第25讲 解直角三角形及其应用1.(2022，河北)如图所示的是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(B)第1题图A.mB.4mC.4mD.8m【解析】如答图，过点C作CE⊥AB于点E.在Rt△CBE中，CE＝BC·sin30°＝8×＝4(m)．∴h＝CE＝4m.第1题答图2.(2022，唐山丰南区二模)在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，则tanB的值为(B)A.B.C.D.【解析】如答图，过点A作AD⊥BC于点D.∵AB＝AC＝13，BC＝24，∴BD＝BC＝12.在Rt△ABD中，AB＝13，BD＝12，∴AD＝＝5.∴tanB＝＝.第2题答图3.(2022，保定二模)太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图所示的是太阳能电池板支撑架的截面示意图，其中线段AB，CD，EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE＝CA＝50cm，支撑角钢CD，EF与地面的接触点分别为D，F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E.点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少．(结果保留根号)第3题图【思路分析】延长BA交FD的延长线于点G，过点A作AH⊥DG于点H.根据题意，得AB＝300cm，BE＝AC＝50cm，AH＝50cm，∠AGH＝30°.先求得AG＝2AH＝100(cm)，CG＝150cm12\n，继而由CD＝CG可得CD的长．由EG＝AB－BE＋AG可得EG的长，根据EF＝EG·tan∠EGF可得EF的长．解：如答图，延长BA交FD的延长线于点G，过点A作AH⊥DG于点H.由题意，知AB＝300cm，BE＝AC＝50cm，AH＝50cm，∠AGH＝30°.在Rt△AGH中，易得AG＝2AH＝100(cm)．∴CG＝AC＋AG＝150(cm)．∴CD＝CG＝75(cm)．∵EG＝AB－BE＋AG＝300－50＋100＝350(cm)，∴在Rt△EFG中，EF＝EG·tan∠EGF＝350·tan30°＝350×＝(cm)．∴支撑角钢CD的长为75cm，EF的长为cm.第3题答图. 解直角三角形例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝4，则AB的长为(D)A.B.C.D.【解析】∵sinA＝，即＝，∴AB＝.针对训练1如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝3，BC＝1，点D在AB上，且＝，则tan∠BCD的值是(C)训练1题图A.B.1C.D.【解析】如答图，过点D作DE∥AC交BC于点E.∴∠BED＝∠ACB＝90°，＝＝.∵AB＝3，BC＝1，∴BE＝，CE＝，BD＝.在Rt△BDE中，DE＝＝.12\n∴tan∠BCD＝＝＝.训练1答图 解直角三角形的实际应用例2(2022，长沙，导学号5892921)为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A，B两地间的公路进行改建．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80km，∠A＝45°，∠B＝30°.(1)开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？(2)开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？(结果精确到0.1km，参考数据：≈1.41，≈1.73)例2题图【思路分析】(1)过点C作CD⊥AB，垂足为D.在Rt△BCD中，解直角三角形求出CD，进而在Rt△ACD中，求出AC，进而解答即可．(2)在Rt△BCD中，解直角三角形求出BD，在Rt△ACD中，求出AD，进而求出开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米．解：(1)如答图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.∵在Rt△BCD中，∠B＝30°，BC＝80km，∴CD＝BC·sin30°＝80×＝40(km)．∴在Rt△ACD中，AC＝＝＝40(km)．∴AC＋BC＝40＋80≈40×1.41＋80＝136.4(km)．答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4km.(2)在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，BC＝80km，∴BD＝BC·cos30°＝80×＝40(km)．在Rt△ACD中，∵∠A＝45°，CD＝40km，∴AD＝＝＝40(km)．∴AB＝AD＋BD＝40＋40≈40＋40×1.73＝109.2(km)．∴AC＋BC－AB≈136.4－109.2＝27.2(km)．答：开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走27.2km.例2答图12\n针对训练2(2022，天津)如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°.