圆的基本性质一、选择题1.（2022·上海市黄浦区模拟，6，4）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，若，，则向量可表示为（）.（A）（B）（C）（D）FO·EDCBA【答案】D2.（2022·上海市松江区模拟，6，4）已知两个同心圆的圆心为O，半径分别是2和3，且2＜OP＜3，那么点P在（A）小圆内；（B）大圆内；（C））小圆外大圆内；（D）大圆外．【答案】C3.（2022·江西省预测五，8，3）如图，点B、C在⊙上，且BO=BC，则圆周角等于【】A．B．C．D．【答案】Ｄ4.（2022·江西省预测四，8，3）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为【 】A．15B．28C．29D．3449\n【答案】B5.（2022·湖南省长沙市模拟，8，3）8．如图2—5，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为H，点P是上的一点(点P不与A，C重合)，连结PC，PD，PA，AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F．给出下列四个结论：①CH2=AH·BH；②=；③AD2=DF·DP；④∠EPC=∠APD．其中正确的个数有A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C6.（2022·安徽省安庆市一模，8，3）如图所示，阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的图象是ABCD【答案】C7.（2022·安徽省安庆市一模，10，4）如图，将一个半径为3，圆心角为60o的扇形AOB，如图放置在直线l上(OA与直线l重合)，然后将这个扇形在直线l上无摩擦滚动至O’A’B’的位置，在这个过程中，点O运动到点O’的路径长度为A.4πB.3π+3C.5πD.5π－349\n【答案】A8.（2022·湖北省鄂州市模拟，11，3）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为，则弦CD的长为（ ）A B C D 【答案】C9.（2022·河北省三河市一模，6，2）如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（）A．19B．16C．18D．20OABC812【答案】D10．（2022·湖北省恩施州模拟，10，3）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝35°，则∠BOC的度数为A．35°B．55°C．70°D．80°【答案】C11.（2022·湖北省孝感市一模，9，3）如图3，⊙Ｏ的半径为５，弦ＡＢ的长为８，Ｍ是弦ＡＢ上的动点，则线段ＯＭ长的最小值为A．2 B．3 C．4 D．549\n 【答案】B12.（2022·××省××市X模，题号，分值）已知：如图4,⊙O的两条弦AE．BC相交于点D,连接AC．BE.若∠ACB＝60°,则下列结论中正确的是A．∠AOB＝60°B．∠ADB＝60°C．∠AEB＝60°D．∠AEB＝30°【答案】C13.（2022·湖北省荆州市模拟，10，3）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD长为（）(A)7(B)(C)(D)9【答案】B14.（2022·江苏省宁波市一模，9，3）如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，若∠AOC=130°，则∠D等于（ ）(A)20(B)25°(C)35°(D)50°DBOAC 49\n【答案】B15.（2022·河北省石家庄市模拟，9，3）如图4，的正切值为（）．A．B．C．3D．2【答案】A16.（2022·山东省泰安市模拟，17，3）如图，是的直径，为弦，于，则下列结论中不成立的是Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【答案】D17.（2022·福建省漳州市模拟，9，3）如图，锐角△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，∠OAC＝20º，则∠B＝（）A．40ºB．60ºC．70ºD．80ºBACO 【答案】C18.（2022·浙江省舟山市模拟，7，3）如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径,且∠AOC=50°，过A作AE∥CD交⊙O于E，则∠AOE的度数为( )A．65°B.70°C.75°D.80°49\nOACBDE 【答案】C19.（2022·重庆一模，7，4）如图，BD是⊙O的直径，∠A=62，则∠CBD的度数为()A．31B．30C．28D．25 【答案】C20．（2022·南京市综合体中考一摸数学试卷模，5，2）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为3cm，则圆心O到弦CD的距离为(▲)A．cmB．3cmC．3cmD．6cm【答案】A21．（2022·南京市白下区年中考数学一模试卷，6，2）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC＝25°，则∠CAD的度数是（ ）A．25°B．60° C．65°D．75°49\nADBOC 【答案】C22．