【中考12年】江苏省扬州市2001-2022年中考数学试题分类 专题12 押轴题

江苏省扬州市2022-2022年中考数学试题分类专题12押轴题一、选择题1.（2022年江苏扬州3分）已知：点P到直线L的距离为3，以点P为圆心，r为半径画圆，如果圆上有且只有两点到直线L的距离均为2，则半径r的取值范围是【】A．r>1B．r>2C．2<r<2D．1<r<5　　A．S1≥2S2　　　　B．S1≤2S2C．S1＞2S2　　　　D．S1＜2S2【答案】A。【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，代数式的大小比较。【分析】根据题意，易得△AGF∽△ABC，△BDG∽△BMA，再将△ABC的面积S1表示出来，再将正方形DEFG的面积表示出来，利用S1－2S2进行比较：过点A作BC上的高AM交BC于点M，交GF于点N，59\n3.（2022年江苏扬州3分）某年的某个月份中有5个星期三，它们的日期之和为80（把日期作为一个数，例如把22日看作22），那么这个月的3号是星期【】A．日B．一C．二D．四【答案】D。【考点】一元一次方程的应用。【分析】根据它们的日期之和为80，列方程计算：设第一个星期三为x号，依题意得：，解得x=2，即这个月第一个星期三是2号，∴这个月的3号是星期四。选择D。4.（2022年江苏扬州大纲卷3分）若方程有增根，则它的增根是【】．A．0B．1C．－1D．1和－1【答案】B。【考点】分式方程的增根。59\n【分析】分式方程的增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，有增根，那么最简公分母，所以增根可能是x=1或－1：方程两边都乘得，。由最简公分母，可知增根可能是x=1或－1。当x=1时，m=3；当x=－1时，得到6=0，这是不可能的。所以增根只能是x=1。故选B。5.（2022年江苏扬州课标卷3分）小明家有一个10m×12m的矩形院子，中央已有一个半径为3m的圆形花圃（其圆心是矩形对角线交点），现欲建一个半径为1.2m且与花圃相外切的圆形水池，使得建成后的院子、花圃、水池构成的平面图形是一个轴对称图形．符合上述条件的水池的位置有【】A．1个B．2个C．4个D．无数个【答案】B。【考点】图形设计（轴对称），分类思想的应用。【分析】花圃建后整个图形还是轴对称图形，再建一个圆形喷水池后要使整个图形仍然是轴对称图形，喷水池的位置只能是建在花圃与矩形四边最靠近的地方，共有四种选择，但要考虑半径的大小，因为花圃半径4米，矩形宽15米，所以花圃与矩形长边的最小距离是3.5米，与短边的最小距离是11米，故要建半径2米的喷水池的位置只有2个。故选B。6.（2022年江苏扬州3分）观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a、b、c的值分别为【】A．20、29、30B．18、30、26C．18、20、26D．18、30、2859\n7.（2022年江苏扬州3分）有一列数：a1、a2、a3、…an，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1=2，则a2022为【】Ａ．2022Ｂ．2Ｃ．Ｄ．【答案】D。【考点】探索规律题（数字的变化类－循环问题）。【分析】寻找规律：根据题意，得：a1=2，，，∴该数列为2，，－1，2，，－1，……，即是周期为3的数列。∵2022÷3=669，∴a2022=a3=－1。故选D。8.（2022年江苏扬州3分）若关于x的一元二次方程的两根中有且仅有一根在0与1之间（不含0和1），则a的取值范围是【】A、B、C、D、59\n9.（2022年江苏省3分）下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：；第2个数：；第3个数：；……第个数：．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是【】A．第10个数B．第11个数C．第12个数D．第13个数【答案】A。【考点】分类归纳（数字的变化类）。59\n10.（2022年江苏扬州3分）电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB＝6，AC＝7，BC＝8．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0＝2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1＝CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第2次落点）处，且AP2＝AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第3次落点）处，且BP3＝BP2；……；跳蚤按上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2022与P2022之间的距离为【】A．1B．2C．3D．459\n11.（2022年江苏扬州3分）如图，在中，．将绕点按顺时针方向旋转度后得到，此时点在边上，斜边交边于点，则的大小和图中阴影部分的面积分别为【】A．　　　　B．C．　　　　　D．【答案】C。【考点】旋转的性质，含300角的直角三角形的的性质，三角形中位线性质，相似三角形的判定和性质。【分析】∵在中，，∴，。很易证出，59\n∴。故选C。12.