知识点26圆的基本性质一、选择题：1、（2022·北京市解密预测1，10，3）如图，已知的半径为5，锐角△ABC内接于，BD⊥AC于点D，AB=8,则的值等于（）A．B．C．D．【答案】：D2．(2022·北京市解密预测4,8,3)如图，是圆O的直径，，弦，则，两点到直线距离的和等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】B3．(2022·北京市解密预测5,9,3)如图，是⊙O直径，，则（）A．B．C．D．【答案】B4．(2022·湖北省武汉市元月调考1摸,8,3)如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD=30°，则∠BCD的度数是()A.75°B.95°C.105°D.115°【答案】C5．(2022·湖北省武汉市元月调考2摸,8,3)如图，AB是⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，则∠C+∠D+∠E的度数是()A.90°B.120°C.105°D.150°17\n【答案】B6．（2022·河北二摸，7，2）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为……………………………………………………………………（ ）A．2cmB．cmC．cmD．cmOAB第7题【答案】C7．（2022·广西桂林中考适应性检测，8，3）如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=，则∠A的度数为（）．（A）30（B）45（C）60（D）75【答案】C8．（2022·广西桂林中考适应性检测，8，3）如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（ ）． （A）6.5米 （B）9米 （C）13米 （D）15米【答案】A9．（2022·河北博野县1摸，9，2）如图，AB和CD都是⊙O的直径，∠AOC=50°，则∠C的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．50°17\n【答案】B10．（2022·黑龙江齐齐哈尔一摸，14，3）如图，⊙O的直径AB＝10cm，弦CD⊥AB，垂足为P．若OP:OB＝3:5，则CD的长为（）A．6cmB．4cmC．8cmD．cm【答案】C11．（2022·兰州市3摸，5，3）如图,点A、B、C在⊙O上,AO∥BC,∠OBC=40°，则∠ACB的度数是……………………（ ）A、10°B、20°C、30°D、40°【答案】B12．（2022·兰州市2摸，13，4）如图所示，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠BAC＝20°，＝，则∠DAC的度数为（ ） A.30° B.35° C.45° D.70°【答案】B13．（2022·浙江宁波七中3月月考，11，3）已知如图：⊙O的半径为8cm，把弧AmB沿AB折叠使弧AmB经过圆心O，再把弧AOB沿CD折叠，使弧COD经过AB的中点E，则折线CD的长为（）A．8cmB.8cmC.2cmD.4cm17\n【答案】D14．（2022·重庆南开中学九下期中，7，4）如图，内接于若则的度数为()【答案】C15．（2022·湖南长沙中考摸拟，8、3）如图2—5，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为H，点P是上的一点(点P不与A，C重合)，连结PC，PD，PA，AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F．给出下列四个结论：①CH2=AH·BH；②=；③AD2=DF·DP；④∠EPC=∠APD．其中正确的个数有A、1个B、2个C、3个D、4个【答案】C16．(2022·岱山中考一模5，3)如图，△ABC内接于⊙O，∠C=45°，AB=2，则⊙O的半径为(▲)A．1B．C．2D．【答案】D17．（2022·苏州中考一模3，3）如图所示，BD为⊙O的直径，∠A＝30°，则∠CBD的度数为()A．30°B．45°C．60°D．90°17\n【答案】C18．（2022·苏州中中考4模14，3）如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC的度数是()A．70°B．40°C．50°D．20°【答案】D19．（2022菏泽模拟6，3）已知如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上一个动点，则OP长的取值范围为（ ）A.OP＜5B.8＜OP＜10C.3＜OP＜5D.3≤OP≤5【答案】C20．