三角形四边形练习题一、选择题(每小题3分,共39分)1.下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )图J4-12.下列判断错误的是( )A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形B.四个内角都相等的四边形是矩形C.四条边都相等的四边形是菱形D.两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形3.如图J4-2,已知△ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分线,DE交AB于点D,连接CD,则CD的长为( )图J4-2A.3B.4C.4.8D.54.如图J4-3,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,下列说法中不正确的是( )图J4-3A.DE=12BCB.ADAB=AEAC16\nC.△ADE∽△ABCD.S△ADE∶S△ABC=1∶25.一个正多边形的内角和为540°,则这个正多边形的每一个外角等于( )A.108°B.90°C.72°D.60°6.如图J4-4,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于点H,则DH等于( )图J4-4A.245B.125C.5D.47.平面直角坐标系中,已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A(m,n),B(2,-1),C(-m,-n),则点D的坐标是( )A.(-2,1)B.(-2,-1)C.(-1,-2)D.(-1,2)8.如图J4-5,∠AOB=60°,以点O为圆心,以任意长为半径作弧交OA,OB于C,D两点,分别以点C,D为圆心,以大于12CD的长为半径作弧,两弧相交于点P,以O为端点作射线OP,在射线OP上截取线段OM=6,则点M到OB的距离为( )图J4-5A.6B.2C.3D.339.如图J4-6,点D在△ABC的边AB的延长线上,DE∥BC.若∠A=35°,∠C=24°,则∠D的度数是( )16\n图J4-6A.24°B.59°C.60°D.69°10.如图J4-7,P是矩形ABCD的边AD上的一动点,矩形的两条边AB,BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )图J4-7A.4.8B.5C.6D.7.211.如图J4-8,在矩形ABCD中(AD>AB),E是BC上一点,且DE=DA,AF⊥DE,垂足为F.在下列结论中,不一定正确的是( )图J4-8A.△AFD≌△DCEB.AF=12ADC.AB=AFD.BE=AD-DF12.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图J4-9所示,点B的坐标为(3,4),D是OA的中点,点E在AB上,当△CDE的周长最小时,点E的坐标为( )16\n图J4-9A.(3,1)B.(3,43)C.(3,53)D.(3,2)13.如图J4-10,在菱形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD和DA的中点,连接EF,FG,GH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确的是( )图J4-10A.AB=2EFB.AB=2EFC.AB=3EFD.AB=5EF二、填空题(每小题3分,共21分)14.若多边形的每一个内角均为135°,则这个多边形的边数为 . 15.如图J4-11,点A(3,t)在第一象限,射线OA与x轴所夹的锐角为α,cosα=12,则t的值是 . 图J4-1116\n图J4-1216.如图J4-12,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,AC,BC上,DE∥BC,EF∥AB.若AB=8,BD=3,BF=4,则FC的长为 . 17.如图J4-13,将矩形ABCD沿GH折叠,点C落在点Q处,点D落在AB边上的点E处,EQ与BC相交于点F,若AD=8cm,AB=6cm,AE=4cm,则△EBF的周长是 cm. 图J4-1318.如图J4-14,△ABC的面积是12,D,E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点,则△AFG的面积是 . 图J4-1419.