第21讲 三 角 形1.(2022，河北)已知三角形的三边长分别为2，x，13.若x为正整数，则这样的三角形个数为(B)A.2B.3C.5D.13【解析】由题意，得解得11＜x＜15.因为x为正整数，所以x可以为12，13，14.2.(2022，河北，导学号5892921)如图①，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B＝30°，∠C＝100°，如图②，则下列说法正确的是(C)第2题图A.点M在AB上B.点M在BC的中点处C.点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D.点M在BC上，且距点C较近，距点B较远【解析】如答图，取BC的中点E，连接AE，则BE＝CE.∵∠C＝100°，∴AB＞AC.∴AB＋BE＞AC＋CE.由三角形的三边关系，得AC＋BC＞AB.∴AB＜AD.∴AD的中点M在BE上，即点M在BC上，且距点B较近，距点C较远．第2题答图3.(2022，河北)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE＝2，则BC的长为(C)第3题图A.2B.3C.4D.5【解析】∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴BC＝2DE＝4.4.(2022，河北)如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点，则a，b相交所成的锐角是(B)第4题图A.20°B.30°C.70°D.80°【解析】如答图，分别延长a，b10\n交于一点，形成一个三角形．根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，可以得到a，b相交所成的锐角是100°－70°＝30°.第4题答图5.(2022，河北)下列图形具有稳定性的是(A)ABCD【解析】三角形具有稳定性． 三角形的边与角例1如图，把△ABC沿DE折叠，当∠A落在四边形BCDE内时，∠A与∠1＋∠2之间始终不变的关系是(B)例1题图A.∠A＝∠1＋∠2B.2∠A＝∠1＋∠2C.3∠A＝∠1＋∠2D.3∠A＝2(∠1＋∠2)【解析】∵△ABC沿DE折叠，∴∠1＋2∠AED＝180°，∠2＋2∠ADE＝180°.∴∠AED＝(180°－∠1)，∠ADE＝(180°－∠2)．∴∠AED＋∠ADE＝(180°－∠1)＋(180°－∠2)＝180°－(∠1＋∠2)．∴在△ADE中，∠A＝180°－(∠AED＋∠ADE)＝180°－＝(∠1＋∠2)，即2∠A＝∠1＋∠2.针对训练1(2022，聊城)如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE.如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是(A)训练1题图A.γ＝2α＋βB.γ＝α＋2βC.γ＝α＋βD.γ＝180°－α－β【解析】如答图．由折叠，得∠A′＝∠A.∵∠BDA′＝∠A＋∠AFD，∠AFD＝∠A′＋∠CEA′，∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，∴∠BDA′＝γ＝α＋α＋β＝2α＋β.10\n训练1答图 三角形的角平分线、中线、高、中位线例2如图，在△ABC中，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条平分线所在的直线交于点E.(1)①如图①，若∠B＝60°，则∠E＝30°；②如图②，若∠B＝90°，则∠E＝45°；(2)如图③，若∠B＝α，求∠E的度数；(3)如图④，仿照(2)中的方法，在(2)的条件下分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点G，求∠G的度数． ①②③④例2题图【思路分析】(1)①根据三角形的外角性质可得∠DAC－∠ACB＝∠B＝60°，再根据角平分线的定义可得∠FAC－∠ACE＝30°，可求∠E的度数．②根据三角形的外角性质可得∠DAC－∠ACB＝∠B＝90°，再根据角平分线的定义可得∠FAC－∠ACE＝45°，可求∠E的度数．(2)根据三角形的外角性质可得∠DAC－∠ACB＝∠B＝α，再根据角平分线的定义可得∠FAC－∠ACE＝α，可求∠E的度数．(3)根据角平分线的定义和三角形的外角性质可得∠G＝∠HAC－∠ACG＝∠FAC－∠ACE＝(∠FAC－∠ACE)，可求∠G的度数．解：(1)①30°②45°(2)∵AF平分∠DAC，CE平分∠ACB，∴∠FAC＝∠DAC，∠ACE＝∠ACB.∵∠DAC－∠ACB＝∠B＝α，∴∠E＝∠FAC－∠ACE＝∠B＝α.