（2022·南京市溧水县中考数学一模试卷，6，2）如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O—C—D—O路线作匀速运动，设运动时间为x(秒)，∠APB＝y(度)，右图函数图象表示y与x之间函数关系，则点M的横坐标应为（ ）A．2B．C．D．＋2DBCOA901Mxyo45OP【答案】C23．（2022·南京市下关区秦淮区沿江区中考数学一模试卷，5，2）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为3cm，则圆心O到弦CD的距离为(▲)A．cmB．3cmC．3cmD．6cm【答案】A24．（2022·北京市昌平区中考一模数学试题，7，4）如图，已知，AB是⊙的直径，点C，D在⊙上，∠ABC=50°，则∠D为（ ）A．50°B．45°C．40°D．30°49\n【答案】C25．（2022·北京市房山区中考一模数学试题，4，4）如图，AB为圆O的直径，弦CD^AB，垂足为点E，联结OC，若OC=5，AE=2，则CD等于（ ）A．3B．4C．6D．8 【答案】D26．（2022·北京市门头沟中考一模数学试题，6，4）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D．若∠CDB=30°，⊙O的半径为，则弦CD的长是（）A．B．3C．D．9【答案】B27．（2022·北京市密云县中考一模数学试题，6，4）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC的度数等于A．140°B．130°C．120°D．110°【答案】A49\n28．（2022·北京市顺义区中考一模数学试题，7，4）如图，内接于圆，，，是圆的直径，交于点，连结，则等于A．B．C．D．EABCDO【答案】C29．（2022·北京市西城区中考一模数学试题，8，4）如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=，P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（）.A．B．C．D．【答案】B30．（2022·山东淄博十五中2022年学业水平考试数学试题，12，4）如图，顺次连结圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝10，DF＝4，则菱形ABCD的边长为（ ）(A)4(B)5(C)6(D)9【答案】D31．（2022·江苏省张家港市初三网上阅卷适应性考试数学试卷，8，3）如图，已知⊙O的半径为R，C、D是直径AB的同侧圆周上的两点，AC的度数为100°，＝2，动点P在线段AB上，则PC＋PD的最小值为A．RB．RC．RD．R49\n【答案】C32．（2022·山东省宁阳县2022届初中学业水平考试“一模”数学试题，8，4）如图，是的直径，弦，是弦的中点，．若动点以的速度从点出发沿着方向运动，设运动时间为，连结，当是直角三角形时，（s）的值为A．B．1C．或1D．或1或【答案】D33．（2022·湖北省襄阳市普通高中推荐招生考试数学试题，6，3）如图所示的半圆中，AD是直径，且AD=3，AC=2，则cos∠B的值是：A．B．C．D．ADBC【答案】C34．（2022·山东省东营市一中2022年中考一模数学试卷，4，3）4、如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）上移动时，点P（）A、到CD的距离保持不变B、位置不变C、等分D、随C点移动而移动49\n【答案】B35．（2022·江西省南康市2022年九年级摸底考试数学试题，5，3）如图2，CD是⊙O的直径，A，B是⊙O上的两点，若∠ADC=70°，则∠ABD的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°【答案】A36．（2022·××省××市X模，题号，分值）8．如图，已知⊙O的两条弦AC、BD相交于点E，∠A=70o，∠C=50o，那么sin∠AEB的值为A.B.C.D.【答案】D37．（2022·安徽省淮北市2022年中考一模考试数学试题，8，3）如图，AB为圆O的直径，弦CD^AB，垂足为点E，连结OC，若AB=10，CD=8，则AE的长度为（）A．2.5B．3C．2D．1或者4【答案】Ｃ38．（2022·江苏省张家港市初三网上阅卷适应性考试，8，3）如图，已知⊙49\nO的半径为R，C、D是直径AB的同侧圆周上的两点，AC的度数为100°，＝2，动点P在线段AB上，则PC＋PD的最小值为A．RB．RC．RD．R【答案】C39．（2022·湖北省襄阳市普通高中推荐招生考试，6，3）如图所示的半圆中，AD是直径，且AD=3，AC=2，则cos∠B的值是：A．B．C．D．ADBC【答案】C40．（2022·江苏省南京市下关区、秦淮区、沿江区中考数学一模试卷，5，3）5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为3cm，则圆心O到弦CD的距离为(▲)A．cmB．3cmC．3cmD．6cm【答案】A41．（2022·江苏省南京市联合体一模，5，3）5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为3cm，则圆心O到弦CD的距离为(▲)A．cmB．3cmC．3cmD．6cm49\n【答案】A42．（2022·江苏省南京市白下区一模，6，3）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC＝25°，则∠CAD的度数是（▲）A．