△AOC在平面直角坐标系中的位置如图J4-15所示,OA=4,将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△A1OC1,A1C1交y轴于点B(0,2),若△C1OB∽△C1A1O,则点C1的坐标是 . 图J4-1520.如图J4-16,在△ABC中,∠ABC=45°,BD为∠ABC的平分线,交AC于点D,M,N分别是BD和BC上的两个动点.若BC=42,则MN+MC的最小值为 . 图J4-1616\n三、解答题(共40分)21.(6分)如图J4-17,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD.(1)利用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(保留作图痕迹,不写作法).(2)在(1)的条件下,①求证:AE⊥DE;②若CD=2,AB=4,M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值.图J4-1722.(6分)为了维护国家主权和海洋权利,海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理,如图J4-18,正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方向航行,在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上,继续航行1小时到达B处,此时测得灯塔P在北偏东30°方向上.(1)求∠APB的度数;(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁,则海监船继续向正东方向航行是否安全?16\n图J4-1823.(8分)如图J4-19,正方形ABCD中,G为BC边上一点,BE⊥AG于点E,DF⊥AG于点F,连接DE.(1)求证:△ABE≌△DAF;(2)若AF=1,四边形ABED的面积为6,求EF的长.图J4-1916\n24.(9分)如图J4-20,在△ABC中,D是AB上一点,DE⊥AC于点E,F是AD的中点,FG⊥BC于点G,与DE交于点H,FG=AF,AG平分∠CAB,连接GE,GD.(1)求证:△ECG≌△GHD;(2)小亮同学经过探究发现AD=AC+EC,请你帮助小亮同学证明这一结论;(3)若∠B=30°,判断四边形AEGF是不是菱形,并说明理由.图J4-2025.(11分)如图J4-21(a),在矩形ABCD中,E是AD的中点,以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF,EG分别过点B,C,∠F=30°.(1)求证:BE=CE.16\n(2)将△EFG绕点E按顺时针方向旋转,当旋转到EF与AD重合时停止转动,若EF,EG分别与AB,BC相交于点M,N(如图(b)).①求证:△BEM≌△CEN;②若AB=2,求△BMN面积的最大值;③当停止旋转时,点B恰好在FG上(如图(c)),求sin∠EBG的值.图J4-2116\n参考答案1.C [解析]选项A,D都是轴对称图形,但不是中心对称图形;选项B是中心对称图形,但不是轴对称图形;选项C既是中心对称图形,又是轴对称图形.2.D 3.D 4.D 5.C 6.A 7.A8.C [解析]由题意得OP是∠AOB的平分线,过点M作ME⊥OB于点E.∵∠AOB=60°,∴∠MOB=30°.在Rt△MOE中,OM=6,∴EM=12OM=3.故选C.9.B 10.A 11.B 12.B 13.D [解析]连接AC,BD交于点O.∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF=12AC.∵四边形ABCD为菱形,∴AO=12AC,AC⊥BD,∴EF=AO.同理:EH=BO.∵EH=2EF,∴BO=2AO.16\n在Rt△ABO中,设AO=x,则BO=2x,∴AB=x2+(2x)2=5x=5AO.∴AB=5EF.故选择D.14.8 15.33 16.2.4 17.818.4.5 [解析]∵E是AD的中点,∴△EBC的面积等于△ABC的面积的12,∴四边形ABEC的面积等于△ABC的面积的12.∵D,F,G分别是BC,BE,CE的中点,∴△EFG的面积等于△EBC的面积的14,四边形AFEG的面积等于四边形ABEC的面积的12,∴△AFG的面积=38△ABC的面积=4.5.19.43,83 20.421.解:(1)如图所示:(2)①证明:如图,延长DE,AB相交于点F.∵∠ABC=∠C=90°,∴∠ABC+∠C=180°,∴AB∥CD,∴∠CDE=∠F.∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE,∴∠ADE=∠F,∴AD=AF=AB+BF.