求甲、乙两座建筑物的高度AB和DC.(结果取整数，参考数据：tan48°≈1.11，tan58°≈1.60)训练2题图【思路分析】先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及两个直角三角形，应用其公共边构造关系式，进而可求出答案．解：如答图，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E.易知四边形ABCE是矩形．∴AE＝BC＝78，AB＝CE.在Rt△ACE中，EC＝AE·tan58°≈78×1.60≈125.∴AB＝125.在Rt△AED中，DE＝AE·tan48°.∴CD＝EC－DE＝AE·(tan58°－tan48°)≈78×(1.60－1.11)≈38.答：甲建筑物的高度约为125m，乙建筑物的高度约为38m.训练2答图 一、选择题1.(2022，宜昌)如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝100m，∠PCA＝35°，则小河宽PA为(C)第1题图A.100sin35°mB.100sin55°mC.100tan35°mD.100tan55°m【解析】∵PA⊥PB，PC＝100m，∠PCA＝35°，∴PA＝PC·tan∠PCA＝100tan35°(m)．2.(2022，长春)如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上)．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800m到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为(D)第2题图12\nA.800sinαm B.800tanαm C.m D.m【解析】在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，∠ABC＝α，AC＝800m，∴AB＝＝m.3.(2022，金华)如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为(B)第3题图A.B.C.D.【解析】在Rt△ABC中，AB＝.在Rt△ACD中，AD＝.∴AB∶AD＝∶＝.4.(2022，绵阳)一艘在南北航线上的测量船，于点A处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30nmile到达点C时，测得海岛B在点C的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离约是(参考数据：≈1.732，≈1.414)(B)A.4.64nmileB.5.49nmileC.6.12nmileD.6.21nmile【解析】由题意，知∠BAC＝30°，∠ACB＝15°.如答图，过点B作BD⊥AC于点D，以点B为顶点，BC为一边，在△ABC内部作∠CBE＝∠ACB＝15°，则∠BED＝30°，BE＝CE.设BD＝x，则AB＝BE＝CE＝2x，AD＝DE＝x.∴AC＝AD＋DE＋CE＝2x＋2x.∵AC＝30，∴2x＋2x＝30.解得x≈5.49.所以海岛B离此航线的最近距离约是5.49nmile.第4题答图5.(2022，重庆A)如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直．在教学楼底部点E处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7m，升旗台坡面CD的坡度i＝1∶0.75，坡长CD＝2m．若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC＝1m，则旗杆AB的高度约为(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，12\ntan58°≈1.6)(B)第5题图A.12.6mB.13.1mC.14.7mD.16.3m【解析】如答图，延长AB交ED的延长线于点M，过点C作CJ⊥DM于点J.易知四边形BMJC是矩形．在Rt△CJD中，＝＝.设CJ＝4k，DJ＝3k.由题意，得9k2＋16k2＝22.解得k＝.∴BM＝CJ＝，DJ＝.∵MJ＝BC＝1，∴EM＝MJ＋DJ＋DE＝.在Rt△AEM中，tan∠AEM＝，∴1.6≈.解得AB≈13.1(m)．第5题答图6.(2022，苏州)如图，某海监船以20nmile/h的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向．继续向东航行1h到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2h到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为(D)第6题图A.40nmileB.60nmileC.20nmileD.40nmile【解析】在△PAB中，∵∠PAB＝90°，∠APB＝30°，∴PB＝2AB.由题意，得BC＝2AB.∴PB＝BC.∴∠C＝∠CPB.易知∠ABP＝∠C＋∠CPB＝60°，∴∠C＝30°.∴PC＝2PA.∵PA＝AB·tan60°，∴PC＝2×20×＝40(nmile)．7.