（2022年江苏扬州3分）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，…若m3分裂后，其中有一个奇数是2022，则m的值是【】A．43B．44C．45D．46二、填空题1.（2022年江苏扬州4分）边长为2cm的正六边形的外接圆半径是▲cm,内切圆半径是▲cm（结果保留根号）【答案】2；。【考点】正多边形和圆，正三角形的性质。【分析】长为a的正六边形可以分成六个边长为a的正三角形，而正六边形的外接圆半径为a，内切圆的半径即为每个边长为a的正三角形的高，∴边长为2cm的正六边形的外接圆半径是2cm；内切圆的半径等于（cm）。2.（2022年江苏扬州3分）规定一种新的运算：.如,.请比较大小：▲.(填“＜”，“＝”或“＞”)59\n3.（2022年江苏扬州4分）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少了一个面，请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．（添加的正方形用阴影表示）．4.（2022年江苏扬州大纲卷3分）国卫公司办公大楼前有一个15m×30m的矩形广场，广场中央已建成一个半径为4m的圆形花圃（其圆心与矩形对角线的交点重合）。现欲建一个半径为2米与花铺相外切的圆形喷水池，使得建成后的广场、花铺和喷水池构成的平面图形是一个轴对称图形。则符合条件的喷水池的位置有▲个。59\n5.（2022年江苏扬州课标卷4分）二次函数（a≠0）的部分对应值如下表，则不等式＞0的解集为▲．x－3－2－101234y60－4－6－6－4066.（2022年江苏扬州4分）放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考你．图⑴、图⑵分别表示你和我的工作量与工作时间的关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了▲千克．”【答案】20。【考点】正比例函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】两个图都是正比例函数，可设图1的解析式为：y1=k1t，把（1，8）代入得k1=8，∴y1=8t。∵小明加工了28千克，∴y1=8t，解得t=3.5。同理设图2的解析式为：y2=k2t，把（7，40）代入得40=7k2，即，∴。∵他们用的时间是相等的，∴当t=3.5时，y2=20。59\n∴小丽现在加工了20千克。7.（2022年江苏扬州4分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，则∠D=▲°．8.（2022年江苏扬州3分）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值为48，我们发现第一次得到的结果为24，第2次得到的结果为12，……，请你探索第2022次得到的结果为▲。【答案】8。【考点】探索规律题（数字的变化类——循环问题）。【分析】程序中有两种运算方式，反复输入时要根据输入数的奇偶性，转换计算方式，总结出规律：按照程序：输入次数输入数输出数输入次数输入数输出数1482422412312646353868474282159\n91610631138128413421421可见，输出数自第三个数开始每6个数循环一次，则∵，∴第2022次得到的结果与第3+2＝5次得到的结果一致辞。∴第2022次得到的结果为8。9.（2022年江苏省3分）如图，已知是梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为，则梯形ABCD的面积为▲cm2．【答案】16。【考点】梯形中位线定理【分析】根据已知△DEF的高为梯形高的一半，从而根据三角形的面积可求得中位线与高的乘积，即求得了梯形的面积：设梯形的高为h，∵EF是梯形ABCD的中位线，∴△DEF的高为。∵△DEF的面积为，∴。∴梯形ABCD的面积为。10.（2022年江苏扬州3分）如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为▲．59\n11.（2022年江苏扬州3分）如图，立方体的六个面上标着连续的整数，若相对的两个面上所标之数的和相等，则这六个数的和为▲．【答案】39。【考点】分类归纳。【分析】因这是6个连续整数，故必有数6。若6在4的对面，6＋4=10，5对面必须是5，与题意不符；若6在5的对面,6＋5=11，4对面必须是7，也与题意不符；若6在7的对面,6＋7=13，4对面是9，5对面是8，与题意相符。则这六个数的和为4＋5＋6＋7＋8＋9＝39。12.（2022年江苏扬州3分）如图，双曲线经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA＝2AN，△OAB的面积为5，则k的值是　▲　．59\n【答案】12。【考点】反比例函数综合题。【分析】如图，过A点作AC⊥x轴于点C，则AC∥NM，59\n三、解答题1.（2022年江苏扬州9分）如图，在平面直角坐标系中，以点A（－1，0）为圆心，AO为半径的圆交x轴负半轴于另一点B，点F在⊙A上，过点F的切线交y轴正半轴于点E，交x轴正半轴于点C，已知CF=（1）求点C的坐标；（2）求证：AE∥BF；（3）延长BF交y轴于点D，求点D的坐标及直线BD的解析式。【答案】解：（1）连接AF，59\n∵以点A（－1，0）为圆心，AO为半径的圆交x轴负半轴于另一点B，点F在⊙A上，过点F的切线交y轴正半轴于点E，交x轴正半轴于点C，∴OA=AB=AF=1，∠AFC=90°。