圆本章中考演练 一、选择题1．2022·聊城如图3－Y－1，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是( )图3－Y－1A．25°B．27.5°C．30°D．35°2．2022·枣庄如图3－Y－2，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为( ) 图3－Y－2A.B．2C．2D．83．2022·滨州已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝25°，则劣弧的长为( )A.B.C.D.4．2022·烟台如图3－Y－3，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数是( )11\n图3－Y－3A．56°B．62°C．68°D．78°5．2022·泸州在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y＝x＋2上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为( )A．3B．2C.D.6．2022·重庆B卷如图3－Y－4，△ABC中，∠A＝30°，O是边AB上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD.若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是( ) 图3－Y－4A．2B.C.D.二、填空题7．2022·北京如图3－Y－5，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝________．图3－Y－58．2022·孝感已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是________cm.9．2022·陕西如图3－Y－6，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为________． 图3－Y－610．2022·绍兴等腰三角形ABC中，顶角A的度数为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP＝BA，则∠PBC的度数为________．11．2022·烟台如图3－Y－7，点O为正六边形ABCDEF的中心，M为AF的中点．以点O11\n为圆心，OM长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，DE长为半径画弧得到扇形DEF.把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样的方法围成圆锥，其底面半径记为r2，则r1∶r2＝________．图3－Y－7三、解答题12．2022·绥化如图3－Y－8，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于点E.求证：(1)DE⊥AE；(2)AE＋CE＝AB.图3－Y－813．2022·温州如图3－Y－9，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，使点C的对应点E落在上．(1)求证：AE＝AB；(2)若∠CAB＝90°，cos∠ADB＝，BE＝2，求BC的长．图3－Y－914．2022·江西如图3－Y－10，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC长为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的廷长线于点D，且∠AOD＝∠BAD.(1)求证：AB为⊙O的切线；(2)若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的长．11\n图3－Y－1015．2022·临沂如图3－Y－11，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若BD＝，BE＝1，求阴影部分的面积．图3－Y－1116．2022·荆门如图3－Y－12，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于点F，FM⊥AB于点H，与⊙O，AC分别交于点M，N，连接MB，BC.(1)求证：AC平分∠DAE.(2)若cosM＝，BE＝1，①求⊙O的半径；②求FN的长．11\n图3－Y－1211\n详解详析1．[解析]D ∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，∴∠B＝∠ADC－∠A＝85°－60°＝25°，∴∠O＝2∠B＝2×25°＝50°，∴∠C＝∠ADC－∠O＝85°－50°＝35°.2．[解析]C 过点O作OE⊥CD于点E，连接OC.∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，∴OA＝OB＝OC＝4，∴OP＝2.∵∠APC＝30°，∴OE＝OP＝1.在Rt△OCE中，CE＝＝.∵OE⊥CD，O是圆心，∴CD＝2CE＝2.3．[解析]C 因为∠ABC＝25°，故劣弧所对应的圆心角∠AOC＝50°，故劣弧的长为＝.4．[解析]C ∵点I是△ABC的内心，∴AI，CI是△ABC的角平分线，∴∠AIC＝90°＋∠B＝124°，∴∠B＝68°.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDE＝∠B＝68°.故选C.5．[解析]D 由题可知，B(－2，0)，C(0，2)，P为y＝x＋2直线上一点，过P作圆O的切线PA，连接AO，则在Rt△PAO中，AO＝1，由勾股定理可得PA＝，要想使PA最小，则PO最小，所以过点O作OP⊥BC于点P，此时PO＝，所以PA＝.6．[解析]B 如图，连接OD，则由AD切⊙O于点D，得OD⊥AC.∵在Rt△AOD中，∠A＝30°，AD＝2，tanA＝，11\n∴OD＝AD·tanA＝2×tan30°＝2×＝2，∴AO＝2OD＝4，AB＝AO＋OB＝6.∵∠AOD＝90°－∠A＝60°，∴∠ABD＝∠AOD＝30°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD＝60°，∴∠C＝90°＝∠ADO，∴OD∥BC，∴＝，即＝，∴CD＝.7．[答案]70°[解析]∵＝，∠CAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∠DBC＝∠DAC＝30°.∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝50°，∴∠ADB＝∠ACB＝180°－∠CAB－∠ABC＝180°－50°－30°－30°＝70°.