第24讲 直角三角形与锐角三角函数1.(2022，河北)如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C.若∠BOD＝38°，则∠A＝52°.第1题图【解析】∵∠BOD＝38°，∴∠AOC＝38°.∵AC⊥CD于点C，∴∠A＝90°－∠AOC＝90°－38°＝52°.2.(2022，河北)如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n不等于(A)第2题图A.2B.3C.4D.5【解析】如答图．将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n可以为3，4，5，故n≠2.第2题答图3.(2022，邯郸一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，则Rt△ABC的中线CD的长为(A)第3题图A.5B.6C.8D.10【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10.∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD＝AB＝5.4.(2022，唐山路南区三模)如图，在正方形ABCD中，AE⊥BE，且AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是(C)第4题图A.16B.18C.19D.2111\n【解析】∵AE⊥BE，且AE＝3，BE＝4，∴在Rt△ABE中，AB2＝AE2＋BE2＝25.∴S阴影＝S正方形ABCD－S△ABE＝AB2－AE·BE＝25－×3×4＝19.. 直角三角形中的边角关系例1(2022，扬州高邮模拟)具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(D)A.∠A＋∠B＝∠CB.∠A－∠B＝∠CC.∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D.∠A＝∠B＝3∠C【解析】选项A中∠A＋∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∴∠C＝90°.∴△ABC是直角三角形．同理可证，B，C两选项中的△ABC均是直角三角形．选项D中∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故此选项中的△ABC不是直角三角形.针对训练1(导学号5892921)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，M为AB边的中点，连接ME，MD，ED.设AB＝4，∠DBE＝30°，则△DEM的面积为.训练1题图【解析】∵在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，∴△ABE，△ADB是直角三角形．∴EM，DM分别是它们斜边上的中线．∴EM＝DM＝AB.∵ME＝AB＝MA，∴∠MAE＝∠MEA.∴∠BME＝2∠MAE.同理MD＝AB＝MA.∴∠MAD＝∠MDA.∴∠BMD＝2∠MAD.∴∠EMD＝∠BME－∠BMD＝2∠MAE－2∠MAD＝2∠DAC＝2∠DBE＝60°.所以△DEM是边长为2的正三角形，所以S△DEM＝.针对训练2(2022，宜城模拟)在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则BC的长为10或6.【解析】本题分两种情况．(1)如答图①，AB＝10，AC＝2，AD＝6.在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理，得BD＝＝8，CD＝＝2，此时BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.(2)如答图②，AB＝10，AC＝2，AD＝6.在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理，得BD＝＝8，CD＝＝2，此时BC＝BD－CD＝8－2＝6.综上所述，BC的长为10或6.训练2答图11\n 锐角三角函数的定义例2(2022，哈尔滨道里区模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝3，则BC的长为(C)例2题图A.3sin35°B.C.3cos35°D.3tan35°【解析】∵cos35°＝＝，∴BC＝3cos35°.针对训练3(2022，唐山古冶区二模)如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，⊙O的半径为1，圆心O在格点上，则tan∠AED等于(C)训练3题图A.1B.C.D.【解析】∵AC＝1，AB＝2，∴tan∠ABC＝＝.由圆周角定理，得∠AED＝∠ABC.∴tan∠AED＝.针对训练4如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB等于(B)训练4题图A.B.C.D.【解析】如答图，作CD⊥AB于点D.由题意，得AB＝AC＝，BC＝.由三角形的面积，得AB·CD＝.∴CD＝.∴sin∠CAB＝＝＝.训练4答图11\n 特殊角的三角函数值例3(2022，嘉兴一模)把一把直尺与一块三角板如图所示放置．若sin∠1＝，则∠2的度数为(B) 例3题图A.120°B.135°C.145°D.150°【解析】如答图．∵sin∠1＝，∴∠1＝45°.∵在Rt△EFG中，∠3＝90°－∠1＝90°－45°＝45°，∴∠4＝180°－∠3＝135°.∵AB∥CD，∴∠2＝∠4＝135°.例3答图针对训练5在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝，你认为△ABC最确切的判断是(B)A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.