∵CF=，∴由勾股定理得。∴OC=3－1=1=2。∴C（2，0）。（2）∵OA⊥OD，AO是半径，∴OD是⊙A的切线。∵EF是⊙A的切线，∴EF=EO。∵AE=AE，AF=AO，∴△AFE≌△AOE（SSS）。∴∠EAC=∠FAE=∠FAO。∵∠B=∠FAO，∴∠B=∠EAC。∴AE∥BF。（3）作FM⊥BC于M，则△AFM∽△ACF，∴，即。∴。∴。∴F。设直线BD为y=kx+b，则，解得。∴直线BD的解析式为。令x=0，则y=，∴D（0，）。【考点】一次函数综合题，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，平行的判定，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）因为以点A（－1，0）为圆心，AO为半径的圆交x轴负半轴于另一点B，点F在⊙A上，过点F的切线交y轴正半轴于点E，交x轴正半轴于点C，可连接AF，由切线的性质可得∠AFC=90°，因为，由勾股定理可求，进而求出C的坐标。59\n2.（2022年江苏扬州10分）用水清洗一堆青菜上残留下农药，对用水清洗一次的效果作如下规定：用1桶水可洗掉青菜上残留农药的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在青菜上。设用x桶的水清洗一次后，青菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为y。（1）试解释x=0时，y=1的实际意义；（2）设当x取x1,x2时对应的y值分别为y1，y2，如果x1>x2>1，试比较y1，y2,的大小关系（直接写出结论）；（3）设y=,现有a（a>0）桶水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案后青菜上残留的农药量比较少？说明理由。【答案】解：（1）x=0时，y=1的实际意义为：当不清洗时，农药的含量最大，看做是单位1。（2）根据题意可知x1＞x2＞1时，y1＜y2＜。（3）若是一次清洗，则：农药量；若分为两次清洗，则：第一次清洗后农药量，第二次清洗后农药的量是。59\n∵，∴当a＞时，；当a=时，；当a＜时，。∴当a＞时，平均分成两份清洗两次，青菜上农药题残留量比较少；当a＝时，清洗一次与平均清洗两次一样；当a＜时，清洗一次，青菜上农药题残留量比较少。3.（2022年江苏扬州8分）如图，直线与双曲线交于点A、E，直线AB交双曲线于另一点B，与x轴、y轴分别交于点C、D.且.直线EB交x轴于点F.（1）求A、B两点的坐标；（2）求证：△COD∽△CBF.【答案】解：（1）∵直线与y=2x双曲线相交于点A、E，∴，解得：，。∴A点坐标为：（－2，－4），E点坐标为：（2，4）。∵，即B点横坐标等于纵坐标的两倍，∴设B点坐标为：（2k，k）。59\n设直线EB的解析式为：，将E，B点代入得：，解得：。∴直线EB的解析式为：。∵当y=0，则x=6，∴F点坐标为：（6，0）。∴FC=4。又∵B点坐标为：（4，2），CO=2，∴MO=4，BM=2。∴CM=2，MF=2。∴BC=BF=。∵，∴△COD∽△CBF。59\n4.（2022年江苏扬州10分）已知点P是抛物线上的任意一点，记点P到x轴距离为d1，点P与点F（0，2）的距离为d2.（1）猜想d1，d2的大小关系，并证明之；（2）若直线PF交此抛物线于另一点Q(异于P点).①  试判断以PQ为直径的圆与与x轴的位置关系，并说明理由；②  以PQ为直径的圆与y轴的交点为A、B，若，求直线PQ对应的函数解析式.【答案】解：（1）猜想d1=d2。证明如下：设P（x1，）是抛物线上任一点，∴d1=。而，∴d1=d2。（2）① ∵直线PQ经过F（0，2），∴设直线PQ为。将P（x1，）代入，得，∴。∴直线PQ为。联立，解得或。∴Q。59\n设以PQ为直径的圆的圆心M（a，b），则。点M到x轴的距离为，圆M的半径。∴。∴以PQ为直径的圆与与x轴相切。（3）设以PQ为直径的圆M与x轴切于点E，则有，∴，E（±1，0）。∴M（±1，b）。∴，即。∴。∴直线PQ对应的函数解析式为。5.（2022年江苏扬州12分）如图，AB是半圆⊙O的直径，AC⊥AB，AB=2AC，BF⊥AB，在直径AB上任取一点P（不与端点A、B重合），过A、P、C三点的圆与⊙O相交于除点A以外的另一点D，连接AD并延长交射线BF于点E，连接DB、DP、DC．（1）求证：△ACD∽△BPD；59\n（2）求证：BE=2BP；（3）试问当点P在何位置时，DE=2AD．【答案】解：（1）证明：∵四边形APDC是小圆的内接四边形，∴∠BPD=∠C。∵CA⊥AB，EB⊥AB，∴CA∥BE。∴∠CAD=∠DEB。∵∠DEB+∠DBE=∠DBP+∠DBE=90°，∴∠DBP=∠BEB=∠CAD。∴△ACD∽△BPD。（2）证明：由（1）知∠BED=∠DBP,∵∠ADB=∠ABE，∴△ADB∽△ABE。∴。由（1）△ACD∽△BPD得。∴，即。∵AB=2AC，∴，即BE=2BP。（3）当DE=2AD时，根据射影定理可得，∴。由（2）BE=2BP得。根据射影定理可得出，∴。∴,即。∴当时，DE=2AD。59\n6.（2022年江苏扬州14分）如图，直角坐标系中，已知点A（3，0），B（t，0）（0＜t＜），以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点E是直线OC与正方形ABCD的外接圆除点C以外的另一个交点，连接AE与BC相交于点F．