25°B．60°C．65°D．75°【答案】C43．（2022·湖南省长沙市一模，10，3）如图2—5，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为H，点P是弧AC上的一点(点P不与A，C重合)，连结PC，PD，PA，AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F．给出下列四个结论：①CH2=AH·BH；②弧AD=弧AC；③AD2=DF·DP；④∠EPC=∠APD．其中正确的个数有A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C44.（2022·湖北省孝感市一模，9，3）已知：如图4,⊙O的两条弦AE．BC相交于点D,连接AC．BE.若∠ACB＝60°,则下列结论中正确的是A．∠AOB＝60°B．∠ADB＝60°C．∠AEB＝60°D．∠AEB＝30°49\n【答案】A二、填空题1.（2022·上海市闸北区第二学期期中，17，4）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的)，点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为点D，AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是 ▲ m．【答案】2502.（2022·上海市松江区模拟，17，4）17．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=▲．GABCDFOE 【答案】33.（2022·江西省预测二，13，3）如图，为的内接三角形，则的直径为．OBAC 【答案】249\n4.（2022·江西预测六，14，3）已知横断面直径为2米的圆形下水管道的水面宽AB＝1.2米,求下水管道中水的最大深度为 【答案】0.2米或1.8米5.（2022·江西预测六，16，3）16．如图，半径为5的⊙P与x轴交于点M(0,－4)，N(0,－10).函数y=(x<0)的图象过点P，则下列说法正确的有 .(填序号)①⊙P与x轴相离；②△PMN的面积为14；③⊙P的坐标为(－4,－7)；④k的值为28.【答案】①③④6.（2022·江西预测三，14，3）芳芳家今年搬进了新房，新房外飘的凉台呈圆弧形（如图5所示），她测得凉台的宽度AB为8m，凉台的最外端C点离AB的距离CD为2m，则凉台所在圆的半径为。 【答案】57.（2022·江西省余姚市模拟，15，3）如图，AD为⊙O的直径，∠ABC＝75°，且AC＝BC，则∠BDE＝ .【答案】308.（2022江苏省徐州市模拟，16，2）如图，是的外接圆，，，则的半径为cm.49\n 【答案】29.（2022·河北省石家庄市调研，17，3）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OB,OC,⊙O的半径为10，sinA=,则弦BC的长为【答案】1610．（2022·甘肃省酒泉市，13，3）如图，在⊙O中，弦AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，则⊙O的半径等于cm。【答案】11.（2022·辽宁省大连市模拟，16，3）已知的直径为上的一点，，则=．49\n ACBO【答案】4cm12.（2022·安徽省安庆市一模，13，4）如图，量角器边缘上有P、Q两点，它们表示的读数分别为600，300，已知么AB=4,连接PB交OQ于M，则QM的长为_____________________.【答案】13.（2022·河北省三河市一模，17，3）如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于．【答案】14.（2022·河南省一模，11，3）如图，在以为直径的半圆中，是弦的中点，延长交半圆于点，若=2，=1，则的度数是_____________．【答案】30°15.（2022·河南省郑州市模拟，11，3）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝42°，则∠BAD＝______°.49\n【答案】4816.（2022·江西省宜春市模拟，15，3）如图，为的直径，为的弦，，则． 【答案】56°17.（2022·江苏省江阴市模拟，15，2）如图，AB是⊙O的直径，CD是圆上的两点（不与A、B重合），已知BC＝2，tan∠ADC＝，则AB＝__________． 【答案】18.（2022·广西晋江模拟，15，4）如图，为⊙的内接三角形，若为⊙的直径,，则=度.OABC 【答案】6219.（2022·江苏省苏州市七模，15，3）如图，已知等腰△ABC中，∠A＝∠C，底边BC为⊙O49\n的直径，两腰AB、AC分别与⊙O交于点D、E，有下列四个结论：①AD＝AE；②DE∥BC；③∠A＝∠CBE；④BE⊥AC．其中结论正确的序号是_______．【答案】①②④20．（2022吉林省长春市网上阅卷模拟训练，12，3）如图，在△ABC中，∠B＝70°，△AB＇C＇可由△ABC绕着点A逆时针旋转得到，点B＇在BC上，则∠BAB＇＝ 度。【答案】4021．（2022·南京市高淳县中考数学一模试卷，14，2）如图，点C′与半圆上的点C关于直径AB成轴对称．若∠AOC＝40°，则∠CC′B＝▲°．【答案】7022．