(2022荆州中考模拟10，3)如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD长为（）(A)7(B)(C)(D)9【答案】B二、填空题1．（2022·北京市解密预测3，12，5）如图、是的两条弦，=30°，过点的切线与的延长线交于点，则的度数为．【答案】300BCDA2．（2022·北京市解密预测3，15，5）如图，在△ABC中，17\n，cosB．如果⊙O的半径为cm，且经过点B、C，那么线段AO= cm．【答案】53．(2022·北京市解密预测5,13,4)如图，⊙O的半径是10cm，弦AB的长是12cm，OC是⊙O的半径且，垂足为D，则CD=__________cm.【答案】24．(2022·北京市解密预测5,25,4)如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D．则弦AD的长是。．【答案】5cm5．(2022·重庆市一中九年级3月月考，13，4)如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAC的度数是°．【答案】556．（2022·山东曲阜实验中学1摸，21，2）已知的直径为上的一点，，则=．17\n【答案】4cm7．(2022·江苏盐城射阳春季摸底，15，3)如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于．【答案】4508．（2022·福建莆田东宅中学1摸，14，4）如图，AB是⊙O的弦，AB=8cm，⊙O的半径5cm，半径OC⊥AB于点D，则OD的长是___________【答案】3cm9．（2022·河南郑州第一次质量预测，12，3）如图所示，A、B、C、D是圆上的点，∠1=700，∠A=400，则∠D=。【答案】30010．（2022·兰州市1摸，9，4）如图，内接于⊙O，，，则⊙O的半径为____________【答案】211．（2022·兰州市2摸，23，3）17\n如图6所示，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，若 ，则CE＝CD（只需添加一个你认为适当的条件）【答案】CD⊥AB或弧BC=弧BD或B是弧CD的中点.12．（2022·浙江省泰顺县第七中学摸拟检测，14，5）如图，AB是⊙O的弦，AB=8cm，⊙O的半径5cm，半径OC⊥AB于点D，则OD的长是cm．【答案】313．（2022·常州摸拟，16，2）如图，在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，则BC=cm,∠ABD=°。【答案】84514．（2022·广东摸拟，12，3）如图，点、在以为直径的半圆上，，若=2，则弦的长为________________．【答案】15．（2022·河北石家庄调研卷，17，3）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OB,OC,⊙O的半径为10，sinA=,则弦BC的长为17\n【答案】1616．（2022·湖南娄底学业考试，16，4）如图7，在半径为R的⊙O中，弦AB的长与半径R相等，C是优弧上一点，则∠ACB的度数是_______．【答案】30017．（2022·湖北黄岗中考摸拟A卷，4，3）已知，如图，AB是⊙O的直径，点D,C在⊙O上，连结AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度数是。【答案】55018．（2022·湖南中考预测，15，3）如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为⊙O的直径，则∠A＋∠B＋∠C＝__________度．【答案】9019．（2022·湖北黄冈启黄中学1摸，8，3）【答案】30020．（2022·福州摸拟，12，417\n）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠DAB＝48º，则∠ACD＝________º．【答案】4221．（2022·苏州中中考4模，14，3）如图，已知⊙O的半径为5mm，弦AB＝8mm，则圆心O到AB的距离是______mm．【答案】322．（2022宁夏贺兰一中2模，15，3）在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图16所示，如果油面宽AB=8m，那么油的最大深度是______m.【答案】823．（2022河南1模，11，3）如图，在以为直径的半圆中，是弦的中点，延长交半圆于点，若=2，=1，则的度数是_____________．