（1）求证：△OBC≌△FBA；（2）一抛物线经过O、F、A三点，试用t表示该抛物线的解析式；（3）设题（2）中抛物线的对称轴l与直线AF相交于点G，若G为△AOC的外心，试求出抛物线的解析式；（4）在题（3）的条件下，问在抛物线上是否存在点P，使该点关于直线AF的对称点在x轴上？若存在，请求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠OBC=∠FBA=90°，∴。∴∠BCE=∠BAE。∴△OBC≌△FBA（ASA）。59\n（2）由（1）易知：BF=OB=t，∴F（t，t）。∵A（3，0），∴设经过O、F、A三点抛物线的解析式为。将F（t，t）代入得：，∴。∴经过O、F、A三点抛物线的解析式为，即。（3）易知：C（t，3－t）。∵，∴设G点坐标为。∵G为△AOC的外心，∴GC=OG。∴根据勾股定理，得，解得。∴设直线AF的解析式为，将点A，F的坐标代入，得：，解得：。∴直线AF的解析式为。∵直线AF过G点，∴当x=时，，解得。∵0＜t＜，∴。∴抛物线的解析式为。（4）存在。由（3）知，BF=，59\n∴。∴AF是∠CBA的角平分线。∴若存在P点，则P点必为直线AC与抛物线的交点。易知：直线AC的解析式为：。则有，解得，。∴存在P点，其坐标为。（2）本题的关键是求出F的坐标，根据（1）的全等三角形可得出OB=BF=t，由此可得出F的坐标，然后代入抛物线中即可用待定系数法求出抛物线的解析式。7.（2022年江苏扬州大纲卷12分）已知：抛物线的图象经过点（1，0），一条直线，它们的系数之间满足如下关系：。（1）求证：抛物线与直线一定有两个不同的交点；（2）设抛物线与直线的两个交点为A、B，过A、B分别作轴的垂线，垂足分别为A1、B159\n。令，试问：是否存在实数，使线段A1B1的长为。如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由。【答案】解：（1）∵抛物线的图象经过点（1，0），∴。∵a＞b＞c，∴a+b＞0，a＞0，c＜0。由得，即。∴△＞0。∴抛物线与直线一定有两个不同的交点。（2）存在。设点A，B的横坐标分别为x1，x2，∵，∴。根据题意得：，∴，即。解得k=8或k=－4。∵a＞0，c＜0，∴k＜0。∴k=－4。∴当k=－4时，使线段A1B1的长为。8.（2022年江苏扬州大纲卷14分）59\n如图1，AB是⊙O的直径，射线BM⊥AB，垂足为B，点C为射线BM上的一个动点（C与B不重合），连结AC交⊙O于D，过点D作⊙O的切线交BC于E。（1）在C点运动过程中，当DE∥AB时（如图2），求∠ACB的度数；（2）在C点运动过程中，试比较线段CE与BE的大小，并说明理由；（3）∠ACB在什么范围内变化时，线段DC上存在点G，满足条件（请写出推理过程）。【答案】解：（1）如图：当DE∥AB时，连接OD，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE。∵DE∥AB，∴OD⊥AB。又∵OD=OA，∴∠A=45°。又∵BM⊥AB，∴∠OBE=90°。∴在Rt△ABC中，∠ACB=45°。（2）如图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=∠BDC=90°。∴∠ACB+∠CBD=90°，∠EDB+∠CDE=90°。又∵BM⊥AB，AB是⊙O的直径，∴MB是⊙O的切线。又∵DE是⊙O的切线，∴∠CBD=∠EDB。∴∠ACB=∠CDE。∴EC=ED=EC。∴BE=EC。59\n（2）证CE、DE是否相等，即求∠ECD和∠EDC是否相等；连接BD，由切线长定理知△EDB是等腰三角形，即∠EDB=∠EBD；在Rt△CDB中，可发现∠ECD和∠EDC是等角的余角，由此得证。（3）由（2）的结论易知：DE是Rt△CDB斜边上的中线，即BC=2DE，将此关系式代入所求证的结论中，可得DE2=DG•DC；由此可证得△DEG∽△DCE，即∠DEG=∠ACB；进而可根据∠DGE和∠ACB的大小关系以及三角形内角和定理，求出∠ACB的取值范围。9.（2022年江苏扬州课标卷12分）为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校．奖金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校．（1）请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；（2）设第k所民办学校所得到的奖金为ak元（1≤k≤n），试用k、n和b表示ak（不必证明）；（3）比较ak和ak+1的大小（k=1，2，…，n-1），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义．59\n【考点】列代数式，探索规律题（数字的变化类），代数式的大小比较。【分析】（1）第2所民办学校得到的奖金为：（总资金－第一所学校得到的奖金）÷n；第3所民办学校得到的奖金为：（总资金－第一所学校得到的奖金－第2所民办学校得到的奖金）÷n。（2）由（1）得k所民办学校所得到的奖金为。（3）作差进行比较即可。10.（2022年江苏扬州课标卷14分）等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．59\n【答案】解：（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°。∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，∴∠BPE+∠BEP=150°。又∵∠EPF=30°，且∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，∴∠BPE+∠CPF=150°。∴∠BEP=∠CPF。∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）。（2）①△BPE∽△CFP。②△BPE与△PFE相似。理由如下：同（1），可证△BPE∽△CFP，得。∵CP=BP，∴，即。又∵∠EBP=∠EPF，∴△BPE∽△PFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。③由②得△BPE∽△PFE，∴∠BEP=∠PEF。分别过点P作PM⊥BE，PN⊥EF，垂足分别为M、N，则PM=PN，连接AP，在Rt△ABP中，由∠B=30°，AB=8，可得AP=4。∴PM=。∴PN=。∴。59\n11.（2022年江苏扬州12分）我市某企业生产的一批产品上市后40天内全部售完，该企业对这一批产品上市后每天的销售情况进行了跟踪调查．表一、表二分别是国内、国外市场的日销售量、（万件）与时间t（t为整数,单位：天）的部分对应值．表一：国内市场的日销售情况时间t（天）012102030383940日销售量（万件）05.8511.445604511.45.850表二：国外市场的日销售情况时间t（天）01232529303132333940日销售量（万件）024650586054484260（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示与t的变化规律，写出与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（2）分别探求该产品在国外市场上市30天前与30天后（含30天）的日销售量与时间t所符合的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；（3）设国内、外市场的日销售总量为y万件，写出y与时间t的函数关系式．试用所得函数关系式判断上市后第几天国内、外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值．59\n当30≤t≤400时，设函数的解析式为：，把（30，60），（40，0）代入得：，解得：∴。将其它各点分别代入检验，适合，∴与t的函数关系式为（3）当0≤t＜30时，，∴当t=时，即第27天时最大，最大值为106件。当30≤t≤40时，随t的增大而减小∴当t=30时最大，最大值为105件。综上所述，上市后第27天时国内、外市场日销售量最大，最大值为106件。59\n12.（2022年江苏扬州14分）图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB=6，AC=3．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3），当点B滑动至与点O重合时运动结束．（1）试说明在运动过程中，原点O始终在⊙G上；（2）设点C的坐标为（x，y），试探求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在整个运动过程中，点C运动的路程是多少？【答案】解：（1）∵直径所对的圆周角等于90°，∠AOB=90°，∴原点O始终在⊙G上。（2）运动过程中，弧AC的长保持不变，弧AC所对应的圆周角∠AOC保持不变，等于∠xOC，由图2可知，∠xOC=30°，，自变量x的取值范围是。（3）如图1，连接OG，59\n∵∠AOB是直角，G为AB中点，∴GO=AB=半径。∴原点O始终在⊙G上。∵∠ACB=90°，AB=6，AC=3，∴BC=。连接OC．则∠AOC=∠ABC，∴。∴点C在与x轴夹角为∠AOC的射线上运动。如图2，；如图3，。∴总路径为：。【考点】动点问题，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。【分析】（1）因为OG始终是⊙G的半径，所以原点O始终在⊙G上。（2）运动过程中，弧AC的长保持不变，弧AC所对应的圆周角∠AOC保持不变，等于∠xOC，∠xOC=30°，．自变量x的取值范围是。（3）利用勾股定理可求得，点C运动的路程总路径为：。59\n13.（2022年江苏扬州12分）连接上海市区到浦东国际机场的磁悬浮轨道全长约为，列车走完全程包含启动加速、匀速运行、制动减速三个阶段．已知磁悬浮列车从启动加速到稳定匀速动行共需200秒，在这段时间内记录下下列数据：时间t（秒）050100150200速度v（米／秒）0306090120路程s（米）07503000675012000（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中选择合适的函数来分别表示在加速阶段（）速度v与时间t的函数关系、路程s与时间t的函数关系．（2）最新研究表明，此种列车的稳定动行速度可达180米／秒，为了检测稳定运行时各项指标，在列车达到这一速度后至少要运行100秒，才能收集全相关数据．若在加速过程中路程、速度随时间的变化关系仍然满足（1）中的函数关系式，并且制作减速所需路程与启动加速的路程相同．根据以上要求，至少还要再建多长轨道就能满足试验检测要求？