2013年高考数学总复习第二章第4课时函数的奇偶性与周期性课时闯关（含解析）新人教版一、选择题1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A．y＝－log2x(x>0) B．y＝x3＋x(x∈R)C．y＝3x(x∈R)D．y＝－(x∈R，x≠0)答案：B2．(2011·高考上海卷)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A．y＝x－2 B．y＝x－1C．y＝x2D．y＝x解析：选A.∵y＝x－1和y＝x都是奇函数，故B、D错误．又y＝x2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C错误．y＝x－2＝在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A满足题意．3．对于定义在R上的任何奇函数，均有( )A．f(x)·f(－x)≤0B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)＞0D．f(x)－f(－x)＞0解析：选A.∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0.4．(2011·高考广东卷)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数解析：选A.由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)，故|g(x)|为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．5.定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是( )A．y＝x2＋1B．y＝|x|＋1C．y＝D．y＝解析：选C.利用偶函数的对称性知f(x)在(－2,0)上为减函数．又y＝在(－2,0)上为增函数．故选C.二、填空题6．(2010·高考江苏卷)设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．3\n解析：因为f(x)是偶函数，所以恒有f(－x)＝f(x)，即－x(e－x＋aex)＝x(ex＋ae－x)，化简得x(e－x＋ex)(a＋1)＝0.因为上式对任意实数x都成立，所以a＝－1.答案：－17．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.解析：∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝＋1，∴当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，即x＜0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.答案：－－18．(2012·大连质检)设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋3)·f(x)＝－1，f(－1)＝2，则f(2011)＝________.解析：由已知f(x＋3)＝－，∴f(x＋6)＝－＝f(x)，∴f(x)的周期为6.∴f(2011)＝f(335×6＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－2.答案：－2三、解答题9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝解：(1)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f(－1)＝f(1)＝0.∴f(－1)＝f(1)且f(－1)＝－f(1)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)①当x＝0时，－x＝0，f(x)＝f(0)＝0，f(－x)＝f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．②当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)．③当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝－(－x2－2x－3)＝－f(x)．由①②③可知，当x∈R时，都有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．10．已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(图略)知所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．11．(探究选做)定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．②当x>0时，f(x)<0.3\n(1)求证：f(0)＝0；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)判断函数f(x)的单调性．解：(1)证明：依题意，令x＝0，y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)．即2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.(2)∵f(x)的定义域为R，∴令y＝－x，代入f(x＋y)＝f(x)＋f(y)得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝0.∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(3)任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，即f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)．∵当x>0时，f(x)<0，而x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0，∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)．∴f(x)是R上的减函数．3
