第二十七章相似一、选择题1．2022·内江已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为( )A．1∶1B．1∶3C．1∶6D．1∶92．2022·绍兴学校门口的栏杆如图1所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为( )图1A．0.2mB．0.3mC．0.4mD．0.5m3．2022·临沂如图2，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，则建筑物CD的高是( ) 图2A．9.3mB．10.5mC．12.4mD．14m4．2022·潍坊在平面直角坐标系中，P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为( )A．(2m，2n)B．(2m，2n)或(－2m，－2n)8\nC．(m，n)D．(m，n)或(－m，－n)5．2022·宜宾如图3，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若AA′＝1，则A′D等于( )图3A．2B．3C.D.6．2022·泰州如图4，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(9，6)，AB⊥y轴，垂足为B，点P从原点O出发向x轴正方向运动，同时，点Q从点A出发向点B运动，当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动，若点P与点Q的速度之比为1∶2，则下列说法正确的是( )图4A．线段PQ始终经过点(2，3)B．线段PQ始终经过点(3，2)C．线段PQ始终经过点(2，2)D．线段PQ不可能始终经过某一定点二、填空题7．2022·嘉兴如图5，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，已知＝，则＝________．图58．2022·南充如图6，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F，若AD＝1，BD＝2，BC＝4，则EF＝________． 图68\n9．2022·岳阳《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“如图7，今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是________步．图7三、解答题10．2022·杭州如图8，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.(1)求证：△BDE∽△CAD；(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．图811．2022·安徽如图9，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．(1)在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1(点A，B的对应点分别为A1，B1)，画出线段A1B1；(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；(3)以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是________个平方单位．图98\n12．2022·衢州如图10，已知AB为⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F，取的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于点H.(1)求证：△HBE∽△ABC；(2)若CF＝4，BF＝5，求AC和EH的长．图1013．2022·宁波若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．(1)已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长；(2)如图11①，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC.求证：△ABC是比例三角形；(3)如图②，在(2)的条件下，当∠ADC＝90°时，求的值．图118\n详解详析1．[解析]D ∵△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1∶3，∴＝()2＝.故选D.2．[解析]C 由题意可知△ABO∽△CDO，根据相似三角形的性质可得＝，又AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，∴＝，解得CD＝0.4(m)．故选C.3．[解析]B 由题意知BE∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴＝，即＝，解得CD＝10.5(m)．故选B.4．[解析]B 当放大后的△A′O′B′与△AOB在原点O的同侧时，点P的对应点的坐标为(2m，2n)；当放大后的△A′O′B′与△AOB在原点O的异侧时，点P的对应点的坐标为(－2m，－2n)．故选B.5．[解析]A 如图，∵S△ABC＝9，S△A′EF＝4，且AD为BC边上的中线，∴S△A′DE＝S△A′EF＝2，S△ABD＝S△ABC＝.∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A′B′C′，∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，∴＝，即＝，解得A′D＝2或A′D＝－(舍去)．故选A.6．[解析]B 解法一：如图，连接AO交PQ于点C，过点C作CD⊥AB于点D，∵AB⊥y轴，∴AB∥x轴，∴∠A＝∠COP，∠AQC＝∠OPC，∴△AQC∽△OPC，∴＝＝2，∴＝.同理可得CD＝BO＝4，AD＝AB＝6.∵点A的坐标为(9，6)，∴点C的坐标为(3，2)．即线段PQ始终经过点(3，2)．故选B.8\n解法二：当OP＝t时，点P的坐标为(t，0)，点Q的坐标为(9－2t，6)．设直线PQ的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将P(t，0)，Q(9－2t，6)代入y＝kx＋b，得解得∴直线PQ的解析式为y＝x＋.当x＝3时，y＝2，∴直线PQ始终经过点(3，2)．故选B.7．[答案]2[解析]由＝得＝＝，则＝2.因为直线l1∥l2∥l3，所以＝＝2.故答案为2.8．[答案][解析]∵DE∥BC，AD＝1，BD＝2，BC＝4，∴＝，即＝，解得DE＝.∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC.又∵DE∥BC，∴∠FBC＝∠F，∴∠ABF＝∠F，∴BD＝DF＝2.∵DF＝DE＋EF，∴EF＝2－＝.故答案为：.9．[答案][解析]如图．设该直角三角形能容纳的正方形边长为x，则AD＝12－x，FC＝5－x.根据题意，得△ADE∽△EFC，∴＝，即＝，解得x＝.故答案为.10．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.8\n∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，AD⊥BC.又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD.(2)∵BC＝10，∴BD＝BC＝5.在Rt△ABD中，有AD2＋BD2＝AB2，∴AD＝＝12.∵△BDE∽△CAD，∴＝，即＝，∴DE＝.11．解：(1)如图所示，线段A1B1即为所求．(2)如图所示，线段A2B1即为所求．(3)由图可得，四边形AA1B1A2为正方形，∴四边形AA1B1A2的面积是()2＝()2＝20.故答案为：20.12．[解析](1)根据切线的性质可证明∠CAB＝∠EHB，由此即可解决问题；(2)连接AF.由△CAF∽△CBA，推出AC2＝CF·CB＝36，可得AC＝6，AB＝＝3，AF＝＝2，由Rt△AEF≌Rt△AEH，推出AF＝AH＝2.设EF＝EH＝x.在Rt△EHB中，可得(5－x)2＝x2＋()2，解方程即可解决问题．解：(1)证明：∵AC是⊙O的切线，∴CA⊥AB.∵EH⊥AB，∴∠EHB＝∠CAB.又∵∠EBH＝∠CBA，∴△HBE∽△ABC.(2)如图，连接AF.∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°.∵∠C＝∠C，∠CAB＝∠AFC，∴△CAF∽△CBA，∴＝，∴AC2＝CF·CB＝36，∴AC＝6，AB＝＝3，AF＝＝2.∵＝，∴∠EAF＝∠EAH.∵EF⊥AF，EH⊥AB，∴EF＝EH.又∵AE＝AE，∴Rt△AEF≌Rt△AEH，∴AF＝AH＝2.设EF＝EH＝x.在Rt△EHB中，(5－x)2＝x2＋()2，∴x＝2，∴EH＝2.13．解：(1)AC的长为或或.(2)证明：∵AD∥BC，8\n∴∠ACB＝∠CAD.又∵∠BAC＝∠ADC，∴△ABC∽△DCA，∴＝，即CA2＝BC·AD.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴CA2＝BC·AB，∴△ABC是比例三角形．(3)如图，过点A作AH⊥BD于点H.∵AB＝AD，∴BH＝BD.∵AD∥BC，∠ADC＝90°，∴∠BCD＝90°，∴∠BHA＝∠BCD＝90°.又∵∠ABH＝∠DBC，∴△ABH∽△DBC，∴＝，∴AB·BC＝DB·BH，∴AB·BC＝BD2.又∵AB·BC＝AC2，∴BD2＝AC2，∴＝.8