（3）若减速过程与加速过程完全相反．根据对问题（2）的研究，直接写出列车在试验检测过程中从启动到停车这段时间内，列车离开起点的距离y（米）与时间t（秒）的函数关系式（不需要写出过程）【答案】解：（1）通过寻找规律，知v与t是一次函数关系，设函数关系式为，将（0，0），（50，30）代入，得：，解得：。∴。将其它各点代入检验，适合。∴速度v与时间t的函数关系为（）。通过寻找规律，知s与t是二次函数关系，设函数关系式为，将（0，0），（50，750），（100，3000）代入，得：，解得：。59\n∴。将其它各点代入检验，适合。∴路程s与时间t的函数关系为（）。又180×100=18000米=18千米，∵减速所需路程和启动加速路程相同，∴总路程为27×2+18=72。∴还需建72－30=42千米。（3）当0≤t≤300时，；当300＜t≤400时，；当400＜t≤700时，。59\n14.（2022年江苏扬州14分）如图，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a＞3）．动点M，N同时从B点出发，分别沿B⇒A，B⇒C运动，速度是1厘米/秒．过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q．当点N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒．（1）若a=4厘米，t=1秒，则PM=厘米；（2）若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）。（2）要使△PNB∽△PAD，则。∵PM⊥AB，CB⊥AB，∴QM∥CB。∴。∴。∵AD=3，AB=5，BM=BN=t，∴AM=5－t。∴，解得：t=2。∴。∴当t=2时，△PNB∽△PAD，相似比为。（3）∵PM⊥AB，CB⊥AB，∴∠AMP=∠ABC。∵∠PAM=∠NAB，∴△AMP∽△ABN。∴，即。59\n∴。∴。∵a≠0，∴，解得（舍去负值）。∴。∴存在a，当时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等。【考点】梯形和矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解不等式和方程。59\n15.（2022年江苏扬州12分）红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：时间t（天）1361036…日销售量m（件）9490847624…未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数）。下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a<4）给希望工程。公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围。【答案】解：（1）设一次函数为，将（1，94），（3，90）代入，得，解得。59\n∴。经检验，其它点的坐标均适合以上解析式。∴所求函数解析式为（且t为整数）。（3），对称轴为t=。∵1≤t≤20，∴当t≤2a+14时，P随t的增大而增大。又每天扣除捐赠后的日利润随时间t的增大而增大，∴20≤2a+14，解得：a≥3。 又∵a＜4，∴3≤a＜4。59\n16.（2022年江苏扬州14分）已知：矩形ABCD中，AB=1，点M在对角线AC上，直线l过点M且与AC垂直，与AD相交于点E。（1）如果直线l与边BC相交于点H（如图1），AM=AC且AD=a，求AE的长；（用含a的代数式表示）（2）在（1）中，又直线l把矩形分成的两部分面积比为2：5，求a的值；（3）若AM=AC，且直线l经过点B（如图2），求AD的长；（4）如果直线l分别与边AD、AB相交于点E、F，AM=AC。设AD长为x，△AEF的面积为y，求y与x的函数关系式，并指出x的取值范围。（求x的取值范围可不写过程）【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB=1，∴CD=AB=1，∠D=900。又∵AD=a，∴在Rt△ACD中，根据勾股定理有：。∵∠AME=∠D=90°，∠EAM=∠CAD，∴△AME∽△ADC。∴。∴。∵AM=AC，∴。59\n（3）∵AE∥BC，∴△AEM∽△CBM。∴。∵，即。∴。设AE=m，则BC=3m，。∵△AME∽△ADC，∴。∵AM=AC，AD=BC，∴。解得，。∴AD=BC=3m=。（4）由题意可知：。∵△AEM∽△ACD，∴。59\n∴。同理可得：，∴。∴。∴y与x的函数关系式为。17.（2022年江苏省12分）某加油站五月份营销一种油品的销售利润（万元）与销售量（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量为多少时，销售利润为4万元；（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；59\n（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）【答案】解：（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为（万升）。答：销售量为4万升时销售利润为4万元。（2）∵点A的坐标为，从13日到15日利润为（万元），∴销售量为（万升）。∴点B的坐标为。