【答案】30°24．（2022杭州摸拟2，12，4）如图，已知OB是⊙O的半径，点C、D在⊙O上，∠DCB＝40°，则∠OBD＝▲度.【答案】5025．（2022河南最新摸拟，12，3）如图，点、在以为直径的半圆上，17\n，若=2，则弦的长为________________．【答案】三、解答题1．（2022·北京市解密预测2，21，8）如图，CD为⊙O的直径，点A在⊙O上，过点A作⊙O的切线交CD的延长线于点F。已知∠F＝30°。⑴求∠C的度数；⑵若点B在⊙O上，AB⊥CD，垂足为E，AB＝，求图中阴影部分的面积.【答案】：连结OA，∵AF切⊙O于点A，∴∠OAF＝90°.∵∠F＝30°，∴∠AOD＝60°.∵OA＝OC，∴∠C＝∠CAO＝30°.⑵∵AB⊥CD，AB＝，∴AE＝2，∴在Rt△OAE中，OE＝2，OA＝4.∴S扇形AOD==，SΔAOE=×2×2=2∴S阴影=S扇形AOD－SΔAOE=－22．(2022·北京市解密预测5,27,10)如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．（1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）点是AB的中点，交于点，若，求MN·MC的值．ONBPCAMONBPCAM【答案】：（1），又，17\n．又是的直径，，，即，而是的半径，是的切线．（2），，又，．（3）连接，点是AB的中点，AM=BM，，而，，而，，，∴MN·MC=BM2，又是的直径，AM=BM，．，∴MN·MC=BM2=83．(2022·河北安次区1摸,20,8)如图，的半径为2，直径经过弦的中点，∠ADC=75°．（1）填空：＝____________；（2）求的长．【答案】(1)(2)连结OA。直径经过弦AB的中点G,所以点A、B关于直径CD对称所以CD⊥AB、AG=BG、∠CAB=∠CBA因为∠CBA=∠ADC=750所以∠CAB=750所以∠ACD=900－750=150又OA=OC=2所以∠AOG=2∠ACD=300所以OG=OAcos300=4．（2022·山东曲阜实验中学1摸，29，10）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．（1）求证：BC＝CD；（2）求证：∠ADE＝∠ABD；（3）设AD＝2，AE＝1，求⊙O直径的长．（1）∵∠ABC＝90°，∴OB⊥BC．.∵OB是⊙O的半径，∴CB为⊙O的切线．.又∵CD切⊙O于点D，∴BC＝CD；.（2）∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°．∴∠ADE＋∠CDB＝90°．.又∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＋∠CBD＝90°．.由（1）得BC＝CD，∴∠CDB＝∠CBD．∴∠ADE＝∠ABD；.（3）由（2）得，∠ADE＝∠ABD，∠A＝∠A．17\n∴△ADE∽△ABD．.∴＝．.∴＝，∴BE＝3，.∴所求⊙O的直径长为3．.5．（2022·兰州市4摸，18，6）是⊙O的直径，切⊙O于，交⊙O于，连．若，求的度数．【答案】切⊙O于是⊙O的直径，∴．，∴．∴．ABCPO6．（2022·兰州市2摸，20，8）如图所示，已知⊙O的直径为4cm，M是弧的中点，从M作弦MN，且MN＝cm，MN交AB于点P，求∠APM的度数.【答案】连结OM交AB于点E，∵M是弧的中点，∴OM⊥AB于E，过点O作OF⊥MN于F，由垂径定理得：，在Rt△OFM中，OM=2，，∴cos∠OMF=，∴∠OMF=300，∴∠APM=6007．（2022·江苏镇江外国语学校3月阶段质量反馈，23，6）如图，为外接圆的直径，，垂足为点，的平分线交于点，连接，.(1)求证：；(2)请判断，，三点是否在以为圆心，以为半径的圆上？并说明理由.17\n【答案】（1）证明：∵为直径，，∴=.∴.（2）答：，，三点在以为圆心，以为半径的圆上.理由：由（1）知：，∴.∵，，，∴.∴.由（1）知：.∴.∴，，三点在以为圆心，以为半径的圆上.8．（2022·浙江宁波七中3月月考，11，3）如图，AN是⊙O的直径，四边形ABMN是矩形，与圆相交于点E，AB=15，D是⊙O上的点，DC⊥BM，与BM交于点C，⊙O的半径为Ｒ＝30.（1）求BE的长.（2）若BC＝15，求的长.（本题8分）【答案】（1）连接OE，过O作OF⊥BM于F，在中，EF==15，BF=AO=30，∴EF=3015.（2）连接OD，则在直角三角形ODQ中，可求得∠FOD=60°，过点E作EH⊥AO于H，连接EO，在直角三角形ODF中，可求得∠EOH=30°，则=15.QH9．