故答案为70°.8．[答案]2或14[解析]①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC.∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD.∵AB＝16cm，CD＝12cm，∴AE＝8cm，CF＝6cm.∵OA＝OC＝10cm，∴OE＝6cm，OF＝8cm，∴EF＝OF－OE＝2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，过点O作OE⊥AB，延长EO交CD于点F，连接OC，OA.同理可得OE＝6cm，OF＝8cm，∴EF＝OF＋OE＝14cm.综上所述，AB与CD之间的距离为2cm或14cm.故答案为2或14.9．[答案]72°[解析]∵五边形ABCDE是正五边形，11\n∴∠EAB＝∠ABC＝＝108°.∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，同理∠ABE＝36°，∴∠AFE＝∠ABE＋∠BAC＝36°＋36°＝72°.故答案为72°.10．[答案]30°或110°[解析](1)如图①，BP＝BA＝AC，AP＝BC，∴四边形APBC为平行四边形，∴∠BAC＝∠ABP＝40°，∠ABC＝∠ACB＝70°，∴∠PBC＝∠ABP＋∠ABC＝70°＋40°＝110°；(2)如图②，∵AP＝BC，BP＝AC，AB＝BA，∴△BAP≌△ABC，∴∠PBA＝∠BAC＝40°，∴∠PBC＝∠ABC－∠PBA＝70°－40°＝30°.综上所述，∠PBC的度数为30°或110°.11．[答案]∶2[解析]连接OA，OF，由题意，∠MON＝∠DEF＝120°，△AOF为等边三角形．设AF＝2a＝DE，则AM＝MF＝a，∴OM＝a.∵2πr1＝，2πr2＝，∴r1∶r2＝∶2.12．[解析](1)首先连接OD，根据OA＝OD，AD平分∠BAC可得∠CAD＝∠ODA，进而得出AE∥OD，然后根据DE是⊙O的切线可得∠ODE＝90°，进而得出结论；(2)过点D作DM⊥AB交于点M，连接CD，DB，根据AD平分∠BAC可得△DAE≌△DAM，进而得出AE＝AM，根据AD平分∠BAC可得CD＝BD，进而得出Rt△DEC≌Rt△DMB，则CE＝BM，即可得出结论．11\n解：证明：(1)连接OD，∵OA＝OD，AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠ODA，∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴AE∥OD.∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE⊥AE.(2)过点D作DM⊥AB交于点M，连接CD，DB.∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠MAD.又∵DE⊥AE，DM⊥AB，∴DE＝DM.又∵∠AED＝∠AMD＝90°，∴△DAE≌△DAM，∴AE＝AM.∵∠EAD＝∠MAD，∴＝，∴CD＝BD.又∵DE＝DM，∴Rt△DEC≌Rt△DMB，∴CE＝BM，∴AE＋CE＝AM＋BM，即AE＋CE＝AB.13．解：(1)证明：由折叠的性质可知，△ADE≌△ADC，∴∠AED＝∠ACD，AE＝AC.又∵∠ABD＝∠AED，∴∠ABD＝∠ACD，∴AB＝AC，∴AE＝AB.(2)如图，过点A作AH⊥BE于点H，∵AB＝AE，BE＝2，∴BH＝EH＝1.∵∠ABE＝∠AEB＝∠ADB，cos∠ADB＝，∴cos∠ABE＝cos∠ADB＝，∴＝，∴AC＝AB＝3.∵∠BAC＝90°，∴BC＝3.14．解：(1)证明：过点O作OE⊥AB于点E，∵AD⊥BO于点D，∴∠D＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∠AOD＋∠OAD＝90°.∵∠AOD＝∠BAD，11\n∴∠ABD＝∠OAD.又∵BC为⊙O的切线，∴AC⊥BC，∴∠BOC＝∠D＝90°.又∵∠BOC＝∠AOD，∴∠OBC＝∠OAD＝∠ABD.又∵OC⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OC，即OE为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．(2)∵∠ABC＋∠BAC＝90°，∠EOA＋∠BAC＝90°，∴∠EOA＝∠ABC.∵在Rt△ABC中，tan∠ABC＝，BC＝6，∴AC＝BC·tan∠ABC＝8，由勾股定理，得AB＝10.易证△BOC≌△BOE，∴BE＝BC＝6，∴AE＝4.∵tan∠EOA＝tan∠ABC＝，∴＝，∴OE＝3，∴OB＝＝3.∵∠OBC＝∠ABD，∠ACB＝∠D＝90°，∴△OBC∽△ABD，∴＝，即＝，∴AD＝2.15．解：(1)证明：过点O作OF⊥AC，垂足为F，连接OD，OA.∵△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点，∴OA既是△ABC的高线，又是∠BAC的平分线．∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB.又∵OF⊥AC，∴OF＝OD，即OF是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．(2)设OD＝OE＝x，则OB＝x＋1，在Rt△BOD中，由勾股定理，得(x＋1)2＝x2＋()2，解得x＝1，即OD＝OF＝1.∵tan∠BOD＝＝，∴∠BOD＝60°，∴∠AOD＝90°－∠BOD＝30°，∴AD＝AF＝OD·tan∠AOD＝，∴S阴影＝S四边形ADOF－S扇形DOF＝2×AD·OD－π×12＝－＝.16．解：(1)证明：连接OC，如图，∵直线DE与⊙O相切于点C，∴OC⊥DE.又∵AD⊥DE，∴OC∥AD，∴∠1＝∠3.∵OA＝OC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AC平分∠DAE.11\n(2)①∵DE⊥AD，OC⊥DE，∴OC∥AD，∴∠COE＝∠FAB，又∵∠FAB＝∠M，∴∠COE＝∠M.设⊙O的半径为r，在Rt△OCE中，cos∠COE＝＝，即＝，解得r＝4，即⊙O的半径为4.②连接BF，如图，∵AB是直径，∠AFB＝90°.又∵DE⊥AD，∴BF∥DE.∴在Rt△AFB中，cos∠FAB＝，∴AF＝8×＝.在Rt△OCE中，OE＝5，OC＝4，∴CE＝3.∵AB⊥FM，∴＝，∴∠5＝∠4.∵BF∥DE，∴∠5＝∠E＝∠4.又∵∠1＝∠2，∴△AFN∽△AEC，∴＝，即＝，∴FN＝.11