(3)∵AG，CG分别平分∠EAB与∠ECB，∴∠G＝∠HAC－∠ACG＝∠FAC－∠ACE＝(∠FAC－∠ACE)＝×∠B＝α.针对训练2(2022，广州海珠区模拟)如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，连接BE，CE.若△ABC的面积是8，则阴影部分的面积为(B)10\n训练2题图A.2B.4C.6D.8【解析】∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC.∵E是AD的中点，∴S△ABE＝S△BDE＝S△ABD，S△CDE＝S△CAE＝S△ACD.∴S△ABE＝S△ABC，S△CDE＝S△ABC.∴S△ABE＋S△CDE＝S△ABC＝×8＝4.∴阴影部分的面积为4.针对训练3(2022，黄石)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠C等于(A)训练3题图A.75°B.80°C.85°D.90°【解析】∵AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，∴∠BAD＝30°.∵∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE＝25°.∴∠DAE＝30°－25°＝5°.∵在△ABC中，∠C＝180°－∠ABC－∠BAC＝70°，∴∠EAD＋∠C＝5°＋70°＝75°.针对训练4(2022，河北)如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM＝AC，BN＝BC，测得MN＝200m，则A，B间的距离为100m.训练4题图【解析】∵AM＝AC，BN＝BC，∴AB是△CMN的中位线．∴AB＝MN＝100(m)．一、选择题1.(2022，长沙)下列长度的三条线段，能组成三角形的是(B)A.4cm，5cm，9cm B.8cm，8cm，15cmC.5cm，5cm，10cm D.6cm，7cm，14cm【解析】A.∵5＋4＝9，9＝9，∴此三条线段不能组成三角形．故此选项错误．B.8＋8＝16，16＞15，∴此三条线段能组成三角形．故此选项正确．C.∵5＋5＝10，10＝10，∴此三条线段不能组成三角形．故此选项错误．D.∵6＋7＝13，13＜14，∴此三条线段不能组成三角形．故此选项错误．2.(2022，石家庄模拟)一副三角板有两个直角三角形，如图所示叠放在一起，则α的度数是(A)10\n第2题图A.165°B.120°C.150°D.135°【解析】如答图．∵∠1＋45°＋90°＝180°，∴∠1＝45°.∵∠1＝∠2＋30°，∴∠2＝15°.∵∠2＋α＝180°，∴α＝165°.第2题答图3.(2022，石家庄裕华区一模)如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO.若∠DOF＝142°，则∠C的度数为(A)第3题图A.38°B.39°C.42°D.48°【解析】∵△ABC沿DE，EF翻折，∴∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠B.∴∠DOF＝∠DOE＋∠EOF＝∠A＋∠B＝142°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－142°＝38°.4.(2022，昆明)在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为(B)第4题图A.90°B.95°C.100°D.120°【解析】∵CO＝AO，∠AOC＝130°，∴∠CAO＝25°.∵∠AOB＝70°，∴∠CDO＝∠CAO＋∠AOB＝25°＋70°＝95°.5.(2022，淄博周村区二模)用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是(A)ABCD【解析】根据高线的定义可得出结论．6.(2022，贵阳)如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是(B)10\n第6题图A.线段DEB.线段BEC.线段EFD.线段FG【解析】根据三角形中线的定义可得出结论．7.(2022，宿迁)如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC.若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是(B)第7题图A.24°B.59°C.60°D.69°【解析】∵∠A＝35°，∠C＝24°，∴∠DBC＝∠A＋∠C＝59°.∵DE∥BC，∴∠D＝∠DBC＝59°.8.