设线段AB所对应的函数关系式为，则，解得。∴线段所对应的函数关系式为。∵从15日到31日销售5万升，利润为（万元），∴本月销售该油品的利润为（万元）。∴点C的坐标为。设线段所对应的函数关系式为，则，解得。∴线段BC所对应的函数关系式为。（3）线段AB。59\n18.（2022年江苏省12分）如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D（3，0）和点E（0，4）．动点C从点M（5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为t秒．（1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标；（2）以点C为圆心、t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB．①当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围；②当△PAB为等腰三角形时，求t的值．【答案】解：（1）∵OM=5，，∴。∴。过点P作PH⊥轴于点H，∵，，∴OD=3，OE=4，DE=5。又∵，且，59\n∴，即。∴。∴。∴。（2）①当的圆心C由点向左运动，使点A到点D时，有，即。当点C在点D左侧，与射线DE相切时，过点C作CF⊥射线DE，垂足为F，则由，得，则．解得。由，即，解得。∴当与射线DE有公共点时，的取值范围为。②（I）当PA=AB时，过P作PQ轴，垂足为Q，有。由（1）得，，，∴。又∵，∴，即。解得。（II）当PA=PB时，有，∴，解得。（III）当PB=AB时，有，∴，即。解得（不合题意，舍去）。综上所述，当是等腰三角形时，，或，或，或。59\n19.（2022年江苏扬州12分）我国青海省玉树地区发生强烈地震以后，国家立即启动救灾预案，积极展开向灾区运送救灾物资和对伤员的救治工作．已知西宁机场和玉树机场相距800千米，甲、乙两机沿同一航线各自从西宁、玉树出发，相向而行．如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两机离玉树机场的距离S（百千米）和所用去的时间t（小时）之间的函数关系的图象（注：为了方便计算，将平面直角坐标系中距离S的单位定为（百千米））．观察图象回答下列问题：（1）乙机在甲机出发后几小时，才从玉树机场出发？甲、乙两机的飞行速度每小时各为多少千米？（2）求甲、乙两机各自的S与t的函数关系式；（3）甲、乙两机相遇时，乙机飞行了几小时？离西宁机场多少千米？【答案】解：（1）由图中可看出，乙机在甲机出发后1小时才从玉树机场出发。59\n甲机飞行速度（千米/时）；乙机飞行速度（千米/时）。（2）设甲机的S与t的函数关系式为，则由图得，解得：。∴甲机的S与t的函数关系式为(0≤t≤5)。设乙机的S与t的函数关系式为，则由图得，解得：。∴乙机的S与t的函数关系式为(1≤t≤5)。（3）联立得。∵（小时），（百千米）（千米），∴甲、乙两机相遇时，乙机飞行了小时，离西宁机场千米。【考点】一次函数和二元一次方程组的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。20.（2022年江苏扬州12分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；59\n（2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．【答案】解：（1）∵在△ABC中，∠C＝90°，AC=3，BC=4，∴AB=5。∵，即，∴。在Rt△ACD中，根据勾股定理得：。（2）①当0＜x≤时，∵EF∥CD，∴△AEF∽△ADC。∴，即。∴。∴。当＜x＜5时，易得△BEF∽△BDC，同理可求得。∴。综上所述，y与x的函数关系式为。②当0＜x≤时，y随时x的增大而增大，，∴当0＜x≤时，y的最大值为。当＜x＜5时，，59\n∵＜0，∴当x=时，y的最大值为。∵＜，∴当x=时，y取最大值为。21.（2022年江苏扬州12分）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：59\n（1）图2中折线ABC表示________槽中水的深度与注水时间的关系，线段DE表示_______槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点B的纵坐标表示的实际意义是________________________________；（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；（4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，求甲槽底面积（壁厚不计）．（直接写出结果）【答案】解：（1）乙，甲，铁块的高度为14cm。（2）设线段DE的函数关系式为则，解得。∴DE的函数关系式为。设线段AB的函数关系式为，则，解得。∴AB的函数关系式为。由题意得，解得。∴注水2分钟时，甲、乙两水槽中水的深度相同。（3）∵水由甲槽匀速注入乙槽，∴乙槽前4分钟注入水的体积是后2分钟的2倍。设乙槽底面积与铁块底面积之差为S，则。解得∴铁块底面积为。∴铁块的体积为。（4）甲槽底面积为。59\n22.（2022年江苏扬州12分）在△ABC中，∠BAC＝900，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动．