（2022·南京市六合区中考一模数学试题，14，2）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC＝20°，则∠A=▲°．【答案】7023．（2022·南京市玄武区区中考一模数学试题，16，2）49\n如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为1cm2，则该半圆的直径为_________。 【答案】cm24．（2022·南京市雨花台区中考一模数学试卷，16，2）如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为__．【答案】25．（2022·南京市建邺区中考数学一模试卷，11，2）如图，AB是⊙O直径，且AB=4cm，弦CD⊥AB，∠COB=45°，则CD为▲cm．【答案】26．（2022·南京市溧水县中考数学一模试卷，11，2）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠AOD＝130°，BC∥OD交⊙O于C，则∠A＝ °．【答案】3627．（2022·北京市朝阳区中考一模数学试题，11，4）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB=40°，点D是弧BAC上一点，则∠D的度数是______．49\n 【答案】50°28．（2022·北京市崇文区中考一模数学试题，10，4）如图，在中，，，，则圆心到边的距离=．【答案】29．（2022·北京市大兴区中考一模数学试题，11，4）如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠ACE＋∠BDE＝．【答案】90º30．（2022·北京市丰台区2022年中考一模数学试题，11，4）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是．【答案】631．（2022·北京市海淀区中考一模数学试题，题号，分值）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，则AB=cm．49\n【答案】32．（2022·北京市平谷区中考一模数学试题，11，4）如图，⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB于点D、交⊙O于点E，∠C=60°，如果⊙O的半径为2，那么OD=．【答案】133．（2022·北京市石景山区中考一模数学试题，11，4）已知：如图，，为⊙O的弦，点在上，若，，，则的长为．【答案】634．（2022·郑州市2022年第二次质量预测数学试题，12，3）如图，为半圆的直径，平分，交半圆于点交于点，则的度数是____________.【答案】22.535．（2022·江苏省扬州市梅岭中学中考一模数学试卷，16，3）如图，点E(0,3)，O(0,0)，C(4,0)在⊙A49\n上，BE是⊙A上的一条弦．则cos∠OBE= ．【答案】36．（2022·江西省兴国县2022年九年级全县第二次联考数学试卷，16，3）如图5，已知⊙O的半径为1，锐角内接于⊙O，作于BDAC点D。OMAB于点M..则OM=【答案】37．（2022·江西省新余市2022年中考模拟检测数学试卷，13，3）如图，在正方形网格图中，每个小正方形的边长均为1，则∠1的正弦值是。【答案】38．（2022·江苏省如皋市2022年中考一模数学试卷，15，3）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°．过圆心O作OD⊥BC交于点D，连接DC，则∠DCB=▲°． ABCOD49\n【答案】3039．（2022·江苏省南通市通州区2022年中考一模数学试卷，17，3）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正弦值等于．BACEO D【答案】40．（2022·××省××市X模，题号，分值）16．如图，点、在以为直径的半圆上，，若=2，则弦的长为________________．ABCO ·D【答案】41．（2022·北京市延庆县中考一模数学试题，11，4）如图,⊙是等边三角形的外接圆,点在劣弧上,,则的度数为_____________.【答案】42．（2022·浙江省东阳市初中学业考试数学调研卷，15，4）如图是一个有部分埋入土中的排污管道的截面图，如果测得AB与弓形的高度EF均为80cm，那么此管道的半径为cm。49\n【答案】50cm43．（2022·浙江杭州市上城区中考二模联考数学试卷，15，4）如图,⊙P过O、、，半径PB⊥PA，双曲线恰好经过B点，则k的值是____________．【答案】-444．（2022·山东省青岛市初三第二次模拟测试数学试题，12，3）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠B=500，CD⊥AB，则∠ACD=______度.【答案】50045．（2022·江苏省南京市栖霞区一模试卷，15，3）如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是▲cm．【答案】1046．（2022·江苏省南京市浦口区一模试卷，6，3）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠AOD＝130°，BC∥OD交⊙O于C，则∠A＝°．49\n【答案】4047．（2022·江西省宜春市九年级质量检测数学试卷，5，3）如图，为的直径，为的弦，，则．【答案】56°48．