锐角三角形【解析】由题意，得∠A＝45°，∠B＝45°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°.针对训练6如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠BOC＝120°，则tanA的值为(A)训练6题图A.B.C.D.【解析】∵点O到△ABC三边的距离相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB.∴∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－2(∠OBC＋∠OCB)＝180°－2×(180°－∠BOC)＝180°－2×(180°－120°)＝60°.∴tanA＝tan60°＝. 一、选择题1.(2022，天津)cos30°的值为(B)A.B.C.1D.【解析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．2.(2022，深圳龙岗区模拟)如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么其中的一个锐角的度数是(B)A.9°B.18°C.27°D.36°11\n【解析】设较小的锐角是x°，则另一个锐角是4x°.则x＋4x＝90.解得x＝18.∴4x＝72.所以两个锐角分别是18°和72°.3.(2022，孝感)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA的值为(A)第3题图A.B.C.D.【解析】在Rt△ABC中，∵AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝＝6.∴sinA＝＝＝.4.(2022，贵阳)如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为(B)第4题图A.B.1C.D.【解析】如答图，连接BC.由网格，得AB＝BC＝，AC＝，即AB2＋BC2＝AC2.∴△ABC为等腰直角三角形．∴∠BAC＝45°.∴tan∠BAC＝1.第4题答图5.(2022，淄博，导学号5892921)如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为(B)第5题图A.4B.6C.4D.8【解析】∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB，MN∥BC，且MN平分∠AMC，∴∠B＝∠AMN＝∠NMC，∠NCM＝∠BCM＝∠NMC.∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC.∴∠B＝30°.∵AN＝1，∴MN＝2.∴AC＝AN＋NC＝3.∴BC＝6.6.(2022，扬州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是(C)11\n第6题图A.BC＝ECB.EC＝BEC.BC＝BED.AE＝EC【解析】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠ACD＋∠A＝90°.∴∠BCD＝∠A.∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE.∵∠BEC＝∠A＋∠ACE，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE.∴BC＝BE.7.(2022，贺州)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD＝ED＝3，则BC的长为(D)第7题图A.3B.3C.6D.6【解析】∵AD＝ED＝3，AD⊥BC，∴△ADE为等腰直角三角形．根据勾股定理，得AE＝＝3.∵在Rt△ABC中，E为BC的中点，∴AE＝BC.∴BC＝2AE＝6.8.(2022，大同模拟，导学号5892921)一直角三角形的两边长分别为6和8，则该三角形中较小锐角的正弦值为(C)A.B.C.或D.或【解析】本题分两种情况．①当斜边长是8时，直角三角形的另一直角边长是＝2.∴较小锐角的正弦值为.②当两直角边长分别是6和8时，由勾股定理，得斜边长为10.∴较小锐角的正弦值为.所以该三角形中较小锐角的正弦值为或.二、填空题9.(2022，德州)如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是().第9题图【解析】∵AB2＝32＋42＝25，AC2＝22＋42＝20，BC2＝12＋22＝5，∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°.∴sin∠BAC＝＝.10.11\n(2022，湘潭)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长．如果设AC＝x，那么可列方程为x2＋32＝(10－x)2.第10题图【解析】∵AC＋AB＝10，∴AB＝10－x.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2＋BC2＝AB2，即x2＋32＝(10－x)2.11.(2022，石家庄裕华区模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为6.第11题图【解析】由作图过程及痕迹，得CF⊥AB.∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝8，∠CBD＝60°.∴在Rt△BCF中，∠BCF＝30°.∴BF＝BC＝2.∴AF＝AB－BF＝8－2＝6.三、解答题12.如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝520m，∠D＝30°，那么另一边的开挖点E离D多远时，正好使A，C，E三点在同一直线上？