(2022，石家庄模拟)如图，长度为10m的木条，从两边各截取长度为xm的木条．若得到的三根木条能组成三角形，则x可以取的值为(C)第8题图A.2mB.mC.3mD.6m【解析】根据三角形三边关系，得2x＞10－2x，且2x＜10.解得2.5<x<5.9.(2022，廊坊安次区一模)下列图形中，能确定∠1＞∠2的是(C)ABCD【解析】A.∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2.故此选项错误．B.若两条直线平行，则∠1＝∠2.若两条直线不平行，则∠1与∠2的大小关系无法进行判断．故此选项错误．C.∵∠1是∠2所在三角形的一个外角且与∠2不相邻，∴∠1＞∠2.故此选项正确．D.∵已知三角形是直角三角形，∴由直角三角形两锐角互余可判断出∠1＝∠2.10.(2022，长春)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A＝54°，∠B＝48°，则∠CDE的度数为(C)第10题图A.44°B.40°C.39°D.38°【解析】∵∠A＝54°，∠B＝48°，∴∠ACB＝180°－54°－48°＝78°.∵CD10\n平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCB＝×78°＝39°.∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠DCB＝39°.11.(2022，西安灞桥区模拟，导学号5892921)如图，S△ABC＝1.若S△BDE＝S△DEC＝S△ACE，则S△ADE等于(B)第11题图A.B.C.D.【解析】∵S△BDE＝S△DEC，∴BD＝DC.∴S△ABD＝S△ABC＝.∵S△ABC＝1，S△BDE＝S△DEC＝S△ACE，∴S△BDE＝S△DEC＝S△ACE＝.∴S△ADE＝S△ABD－S△BDE＝－＝.12.(2022，杭州二模)四根长度分别为3，4，6，x(x为正整数)的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，则(D)A.组成的三角形中周长最小为9B.组成的三角形中周长最小为10C.组成的三角形中周长最大为19D.组成的三角形中周长最大为16【解析】由从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，可得3＜x＜7.因为x为正整数，所以x只能为4或5或6.所以其周长最小为4＋3＋4＝11，周长最大为4＋6＋6＝16.13.(2022，河北二模)如图，将直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点B重合，折痕为DE.若∠C＝90°，∠A＝35°，则∠DBC的度数为(C)第13题图A.40°B.30°C.20°D.10°【解析】∵∠C＝90°，∠A＝35°，∴∠ABC＝55°.由折叠，可得∠ABD＝∠A＝35°.∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝55°－35°＝20°.二、填空题14.(2022，泰州)已知三角形两边的长分别为1，5，第三边的长为整数，则第三边的长为5.【解析】设第三边的长为x.根据三角形的三边关系，得4＜x＜6.因为第三边的长为整数，所以第三边的长是5.15.(2022，白银)已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a－7|＋(b－1)2＝0，c为奇数，则c＝7.【解析】∵a，b满足|a－7|＋(b－1)2＝0，∴a－7＝0，b－1＝0.解得a＝7，b＝1.∵7－1＝6，7＋1＝8，∴6＜c＜8.∵c为奇数，∴c＝7.三、解答题16.(2022，宜昌)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.(1)求∠CBE的度数；(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．10\n第16题图【思路分析】(1)先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＝90°－∠A＝50°，由邻补角的定义得出∠CBD＝130°.再根据角平分线的定义即可求出∠CBE＝∠CBD＝65°.(2)先根据三角形外角的性质得出∠CEB＝90°－65°＝25°，再根据平行线的性质即可求出∠F＝∠CEB＝25°.解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°－∠A＝50°.∴∠CBD＝130°.∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝∠CBD＝65°.(2)∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°－65°＝25°.∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°.17.(2022，扬州江都区模拟)如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点D.(1)若∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，求∠D的度数；(2)若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D，∠M，∠N的关系，并说明理由．第17题图【思路分析】(1)根据三角形内角和定理以及角平分线定义，先求出∠D，∠A的等式，推出∠A＝2∠D，最后代入求出即可．(2)根据(1)中的结论即可得到结论．解：(1)∵∠ACE＝∠A＋∠ABC，∴∠ACD＋∠ECD＝∠A＋∠ABD＋∠DBE，∠DCE＝∠D＋∠DBC.∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴∠ABD＝∠DBE，∠ACD＝∠ECD.∴∠A＝2(∠DCE－∠DBC)，∠D＝∠DCE－∠DBC.∴∠A＝2∠D.∵∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，∴∠A＝60°.∴∠D＝30°.(2)∠D＝(∠BMN＋∠CNM－180°)．理由：如答图，延长BM，CN交于点A，则∠A＝∠BMN＋∠CNM－180°.10\n由(1)知∠D＝∠A.∴∠D＝(∠BMN＋∠CNM－180°)．第17题答图1.(导学号5892921)如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，BC上．若AD∶DB＝CE∶EB＝2∶3，则△DBE与△ADC的面积比为(C)第1题图A.3∶5B.4∶5C.9∶10D.15∶16【解析】∵AD∶DB＝CE∶EB＝2∶3，∴S△BDC∶S△ADC＝3∶2，S△BDE∶S△DCE＝3∶2.设S△BDC＝3x，则S△ADC＝2x，S△BED＝1.8x.∴△DBE与△ADC的面积比为1.8x∶2x＝9∶10.2.(2022，天津南开区模拟，导学号5892921)如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，则∠A1＝().∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2017BC的平分线与∠A2017CD的平分线交于点A2018，得∠A2018，则∠A2018＝(). 第2题图【解析】∵∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，∴2∠A1CD＝∠A＋2∠A1BC，即∠A1CD＝∠A＋∠A1BC.∴∠A1＝∠A＝.依此类推，∠A2018＝.3.(2022，苏州常熟模拟)△ABC的三条角平分线相交于点I，过点I作DI⊥IC，交AC于点D.(1)如图①，求证：∠AIB＝∠ADI；(2)如图②，延长BI，交外角∠ACE的平分线于点F.①判断DI与CF的位置关系，并说明理由；②若∠BAC＝70°，求∠F的度数．10\n第3题图【思路分析】(1)只要证明∠AIB＝90°＋∠ACB，∠ADI＝90°＋∠ACB即可．(2)①只要证明∠IDC＝∠ACF即可．②先求出∠ACE－∠ABC＝∠BAC＝70°，再求出∠F＝∠ACE－∠ABC＝(∠ACE－∠ABC)＝∠BAC即可解决问题．(1)证明：∵AI，BI分别平分∠BAC，∠ABC，∴∠BAI＝∠BAC，∠ABI＝∠ABC.∴∠BAI＋∠ABI＝(∠BAC＋∠ABC)＝(180°－∠ACB)＝90°－∠ACB.∴∠AIB＝180°－(∠BAI＋∠ABI)＝180°－＝90°＋∠ACB.∵CI平分∠ACB，∴∠DCI＝∠ACB.∵DI⊥IC，∴∠DIC＝90°.∴∠ADI＝∠DIC＋∠DCI＝90°＋∠ACB.∴∠AIB＝∠ADI.(2)解：①DI∥CF.理由：∵CF平分∠ACE，∴∠ACF＝∠ACE＝(180°－∠ACB)＝90°－∠ACB.∵∠IDC＝90°－∠DCI＝90°－∠ACB，∴∠IDC＝∠ACF.∴DI∥CF.②∵∠ACE＝∠ABC＋∠BAC，∴∠ACE－∠ABC＝∠BAC＝70°.∵∠FCE＝∠FBC＋∠F，∴∠F＝∠FCE－∠FBC.∵∠FCE＝∠ACE，∠FBC＝∠ABC，∴∠F＝∠ACE－∠ABC＝(∠ACE－∠ABC)＝∠BAC＝35°.10