（2022·江西省中等学校招生统一考试数学样卷三模，16，3）如图，⊙O的半径OA⊥弦BC，且∠AOB=60°，D是⊙O上另一点，AD与BC相交于点E，若DC=DE，则正确结论的序号是（多填或错填得0分，少填酌情给分）．①；②；③；④△AEC∽△ACD．【答案】①、②、④（多填或错填不给分,少填一个扣1分）49．（2022·江西省中等学校招生统一考试数学样卷四模，15，3）如图，是的外接圆，，，则的半径为_________cm.49\n【答案】250．（2022·江苏省苏州市十一模，17，3）如图，以AB为直径作⊙O，点C是OB的中点，DE⊥AB于点C涟结AD、DB、BE、EA．(1)不再连结其他线段，写出图中一对全等三角形__________________．(2)∠BAD＝_______（填度数）．【答案】(1)△ABD和△ABE（答案不唯一，只要合理都正确）(2)30°51．（2022·山东省宁阳县2022届初中学业水平考试“一模”数学试题，11，4）如图，⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB于点D、交⊙O于点E，∠C=60°，如果⊙O的半径为2，那么OD=．【答案】152．（2022·江苏省上冈中学教育集团中考数学模拟试题，17，3）如图,AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC=30°，点P在线段OB上运动.设∠ACP=x，则x的取值范围是.ABOCxP【答案】30≤x≤9049\n53．（2022·江苏省建湖县上冈实验初中春学期初三年级数学模拟试卷，15，3）如图，⊙O中，OA⊥BC,∠AOB＝60°,则sin∠ADC＝.【答案】54．（2022·××省××市X模，题号，分值）如图，⊙的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是________．【答案】455．（2022·河南省2022年中招押题数学试卷二模，13，3）如图，AB是⊙O直径，∠BDC=30°，则∠AOC=__________．【答案】120°56．（2022·河南省中招考试说明解密数学预测试卷五模，12，3）如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥OC,若∠ACO=24°，则∠BOC=__________°.49\nOABC·【答案】4857．（2022·广东省四会市2022年初三一模，12，3）如图5,⊙O是正三角形的外接圆,点在劣弧上,=22°,则的度数为____▲______.【答案】38°三、解答题1.（2022·上海市卢湾区模拟，22，10）已知：如图，是的直径，是上一点，CD⊥AB，垂足为点，是的中点，与相交于点，8cm，cm.（1）求的长；（2）求的值.【答案】解：（1）∵是的中点，∴，又是半径，∴，，∵8cm，∴cm，在Rt中，，又∵cm，∴，解得，∴cm.（2）∵，∴，∵CD⊥AB，∴，49\n∴，∴，∵，∴.2.（2022·上海市浦东新区模拟，21，10）如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE=OE，AB=10cm，求△ACD的周长．OCDABE【答案】解：连接OC．∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴．∵AB=10cm，∴AO=BO=CO=5cm．∵BE=OE，∴cm，cm．在Rt△COE中，∵CD⊥AB，∴．∴cm．∴cm．同理可得cm，cm∴△ACD的周长为cm．3.（2022·上海市闵行区模拟，21，10）已知：如图，BC是⊙O的弦，点A在⊙O上，AB=AC=10，．求：（1）弦BC的长；（2）∠OBC的正切的值．ABCO 49\n【答案】．解：（1）联结AO，AO的延长线与弦BC相交于点D．在⊙O中，∵AB=AC，∴．又∵AD经过圆心O，∴AD⊥BC，BC=2BD．在Rt△ABD中，AB=10，，∴．于是，由勾股定理得．∴BC=12．（2）设⊙O的半径OB=r．在⊙O中，由OA=OB=r，得OD=8–r．在Rt△OBD中，利用勾股定理，得，即得．解得．∴．∴．∴．4.（2022·江西省预测一，19，7）小芸在为班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分，请你帮助她设计一个合理的等分方案．要求用尺规作出图形，保留作图痕迹，并简要写出作法．【答案】作法：(1)作AB的垂直平分线CD交AB于点O；(2)分别以A、B为圆心，以AO(或BO)的长为半径画弧，分别交半圆干点M、N；(3)连结OM、ON即可．49\n5.（2022·福建省福州市质量检测，18，10）梯形ABCD中，AD∥BC，以A为圆心，DA为半径的圆经过B、C、D三点，若，，求梯形ABCD的面积。ABCD 【答案】6.（2022·安徽省安庆市一模，23，14）23、我们把10的圆心角所对的弧叫做l0的弧．则圆心角AOB的度数等于它所对的弧AB的度数记为：由此可知：命题“圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半。”是真命题，请结合图形23－1给予证明(不要求写己知、求证．只需直接证明)，并解决以下的问题(1)和问题(2)。问题(1)：如图23－2，⊙0的两条弦AB、CD相交于圆内一点P，求证：问题(2)：如图23－3⊙0的两条弦AB、CD相交于圆外一点P．问题(1)中的结论是否成立，如果成立，给予证明：如果不成立，写出一个类似的结论(不要求证明)49\n【答案】证明：∵∠APB=∠AOB又 ∴即圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半。