又AD=AB+CD,∴AB+BF=AB+CD,∴BF=CD.16\n在△CED和△BEF中,∠DEC=∠FEB,∠CDE=∠F,CD=BF,∴△CED≌△BEF,∴DE=EF.又AD=AF,∴AE⊥DE.②如图,过点D作DH⊥AB于点H,作点N关于AE的对称点N',则MN=MN'.∴BM+MN=BM+MN'.由①可得AE平分∠DAB,∴点N'在AD上,∴当点B,M,N'共线且BN'⊥AD时,BM+MN'有最小值,即BM+MN有最小值.在Rt△ADH中,AD=AB+CD=6,AH=AB-BH=2,由勾股定理可得DH=AD2-AH2=32=42.∵∠DHA=∠BN'A=90°,∠DAH=∠BAN',∴△DAH∽△BAN',∴BN'DH=ABAD,∴BN'42=46,∴BN'=823.即BM+MN的最小值为823.22.[解析](1)在△ABP中,求出∠PAB,∠PBA的度数即可解决问题;(2)过点P作PH⊥AB于点H,求出PH的长即可判断.解:(1)∵∠PAB=30°,∠ABP=120°,∴∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=30°.(2)过点P作PH⊥AB于点H.16\n∵∠BAP=∠APB=30°,∴BA=BP=50海里.在Rt△PBH中,PH=PB·sin60°=50×32=253(海里).∵253>25,∴海监船继续向正东方向航行是安全的.23.[解析](1)由∠DAF+∠BAE=90°,∠ABE+∠BAE=90°得∠ABE=∠DAF,又∠AEB=∠DFA=90°,AB=AD,根据AAS可证△ABE≌△DAF;(2)四边形ABED是不规则四边形,可利用S四边形ABED=S△ABE+S△AED列方程求解.解:(1)证明:在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,∴∠DAF+∠BAE=90°.∵BE⊥AG,DF⊥AG,∴∠AEB=∠DFA=90°,∴∠ABE+∠BAE=90°,∴∠ABE=∠DAF,∴△ABE≌△DAF.(2)设EF=x,则AE=1+x.由(1)可知△ABE≌△DAF,故BE=AF=1,DF=AE=1+x,16\n∴S四边形ABED=S△ABE+S△AED=12BE·AE+12AE·DF=12(1+x)+12(1+x)2.又S四边形ABED=6,∴12(1+x)+12(1+x)2=6,解得x1=-5(不合题意,舍去),x2=2.故EF的长为2.24.解:(1)证明:∵AF=FG,∴∠FAG=∠FGA.∵AG平分∠CAB,∴∠CAG=∠FAG,∴∠CAG=∠FGA,∴AC∥FG.∵DE⊥AC,∴FG⊥DE.∵FG⊥BC,∴DE∥BC,∴AC⊥BC,∴∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED.∵F是AD的中点,FG∥AE,∴H是DE的中点,∴FG是线段ED的垂直平分线,∴GE=GD,∠GDE=∠GED,∴∠CGE=∠GDE,∴△ECG≌△GHD.(2)证明:过点G作GP⊥AB于点P,∴GC=GP,易证△CAG≌△PAG,∴AC=AP.由(1)得EG=DG,∴Rt△ECG≌Rt△DPG,16\n∴EC=PD,∴AD=AP+PD=AC+EC.(3)四边形AEGF是菱形,理由如下:∵∠B=30°,DE∥BC,∴∠ADE=30°,∴AE=12AD,∴AE=AF=FG.又由(1)得AE∥FG,∴四边形AEGF是菱形.25.解:(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,∴∠A=∠D=90°,AB=DC.又∵E为AD的中点,∴AE=DE,∴△ABE≌△DCE,∴BE=CE.(2)①证明:∵△ABE≌△DCE,∴∠AEB=∠DEC.∵∠BEC=90°,∴∠AEB=∠DEC=45°,∴∠ABE=∠ECB=45°.∵∠BEM+∠BEN=∠CEN+∠BEN=90°,∴∠BEM=∠CEN.又∵BE=CE,∴△BEM≌△CEN.②由①可知△ABE和△DCE都是等腰直角三角形,E为AD的中点,∴BC=AD=2AB=4.设BM=CN=x,则BN=4-x,0≤x≤2.16\nS△BMN=12BM·BN=12x(4-x)=-12x2+2x=-12(x-2)2+2,∴当x=2时,△BMN的面积最大,最大面积为2.③∵BC∥AD,∠FEG=90°,∴∠BNG=∠FEG=90°.∵∠F=30°,∴∠NBG=∠F=30°.由①可知∠EBN=45°.设NG=x,则BG=2x,BN=3x,EN=3x,∴BE=3x·2=6x,∴S△EBG=12·BE·BGsin∠EBG=12EG·BN,∴sin∠EBG=EG·BNBE·BG=(3x+x)·3x6x·2x=6+24.16