（2022·安徽淮北五校第四次联考，20、10）已知：如图，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交弦AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN＝cm..（1）求圆心O到弦MN的距离;（2）求∠ACM的度数.17\n【答案】解：（1）连结OM.∵点M是弧AB的中点，∴OM⊥AB过点O作OD⊥MN于点D，由垂径定理，得MD＝MN＝2.在Rt△ODM中，OM＝4，MD＝2，∴OD＝＝2，故圆心O到弦MN的距离为2cm.（2）cos∠OMD＝，∴∠OMD＝30°，∴∠ACM＝60°10．(2022·广东珠海摸拟，19，7)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，AE切⊙O于点A，交BC的延长线于点E，连接AC.(1)若B=30°，AB=2，求CD的长；(2)求证：AE2=EB·EC.【答案】解：∵AB是⊙O的直径，∠B＝30°，AB＝2∴∠ACB=90°,AC=AB=1,∠CAB=60°∵弦CD⊥AB∴CM=AC·sin∠CAB=,CM=DM∴CD=2CM=(2)证明：∵AE切⊙O于点A∴∠EAB=90°∵∠ECA=90°,∠E=∠E∴△ACE∽△BAE∴∴AE2＝EB·EC（其它解法可参照给分）11．(2022·山东青州摸拟，22，10)如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE.(1)DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；(2)若AD、AB的长是方程x2－10x+24=0的两个根，求直角边BC的长。17\n解：（1）DE与半圆O相切.证明：连结OD、BD∵AB是半圆O的直径∴∠BDA=∠BDC=90°∵在Rt△BDC中,E是BC边上的中点∴DE=BE∴∠EBD＝∠BDE∵OB=OD∴∠OBD=∠ODB又∵∠ABC＝∠OBD+∠EBD＝90°∴∠ODB+∠EBD=90°∴DE与半圆O相切.、、、、、、、、4分（2）解：∵在Rt△ABC中，BD⊥AC∴Rt△ABD∽Rt△ABC∴=即AB2=AD·AC∴AC=∵AD、AB的长是方程x2－10x+24=0的两个根∴解方程x2－10x+24=0得：x 1=4x2=6、、、、、、8分∵AD<AB∴AD=4AB=6∴AC=9在Rt△ABC中，AB=6AC=9∴BC===3、、、、、、、、、10分12．（2022·湖北武汉九年级3月月考，22、8）在平行四边形ABCD中，E为BC上的一点，且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC。（1）求证AE⊥DE。（2）过A、D、E三点作圆交AB于F，连DF交AE于G，若，求tan∠AGF的值。【答案】（1）略（2）.13．(2022·岱山中考一模，19，6)已知：如图，为的直径，交于点，交于点．（1）求的度数；（2）求证：．【答案】解:边接AD∵AB是圆的直径∴AD⊥BC,又∵AB=AC∴BD=CD,∠BAD=∠CAD=22.5度∴∠EBC=∠BAD=22.514．（2022苏州中考3模，26，8）如图(1)，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D．(1)求证：∠DAC＝∠BAC；(2)若把直线EF向上平行移动，如图(2)，EF交⊙O于G、C两点，若题中的其他条件不变，这时与∠DAC相等的角是哪一个？为什么？【答案】(1)略(2)与∠DAC相等的角是∠BAG17\n15．（2022宁夏贺兰一中2模，23，6）如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D.已知：AB,CD.(1).求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；(2).求（1）中所作圆的半径。【答案】（1）图略（2）r2=122+（r-8）2，所以r=13cm16．（2022杭州模拟，18，6）AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.（1）求证：AB=AC；（2）求证：DE为⊙O的切线.【答案】(1)证明:连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵BD=CD，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC(2)连接OD，∵点O、D分别是AB、BC的中点，∴OD∥AC又DE⊥AC，∴OD⊥DE∴DE为⊙O的切线.17