问题(1)：证明：连BC，则∠APC=∠PCB+∠PBC∠PCB的度数等于弧BD的度数的一半，∠PBC的度数等于弧AC的度数的一半问题（2）：问题（1）中的结论不成立。类似的结论为：7.（2022·湖北省孝感市一模，23，10）如图10，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E.求证：BC=EC.【答案】证明：连接AC。∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°=∠ACE。∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EBC=∠D。是弧BD的中点，，，，∴∠EBC=∠E，∴BC=EC。49\nAEOCDB128.（2022·湖北省黄冈市红安模拟，20，9）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．(1)求证：AD⊥CD；(2)若AD=2，AC=，求AB的长． 【答案】(1)证明：连结BC．∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠DCA=∠B．∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB．∴∠ADC=∠ACB．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠ADC=90°，即AD⊥CD．(2)解：∵∠DCA=∠B，∠DAC=∠CAB，∴△ADC∽△ACB．∴∴AC2=AD·AB.∵AD=2，AC=,∴AB=.9.（2022江苏省苏州市七模，28，9）半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．(1)当点P运动到与点C是关于直径AB的对称点时，求CQ的长．(2)当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值，并求出此时CQ的长．49\n【答案】(1)CQ＝PC(2)当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大，最大值为。10．（2022·浙江省舟山市模拟，21，8）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，过A作AD⊥CD，D为垂足。（1）求证：AC平分∠DAB。（2）若AD=3，AC=，求AB的长。【答案】证明：（1）连接OC∵直线CD与⊙O相切于点C∴OC⊥CD∵AD⊥CD∴OC∥AD∴∠OCA=∠DAC∵OC=OA∴∠OCA=∠OAC∴∠DAC=∠OAC∴AC平分∠DAB（2）连接ＢＣ，△DAC∽△CBA求得AB=511.（2022·吉林省长春市网上阅卷模拟，18，5）如图，OA、OB是⊙O的半径，OA⊥OB，C为OB延长线上一点，CD切⊙O于点D，E为AD与OC的交点，连接OD，已知CE＝5，求线段CD的长。【答案】∵OA=OD，∴∠A=∠ODE．∵CD切⊙O于D，∴⊥．∴． ⊥，∴．∴． ∵，∴． ∴．∵，∴． 49\n12．（2022·江西省中等学校招生统一考试数学样卷一模，22，9）如图,同心⊙O,大⊙O的直径AB=2,小⊙O的直径CD=2,连接AC、AD、BD、BC，AD、CB分别交小⊙O于E、F.（1）问四边形CEDF是何种特殊四边形？请证明你的结论；（2）当AC与小⊙O相切时，四边形CEDF是正方形吗？请说明理由.【答案】解：（1）四边形CEDF是矩形.证明：∵CD是小⊙O的直径，∴∠CFD=∠CED=90°，又∵AB、CD分别是大⊙O、小⊙O的直径，∴OC=OD，OA=OB，∴四边形ADBC是平行四边形，∴CB∥AD，∴∠CFD+∠EDF=180°，∴∠EDF=90°，∴四边形CEDF是矩形.（2）四边形CEDF是正方形.理由：∵AC是小⊙O的切线，CD是直径，∴∠ACD=90°，在Rt△ACO中，OA=，OC=1，5，∴AC=2，则CD=AC=2，∠CDE=45°，∴DE=CE，∴矩形CEDF是正方形.13.（2022·上海市静安区模拟，25，14）如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90º，点C是AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=，BD=．（1）求关于的函数解析式，并写出它的定义域；（2）如果⊙与⊙O相交于点A、C，且⊙与⊙O的圆心距为2，当BD=OB时，求⊙的半径；49\n（1）是否存在点C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．BDCAO 【答案】解：（1）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E，∴AE=，OE=．∵∠DEO=∠AOB=90º，∴∠D=90º–∠EOD=∠AOE,∴△ODE∽△AOE∴,∵OD=,∴．∴关于的函数解析式为：．定义域为：．（2）当BD=OB时，，∴．∴AE=，OE=．当点在线段OE上时，，．当点在线段EO的延长线上时，，．的半径为或．（3）存在，当点C为AB的中点时，△DCB∽△DOC．证明如下：∵当点C为AB的中点时，∠BOC=∠AOC=∠AOB=45º，又∵OA=OC=OB，∴∠OCA=∠OCB=，∴∠DCB=180º–∠OCA–∠OCB=45º．