B.n(n-1)C.D.【解题提示】利用a2,a4,a8成等比数列求得公差,然后利用等差数列求和公式求和.【解析】选A.因为d=2,a2,a4,a8成等比,所以=a2a8,即(a2+2d)2=a2(a2+6d),解得a2=4,a1=2.所以利用等差数列的求和公式可求得Sn=n(n+1).15.(2022·广东高考文科·T13)等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= .【解析】方法一:各项均为正数的等比数列{an}中a1a5=a2a4==4,则a1a2a3a4a5=25,log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log225=5.方法二:各项均为正数的等比数列{an}中a1a5=a2a4==4,设log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=S,则log2a5+log2a4+log2a3+log2a2+log2a1=S,2S=5log2(a1a5)=10,S=5.10答案:516.(2022·广东高考理科)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20= .【解析】各项均为正数的等比数列{an}中a10a11=a9a12=…=a1a20,则a1a20=e5,lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a20)10=lne50=50.方法二:各项均为正数的等比数列{an}中a10a11=a9a12=…=a1a20,则a1a20=e5,设lna1+lna2+…+lna20=S,则lna20+lna19+…+lna1=S,2S=20ln(a1a20)=100,S=50.答案:50【误区警示】易算错项数和幂次,要充分利用等比数列的性质.17.（2022·天津高考理科·Ｔ11）设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前项和.若成等比数列，则的值为__________.【解析】因为所以，即，解得.【答案】18.（2022·安徽高考理科·Ｔ12）数列是等差数列，若，，构成公比为的等比数列，则______.【解题提示】求出等差数列的公差即可用表示出等比数列的三项，即可计算出公比。【解析】设等差数列的公差为d,则，即，解得d=-1,所以，，所以.答案：11019.（2022·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ6）设首项为1，公比为的等比数列｛an｝的前n项和为Sn，则（）A.B.C.D.【解题指南】利用等比数列的前n项和公式求解.【解析】选D.方法一：因为等比数列的首项为1，公比为错误！未找到引用源。，，所以.20.（2022·大纲版全国卷高考文科·Ｔ7）已知数列满足（）A.B.C.D.【解题指南】由求出数列的公比，再利用等比数列的求和公式确定数列的前项的和.【解析】选C.因为，则，又，所以数列是首项为，公比的等比数列.故21.（2022·江西高考文科·Ｔ12）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于.【解题指南】转化为等比数列前n项和的问题.【解析】记第n天植树的棵树为，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，解得n=6.【答案】622.（2022·北京高考文科·Ｔ11）与（2022·北京高考理科·Ｔ10）相同若等比数列{an}满足a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比q=；前n项和Sn=.【解题指南】把a2＋a4=20，a3＋a5=40作比可求出公比，再代回求出首项，最后求前n项和。10【解析】，，。【答案】223.（2022·广东高考文科·Ｔ11）设数列是首项为，公比为的等比数列，则【解析】由题意知，得.【答案】15.24.（2022·辽宁高考文科·Ｔ14）与（2022·辽宁高考理科·Ｔ14）相同已知等比数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6= .【解题指南】利用方程求得a1,a3的值,结合等比数列,求出基本量(首项和公比),进而解决求和问题.【解析】因为方程x2-5x+4=0的根为1,4,而等比数列{an}是递增数列,所以a1=1,a3=4.由等比数列的通项公式得,a3=a1q2=q2=4⇒q=±2.又因为等比数列{an}是递增数列,故q=2.从而【答案】25.（2022·新课标全国高考理科·T5）已知为等比数列，，，则（）（A）7(B)5(C)-5(D)-7【解题指南】利用等比数列的性质将替换为，然后联立方程组求得的值，最后将及公比的值整体代入求出其值.【解析】选D.为等比数列，，联立10或，故.26.（2022·安徽高考理科·Ｔ4）公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则（）【解题指南】由等比数列的性质得到，再结合等比数列中任意两项的关系即可解得.【解析】选..27.（2022·辽宁高考文科·Ｔ5）若等比数列满足，则公比为（）（A）2（B）4（C）8（D）16【思路点拨】利用函数思想可快速求解．【精讲精析】选B．因为等比数列满足，①所以②②①得．又因为，所以．28.（2022·广东高考文科·Ｔ11）已知是递增等比数列，a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=_____.【思路点拨】由等比数列的通项公式，可得关于公比的方程，从而求出.【精讲精析】由得，即，解得或（由数列是递增数列，舍去）【答案】229.（2022·北京高考文科·T12）在等比数列中，若，则公比=；=.10【精讲精析】，解得，.【答案】230.（2022·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ14）若数列的前项和，则的通项公式是_________【解题指南】先利用S1=a1求出a1的值,再利用Sn-Sn-1=an求出通项公式an.【解析】由，解得，又，所以，得，所以数列是首项为1，公比为的等比数列.故数列的通项公式【答案】10