(2022，张家口一模)如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12nmile的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以10nmile/h的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以14nmile/h的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是(B)第7题图12\nA.1hB.2hC.3hD.4h【解析】设巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为xh．由题意，得∠ABC＝45°＋75°＝120°，AB＝12，BC＝10x，AC＝14x.如答图，过点A作AD⊥CB，交CB的延长线于点D.在Rt△ABD中，AB＝12，∠ABD＝180°－120°＝60°，∴BD＝AB·cos60°＝6，AD＝AB·sin60°＝6.∴CD＝10x＋6.在Rt△ACD中，由勾股定理，得(14x)2＝(10x＋6)2＋(6)2.解得x＝2.答：巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为2h.第7题答图8.(2022，重庆B)如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20m到达点C，再经过一段坡度(或坡比)为i＝1∶0.75，坡长为10m的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40m到达点E(A，B，C，D，E均在同一平面内)．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为(参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45)(A)第8题图A.21.7mB.22.4mC.27.4mD.28.8m【解析】如答图，过点B作BM⊥ED，交ED的延长线于点M，过点C作CN⊥DM于点N.在Rt△CDN中，∵＝＝，∴设CN＝4k，DN＝3k.由题意，得(3k)2＋(4k)2＝100.解得k＝2.∴CN＝8，DN＝6.∵四边形BMNC是矩形，∴BM＝CN＝8，MN＝BC＝20.∴EM＝MN＋DN＋DE＝66.在Rt△AEM中，tan24°＝，∴0.45≈.解得AB≈21.7(m)．第8题答图二、填空题9.(2022，广州)如图，旗杆高AB＝8m，某一时刻，旗杆影子长BC＝16m，则tanC＝().第9题图【解析】∵旗杆高AB＝8m，旗杆影子长BC＝16m，∴tanC＝＝＝.12\n10.(2022，枣庄)如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12m，则大厅两层之间的高度约为6.2m.(结果精确到0.1m，参考数据：sin31°≈0.515，cos31°≈0.857，tan31°≈0.601)第10题图【解析】在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB·sin∠BAC≈12×0.515≈6.2(m)．所以大厅两层之间的高度约为6.2m.11.(2022，仙桃)我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18(1＋)nmile处，则海岛A，C之间的距离为18nmile.(结果保留根号)第11题图【解析】如答图，过点A作AD⊥BC于点D.由题意知∠ACD＝45°，∠ABD＝30°.设AC＝xnmile.在Rt△ACD中，AD＝AC·sin∠ACD＝x，进而可得CD＝x.在Rt△ABD中，BD＝＝x.由题意，得x＋x＝18(1＋)．解得x＝18.所以海岛A，C之间的距离为18nmile.第11题答图12.如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°.已知甲楼的高度AB是120m，则乙楼的高度CD是40m.(结果保留根号)第12题图【解析】由题意，可得∠BDA＝∠ABD＝45°，则AD＝AB＝120m．在Rt△ADC中，tan∠CAD＝tan30°＝＝.∴CD＝40(m)．12\n三、解答题13.(2022，邢台模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BE∶AB＝3∶5，CE＝，cos∠ACD＝.求：(1)cos∠ABC的值；(2)AC的长． 第13题图【思路分析】(1)根据“同角的余角相等”，得∠ABC＝∠ACD，进而可得答案．(2)令BC＝4k，AB＝5k，则AC＝3k.由BE∶AB＝3∶5，知BE＝3k，则CE＝k，进而解答即可．解：(1)在Rt△ACD与Rt△ABC中，∵∠ABC＋∠CAD＝90°，∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠ACD.∴cos∠ABC＝cos∠ACD＝.(2)在Rt△ABC中，＝.令BC＝4k，AB＝5k，则AC＝3k.∵BE∶AB＝3∶5，∴BE＝3k.∴CE＝k.∵CE＝，∴k＝.∴AC＝3.14.(2022，绍兴)如图①，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图③是图②中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一条直线上，延长DE交MN于点F.已知AC＝DE＝20cm，AE＝CD＝10cm，BD＝40cm.