49\n∴∠DCB=∠BOC．又∵∠D=∠D，∴△DCB∽△DOC．∴存在点C，使得△DCB∽△DOC．14.（2022·北京市房山区中考一模数学试题，20，5）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，联结EB交OD于点F．（1）求证：OD⊥BE；（2）若DE=，AB=5，求AE的长． 【答案】（1）联结AD∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠AEB=90°---1分∵AB=AC，∴CD=BD∵OA=OB，∴OD//AC∴OD⊥BE （2）方法一：∵∠CEB=∠AEB=90°，CD=BD,AB=5,DE=∴AC=AB=5,BC=2DE=2, 在△ABE、△BCE中，∠CEB=∠AEB=90°，则有设AE=x,则 解得：x=3∴AE=3 49\n方法二：∵OD⊥BE，∴BD=DE，BF=EF 设AE=x,∴OF=，在△OBF、△BDF中，∠OFB=∠BFD=90°∴∵DE=，AB=5，∴ 解得：x=3，∴AE=3 方法三：∵BE⊥ACAD⊥BC,∴S△ABC=BC·AD=AC·BE,∴BC·AD=AC·BE∵BC=2DE=2，AC=AB=5∴BE=4,∴AE=315.（2022·上海市金山区2022年4月中考二模数学试题，22，10）如图是地下排水管的截面图（圆形），小敏为了计算地下排水管的直径，在圆形弧上取了,两点并连接，在劣弧上取中点连接，经测量米，°，根据这些数据请你计算出地下排水管的直径（精确到米）（°，°，°）CAB【答案】设圆心为，连接、交于∵是弧的中点，是半径∴，在中米，∴在中，设圆的半径为49\n（米）答：地下排水管的直径约为米16.（2022·内蒙古乌海二中2022届九年级毕业暨第一次模拟考试数学试题，19，7）如图所示，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE.求证：△ABE∽△ADC. 【答案】证明：∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∵AD是△ABC的边BC上的高，∴∠ADC=90°，∴∠ABE=∠ADC．又∵同弧所对的圆周角相等，∴∠BEA=∠DCA．∴△ABE∽△ADC．17.（2022·江苏省南通市通州区2022年中考一模数学试卷，24，10）如图，半圆的直径，点C在半圆上，．（1）求弦的长；（2）若P为AB的中点，交于点E，求的长． PBCcACEA【答案】解：（1）是半圆的直径，点在半圆上，．在中，（2），．，．又，，49\n．18.（2022·广东省清远市初三模拟卷数学模拟一，23，8）如图6，已知半径为5cm的⊙O是△ABC的外接圆，CD是AB边上的高，AE是⊙O的直径．若cm，cm．求CD的长．ABCDEO【答案】解:如图6，连结CE，∴∠B=∠E．∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°．∵CD是AB边上的高，∴∠CDB=90°．在△AEC与△CBD中，∠E=∠B，∠ACE=∠CDB，∴△AEC∽△CBD．∴，即．∴．∴CD的长为5.4cm．ABCDEO19.（2022山东枣阳市中考适应性考试，23，7）如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°.（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由.49\n【答案】（1）△ABC是等边三角形.证明：∵∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠CPB=60°，∴△ABC是等边三角形.（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形.连结OP，∵∠AOB=2∠ACB=120°.P是的中点，∴∠AOP=∠BOP=60°又∵OA=OP=OB，∴△OAP和△OBP均为等边三角形.∴OA=AP=OB=PB，∴四边形PBOA是菱形.20．（2022·江西省师大附中和南大附中七校联考数学试卷，20，6）如图,△ABC内接于圆,D是BC上一点,将∠B沿AD翻折,B点正好落在圆上E点处.(1)求证:AD过圆心；(2)若∠C=38°,求∠BAE的度数.【答案】(1)连接BE，∵∠E是由∠B沿AD翻折得到的，∴AD是BE中垂线.∴AD必穿过圆心.(2)连接圆心O和点B,∵∠C=38°,∴∠AOB=76°.∵AO=BO,∴∠BAO=∠OBA=(180－76)/2=52°.∵∠E是由∠B沿AD翻折得到的,∴∠BAE=2∠BAO=104°.49\n21．（2022·江西省中等学校招生统一考试数学样卷六模，21，9）如图，已知：是的直径，于E，连接AD、OC．（1）证明：；（2）若，求∠D的度数．【答案】解：（1）∵AB是直径，∴，∴，∴，即．（2）∵∴，，解得：．22．（2022·××省××市X模，题号，分值）如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°.（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由.【答案】（1）△ABC是等边三角形.49\n证明：∵∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠CPB=60°，∴△ABC是等边三角形.（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形.