(取1.732，结果取整数)第12题图【思路分析】根据三角形内角与外角的关系可求出∠AED的度数，再根据勾股定理即可求出DE的长．解：∵∠ABD＝120°，∠D＝30°，∴∠AED＝120°－30°＝90°.在Rt△BDE中，BD＝520m，∠D＝30°，∴BE＝260m.∴DE＝＝260≈450(m)．答：另一边的开挖点E离D约450m时，正好使A，C，E三点在同一直线上．13.(2022，北京顺义区二模)如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AD⊥DB，E为AB11\n的中点，BC∥DE.(1)求证：BD平分∠ABC；(2)连接EC，若∠A＝30°，DC＝，求EC的长．第13题图【思路分析】(1)直接利用直角三角形的性质得出DE＝BE＝AB，再利用BC∥DE得出∠BDE＝∠DBC，进而得出答案．(2)利用已知得出在Rt△BCD中，∠DBC＝60°，又由DC＝得出DB的长，再在Rt△CDE中利用勾股定理求出EC的长．(1)证明：如答图．∵AD⊥DB，E为AB的中点，∴DE＝BE＝AB.∴∠1＝∠2.∵BC∥DE，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3，即BD平分∠ABC.(2)解：如答图．∵AD⊥DB，∠A＝30°，∴∠1＝60°.∴∠3＝∠2＝60°.∵∠BCD＝90°，∴∠4＝30°.∴∠CDE＝∠2＋∠4＝90°.∵在Rt△BCD中，∠3＝60°，DC＝，∴DB＝2.∵DE＝BE，∠1＝60°，∴DE＝DB＝2.∴EC＝＝＝.第13题答图14.(2022，保定二模)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形按图①或图②所示的方式摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2.证明：连接DB，过点D作△BCD的BC边上的高DF，则DF＝EC＝b－a.∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab，且S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)，∴b2＋ab＝c2＋a(b－a)．∴a2＋b2＝c2.请参照上述证法，利用图②完成下面的证明．11\n将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB＝90°.求证：a2＋b2＝c2.第14题图【思路分析】先连接BD，过点B作△BDE的DE边上的高BF，则BF＝b－a，用两种不同的方式表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．证明：如答图，连接BD，过点B作△BDE的DE边上的高BF，则BF＝b－a.∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE＝ab＋b2＋ab，且S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c2＋a(b－a)，∴ab＋b2＋ab＝ab＋c2＋a(b－a)．∴a2＋b2＝c2.第14题答图 1.(2022，温州，导学号5892921)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成．若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为(B)第1题图A.20B.24C.D.【解析】如答图．设小正方形的边长为x.∵a＝3，b＝4，∴AB＝3＋4＝7.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即(3＋x)2＋(x＋4)2＝72.整理，得x2＋7x－12＝0，即x2＋7x＝12.∴该矩形的面积为(x＋3)(x＋4)＝x2＋7x＋12＝24.11\n第1题答图2.(2022，天津，导学号5892921)如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为().第2题图【解析】如答图，连接DE.∵在边长为4的等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，BD＝BE＝EC＝2.∴DE＝2，且DE∥AC.∵EF⊥AC于点F，∠C＝60°，∴∠FEC＝30°，∠DEF＝∠EFC＝90°.∴FC＝EC＝1.∴EF＝＝.∵G为EF的中点，∴EG＝.∴DG＝＝.第2题答图3.(2022，贵阳)如图，在▱ABCD中，AE是BC边上的高，F是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称．(1)求证：△AEF是等边三角形；(2)若AB＝2，求△AFD的面积．第3题图【思路分析】(1)先根据AE是BC边上的高及AD∥BC证△ADE为直角三角形．由F是DE的中点知AF＝EF，再结合AE与AF关于AG对称知AE＝AF，即可得证．(2)记AG，EF的交点为H.由△AEF是等边三角形且AB与AG关于AE对称、AE与AF关于AG对称知∠BAE＝∠GAE＝30°，据此由AB＝2知AE＝AF＝DF＝，AH＝，从而得出答案．(1)证明：∵AE是BC边上的高，∴AE⊥BC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴AE⊥AD，即∠DAE＝90°.11\n∵F是DE的中点，∴AF＝EF＝DF.∵AE与AF关于AG对称，∴AE＝AF.∴EF＝AE＝AF.∴△AEF是等边三角形．(2)解：如答图，记AG，EF的交点为H.∵△AEF是等边三角形，且AE与AF关于AG对称，∴∠EAG＝30°，AG⊥EF.∵AB与AG关于AE对称，∴∠BAE＝∠GAE＝30°，∠AEB＝90°.∵AB＝2，∴BE＝1，DF＝AF＝AE＝.∴EH＝AE＝，AH＝.∴S△AFD＝DF·AH＝××＝.第3题答图11