第14题图(1)窗扇完全打开，张角∠CAB＝85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；(2)窗扇部分打开，张角∠CAB＝60°，求此时点A，B之间的距离．(结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732，≈2.449)【思路分析】(1)根据平行四边形的判定和性质可以解答本题．(2)根据锐角三角函数和题意可以求得AB的长．解：(1)∵AC＝DE＝20cm，AE＝CD＝10cm，∴四边形ACDE是平行四边形．∴AC∥DE.∴∠DFB＝∠CAB＝85°.12\n(2)如答图，过点C作CG⊥AB于点G.∵AC＝20，∠CGA＝90°，∠CAB＝60°，∴CG＝AC·sin∠CAB＝10，AG＝AC·cos∠CAB＝10.∵BD＝40，CD＝10，∴CB＝30.∴BG＝＝10.∴AB＝AG＋BG＝10＋10≈10＋10×2.449≈34.5.所以此时点A，B之间的距离约为34.5cm.第14题答图15.(2022，内江，导学号5892921)如图所示的是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为11m，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A＝120°.路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为18m，从D，E两处测得路灯B的仰角分别为α和β，且tanα＝6，tanβ＝.求灯杆AB的长度．第15题图【思路分析】过点B作BF⊥CE交CE于点F，过点A作AG⊥BF交BF于点G，则FG＝AC＝11.设BF＝3x，则EF＝4x，可得DF＝＝x.由DE＝18，求得x＝4.据此知BG＝BF－GF＝1，再求得∠BAG＝30°，可得AB＝2BG＝2.解：如答图，过点B作BF⊥CE交CE于点F，过点A作AG⊥BF交BF于点G，则FG＝AC＝11.∵tanβ＝，∴设BF＝3x，则EF＝4x.在Rt△BDF中，DF＝＝＝x.∵DE＝18，∴x＋4x＝18.∴x＝4.∴BF＝12.∴BG＝BF－GF＝12－11＝1.∵∠BAC＝120°，∴∠BAG＝∠BAC－∠CAG＝120°－90°＝30°.∴AB＝2BG＝2.12\n答：灯杆AB的长度为2m.第15题答图1.(2022，无锡，导学号5892921)已知在△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的面积为15或10.(结果保留根号)【解析】本题分两种情况．如答图，过点A作AD⊥BC交BC(或BC的延长线)于点D.(1)如答图①，当AB，AC位于AD异侧时，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AB＝10，∴AD＝AB·sinB＝5，BD＝AB·cosB＝5.在Rt△ACD中，∵AC＝2，∴CD＝＝＝.∴BC＝BD＋CD＝6.∴S△ABC＝BC·AD＝×6×5＝15.(2)如答图②，当AB，AC在AD的同侧时，由(1)知，BD＝5，CD＝，则BC＝BD－CD＝4，∴S△ABC＝BC·AD＝×4×5＝10.综上所述，△ABC的面积是15或10.第1题答图2.(2022，眉山)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则tan∠AOD＝2.第2题图【解析】如答图，连接BE交CD于点F.∵四边形BCEK是正方形，∴BF＝CF，BE⊥CK.根据题意，得AC∥BK.∴△ACO∽△BKO.∴KO∶CO＝BK∶AC＝1∶3.∴KO∶KF＝1∶2.∴KO＝OF＝CF＝BF.在Rt△OBF中，tan∠BOF＝＝2.∵∠AOD＝∠BOF，∴tan∠AOD＝2.第2题答图3.(2022，潍坊，导学号5892921)如图，一艘渔船正以60nmile/h的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5h后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°12\n方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75nmile/h的速度继续航行()h即可到达．(结果保留根号)第3题图【解析】如答图，过点P作PQ⊥AB，交AB的延长线于点Q，过点M作MN⊥AB，交AB的延长线于点N.在Rt△AQP中，∠PAQ＝45°，则AQ＝PQ＝60×1.5＋BQ＝90＋BQ.∴BQ＝PQ－90.在Rt△BPQ中，∠BPQ＝30°，则BQ＝PQ·tan30°＝PQ.∴PQ－90＝PQ.∴PQ＝45(3＋)．∴MN＝PQ＝45(3＋)．在Rt△BMN中，∠MBN＝30°，∴BM＝2MN＝90(3＋)．所以渔船以75nmile/h的速度继续航行＝(h)即可到达．第3题答图4.(2022，泰安)如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝10，tanC＝，D是AC边上的动点(不与点C重合)，过点D作DE⊥BC，垂足为E，F是BD的中点，连接EF.设CD＝x，△DEF的面积为S，则S关于x的函数解析式为(S＝－x2＋x).第4题图【解析】在Rt△CDE中，tanC＝，CD＝x，∴DE＝x，CE＝x.∴BE＝10－x.∴S△BED＝·x＝－x2＋3x.∵DF＝BF，∴S＝S△BED＝－x2＋x.12