连结OP，∵∠AOB=2∠ACB=120°.P是的中点，∴∠AOP=∠BOP=60°又∵OA=OP=OB，∴△OAP和△OBP均为等边三角形.∴OA=AP=OB=PB，∴四边形PBOA是菱形.23．（2022·湖北省孝感市一模，23，10）如图10，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E.求证：BC=EC.【答案】证明：连接AC。∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°=∠ACE。∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EBC=∠D。是弧BD的中点，，，，∴∠EBC=∠E，∴BC=EC。24．（2022·河南省2022年中招押题数学试卷三，20，9）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D．求证：（1）D是BC的中点；（2）△BEC∽△ADC；（3）BC2=2AB·CE．49\n【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD是底边BC上的高．又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴D是BC的中点；(2)证明：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，∴∠CBE=∠CAD．又∵∠BCE=∠ACD，∴△BEC∽△ADC；（3）证明：由△BEC∽△ADC，知，即CD·BC=AC·CE．∵D是BC的中点，∴CD=BC．又∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=BC·BC=AB·CE即BC=2AB·CE．25．（2022·河南省年中招考试说明解密数学预测试卷四模，19，9）如图，是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，水位线CD平行于直径AB，OE⊥CD于点E．（1）若水面距离洞顶最高处仅1m，已测得.求半径OD；（2）根据设计要求，通常情况下，水位线CD与桥洞圆心O的夹角1200，此时桥洞截面充水面积是多少？(精确到0.1m2)(参考数据：，，.）AOBCDE【答案】解：（1）在Rt中，∵,∴设DO=13k,DE=5k(k≠0)∴OE==12k又∵OE=OD-1∴12k=13k-1得k=149\n∴OD=13m（2）∵,∴，由r=13得OE=,DE=,CD=∴S===161.5m2答：此时桥洞截面充水面积是161.5m2.26．（2022·河南省年中招考试说明解密数学预测试卷四模，22，10）已知：D为△ABC边BC上一定点，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，若∠B＝∠CAE，AF＝DF，DF=3,EF=4⑴求证：AD为∠BAC的平分线⑵求证：⑶求∠AED的余弦值；AFBDCEM【答案】解：（1）∵DE是半圆C的直径∴49\n∵AF=DF,∴EA=ED,∠EDA=∠EAD∵∠EDA=∠B+∠BAD,∠EAD=∠DAC+∠CAE又∵∠B=∠CAE∴∠BAD=∠DAC,即AD平分∠BAC（2）连结DM,∵DE是半圆C的直径∴∠DFE=∠DME,∴∠AFE=∠AMD,又∵∠DAM=∠EAF∴△AFE∽△AMD，∴（3）过点A作AN⊥DE,垂足为N.∵DF=3,EF=4,∴DE=5∴AF=DF=3,AE=DE=5由（2）得即∴AM=在中,27．（2022·广东省实验中学2022年初三一模，21，12）已知，如图，是以线段为直径的的切线，交于点，过点作弦垂足为点，连接（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①___*___，②____*__，③___*___，④___*____.（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；（2）=，=，求的半径49\nCDOFABE【答案】21．（1）等（正确结论写对1个得2分，写对2个得3分，写对3个得5分，写对4个得6分）（2）解:是的直径又又是的切线在中，28．（2022·广东汕头中考模拟，20，9）如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE，BE与AC交于F.（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；（2）若AE=6，BE=8，求EF的长.ABCOEFD【答案】解：（1）BE平分∠ABC.理由如下：∵CD＝AC，∴∠D=∠CAD.∵∠ACB=∠D+∠CAD，∴∠CAD=∠ACB∵AB＝AC，∴∠ABC=∠ACB49\n∵∠EBC=∠CAD，∴∠EBD=∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，即BE平分∠ABC.（2）由（1）知∠ABE=∠EBC，∠EBC=∠CAD，∴∠CAD=∠ABE.∵∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽△BEA.∴.∴EF=.29．（2022·福建省福州市初中毕业班质量检查，18，10）梯形ABCD中，AD∥BC，以A为圆心，DA为半径的圆经过B、C、D三点，若，，求梯形ABCD的面积。ABCD【答案】49