同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP，设运动时间为秒（）．（1）△PBM与△QNM相似吗？以图１为例说明理由；（2）若∠ABC＝600，AB＝4厘米．①求动点Q的运动速度；②设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与的函数关系式；（3）探求三者之间的数量关系，以图１为例说明理由．59\n（2）∵，∴cm。又∵MN垂直平分BC，∴cm。∵，∴＝4cm。①设Q点的运动速度为cm/s，当时，如图１，由（1）知△PBM∽△QNM，∴，即。∴。当时，如图2，同样可证△PBM∽△QNM，得到。综上所述，Q点运动速度为1cm/s．②∵AB＝4cm，cm，∴由勾股定理可得，AC＝12cm。∴AN＝AC－NC＝12－8＝4cm∴当时，如图1，AP＝，AQ＝。∴。当时，如图2，AP＝,AQ＝,∴。59\n综上所述，。（3）.。理由如下：如图3，延长QM至D，使MD＝MQ，连结BD、PD。∵MQ⊥MP，MD＝MQ，∴PQ＝PD。又∵MD＝MQ，∠BMD＝∠CMQ，BM＝CM，∴△BDM≌△CQM（SAS）。∴BD＝CQ，∠MBD＝∠C。∴BD∥AC。又∵，∴。∴在中，，即。【考点】动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，列函数关系式，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）可以证明两个三角形中的两个角对应相等，则两个三角形一定相似。（2）①由于∠ABC＝600，AB＝4厘米，点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动，故点P从点B出发沿射线BA到达点A的时间为4秒，从而应分两种情况和分别讨论。②分两种情况和，把AP和BP分别用的关系式表示，求出面积即可。23.（2022年江苏扬州12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．59\n【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c，∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）。又∵C(0，3)经过抛物线，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=－1。∴抛物线的解析式为y＝－（x＋1）（x－3），即y＝－x2＋2x＋3。（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P。则此时的点P，使△PAC的周长最小。设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将B(3，0)，C(0，3)代入，得：，解得：。∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3。当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)。（3）存在。点M的坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)。59\n24.（2022年江苏扬州12分）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．(1)①直接写出点E的坐标：　　．②求证：AG＝CH．(2)如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．(3)在(2)的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．59\n【答案】解：（1）①(1，)。②证明：∵四边形OABC是矩形，∴CE＝AE，BC∥OA。∴∠HCE＝∠GAE。∵在△CHE和△AGE中，∠HCE＝∠GAE，CE＝AE，∠HEC＝∠GEA，∴△CHE≌△AGE（ASA）。∴AG＝CH。（2）连接DE并延长DE交CB于M，连接AC，则由矩形的性质，点E在AC上。∵DD＝OC＝1＝OA，∴D是OA的中点。∵在△CME和△ADE中，∠MCE＝∠DAE，CE＝AE，∠MEC＝∠DEA，∴△CME≌△ADE（ASA）。∴CM＝AD＝2－1＝1。∵BC∥OA，∠COD＝90°，∴四边形CMDO是矩形。∴MD⊥OD，MD⊥CB。∴MD切⊙O于D。∵HG切⊙O于F，E(1，)，∴可设CH＝HF＝x，FE＝ED＝＝ME。在Rt△MHE中，有MH2＋ME2＝HE2，即(1－x)2＋()2＝(＋x)2，解得x＝。∴H(，1)，OG＝2－。∴G(，0)。设直线GH的解析式是：y＝kx＋b，把G、H的坐标代入得：，解得：。59\n∴直线GH的函数关系式为。过P做PN⊥GA，垂足为N，则△GPN∽△GBA。∴。设半径为r，则，解得。答：⊙P的半径是．【考点】一次函数综合题，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，切线的判定和性质，勾股定理，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，角平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质。59\n59