2021年高考数学模拟测试卷一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则=（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出集合后可得它们的交集.【详解】，，故.故选：B.【点睛】本题考查集合的交运算以及一元一次不等式、一元二次不等式的解，考虑集合运算时，要认清集合中元素的含义，如表示函数的定义域，而表示函数的值域，表示函数的图象.2.已知复数满足（为虚数单位），则=（）A.B.2C.D.3【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法计算可得，再利用复数的模的计算公式可得.【详解】因为，故，故，故选：C.【点睛】本题考查复数的乘法和除法以及复数的模，注意复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数，本题属于基础题.\n3.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的单调性和指数函数的单调性可得三者之间的大小关系.【详解】因为为增函数，且，故，又为增函数，且，故，又为增函数，且，故，故.故选：D【点睛】本题考查指数幂、对数式的大小关系，此类问题的关键是根据底数的形式构建合理的单调函数，必要时还需利用中间数来传递大小关系.4.若圆P的半径为1，且圆心为坐标原点，过圆P上一点作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（）A.B.C.2D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析圆的圆心以及半径，由勾股定理分析可得，当最小时，最小，由点与圆的位置关系分析的最小值，计算可得答案．【详解】由题意可知，点在圆上，圆的圆心，半径过点作圆的切线，切点为，则当最小时，最小又由点在圆上，则的最小值为则的最小值为；\n故选：B．【点睛】本题主要考查了直线与圆位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于中档题．5.《九章算术》是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题.在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为多少？（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设每人分到的钱数构成的等差数列为，公差，由题意可得，，，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．【详解】解：设每人分到的钱数构成的等差数列为，公差，由题意可得，，，故，，解可得，，，故任意两人所得的最大差值．故选：B．【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式在实际问题中的应用，属于基础题．6.函数的图象大致为（）A.B.C.D.\n【答案】A【解析】【分析】利用，结合选项运用排除法得解．【详解】解：，可排除选项；故选：A．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用特征值的符号是否与选项对应是解决本题的关键．7.窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境.从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等.如图，在平面直角坐标系中，为正八边形的中心，轴，现用如下方法等可能地确定点：点满足（其中且，），则点（异于点）落在坐标轴上的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】写出所有可能结果，结合条件找到满足点（异于点）落在坐标轴上的结果，根据古典概率进行求解.【详解】由题意可知所有可能结果有：\n，共有28种；点（异于点）落在坐标轴上的结果有：，，共有8种；所以点（异于点）落在坐标轴上的概率为.故选：D.【点睛】本题主要考查古典概率的求解，求出所有基本事件及符合题意的基本事件是解题关键，侧重考查数学建模的核心素养.8.将函数的图象向右平移个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上的值域为，则范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意利用函数的图象变换规律，余弦函数的单调性，得出结论．【详解】解：将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象；再将各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象．若在上的值域为，此时，，，，求得，故选：A．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于基础题．\n二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合要求.9.已知，为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面，则（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】BC【解析】【分析】根据直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】若，，，则或异面，A错误；若，，则或，当时，因为，所以；当时，由结合线面垂直的性质得出，B正确；若，，则，又，则，C正确；若，，则，又，则或，D错误；故选：BC【点睛】本题考查了直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.10.某校计划在课外活动中新増攀岩项目，为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关，面向学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男女生人数相同，并绘制如下等高条形图，则（）参考公式：，.\n0.050.013.8416.635A.参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多B.参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多C.若参与调查的男女生人数均为100人，则有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关D.无论参与调查的男女生人数为多少，都有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关【答案】AC【解析】【分析】由于参加调查的男女生人数相同，则设为人，从而可求出男女生中喜欢攀岩的人数和不喜欢攀岩的人数，再代入公式中计算，可得结论.【详解】解：由题意设参加调查的男女生人数均为人，则喜欢攀岩不喜欢攀岩合计男生女生合计所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，A对B错；，当时，，所以当参与调查的男女生人数均为100人，则有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关，C对D错，故选：AC【点睛】此题考查了独立性检验，考查了计算能力，属于基础题.11.已知，是双曲线：的焦点，为左顶点，为坐标原点，\n是右支上一点，满足，，则（）A.的方程为B.的渐近线方程为C.过作斜率为的直线与的渐近线交于，两点，则的面积为D.若点是关于的渐近线的对称点，则为正三角形【答案】ABD【解析】【分析】由，，可得，，及，再由，，之间的关系求出，的值，进而求出双曲线的方程及渐近线的方程，可得，正确；求过作斜率为的直线方程，与的渐近线方程求出交点，的坐标，求出的值，再求到直线的距离，进而求出的面积可得不正确；求出关于渐近线的对称点的坐标，进而求出，，的值，可得为正三角形，所以正确．【详解】解：由，可得，即，由，可得，将代入双曲线的方程可得，由题意可得解得，，所以双曲线的方程为：，渐近线的方程：，所以，正确；中：过作斜率为的直线，则直线的方程为：，则解得：，，即，，\n则，解得：，，即，，所以，到直线的距离为，所以所以不正确；中：渐近线方程为，设，的关于渐近线的对称点，则解得：，，即，，所以，，，所以为正三角形，所以正确；故选：ABD．【点睛】本题考查由向量的关系线段的长度及位置关系，及点关于线的对称，和三角形的面积公式，属于中档题．12.已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当时，，则（）A.是周期为2的函数\nB.C.的值域为[-1，1]D.的图象与曲线在上有4个交点【答案】BCD【解析】【分析】对于A，由为R上的奇函数，为偶函数，得，则是周期为4的周期函数，可判断A；对于B，由是周期为4的周期函数，则，，可判断B．对于C，当时，，有，又由为R上的奇函数，则时，，可判断C．对于D，构造函数，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D．【详解】根据题意，对于A，为R上的奇函数，为偶函数，所以图象关于对称，即则是周期为4的周期函数，A错误；对于B，定义域为R的奇函数，则，是周期为4的周期函数，则；当时，，则，则，则；故B正确．对于C，当时，，此时有，又由为R上的奇函数，则时，，\n，函数关于对称，所以函数的值域．故C正确．对于D，，且时，，，，，是奇函数，，的周期为，，，，设，当，，设在恒成立，在单调递减，即在单调递减，且，存在，单调递增，单调递减，，所以在有唯一零点，在没有零点，即，的图象与曲线有1个交点，当时，，，\n则，，则，所以在上单调递增，且，所以存在唯一的，使得，所以，，在单调递减，，，在单调递增，又，所以，又，所以在上有一个唯一的零点，在上有唯一的零点，所以当时，的图象与曲线有2个交点，，当时，同，的图象与曲线有1个交点，当，的图象与曲线没有交点，所以的图象与曲线在上有4个交点，故D正确；故选：BCD．【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.三、填空题：13.展开式中的常数项是.【答案】【解析】【详解】试题分析：通项为，令，得，所以常数项为.考点：二项展开式系数【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略\n(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.14.已知向量，，且，则=________.【答案】【解析】【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解，然后利用二倍角公式求解即可．【详解】解：向量，，且，可得，，．故答案为：．【点睛】本题考查向量共线的充要条件，二倍角的余弦函数的应用，考查计算能力，属于基础题．15.已知椭圆的焦点分别为，，两条平行线：，：交椭圆于，，，四点，若以，，，为顶点的四边形面积为，则椭圆的离心率为________.【答案】【解析】【分析】直线的方程与椭圆的方程联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长，再求两条平行线间的距离，进而求出平行四边形的面积，再由题意可得，的关系，进而求出椭圆的离心率．\n【详解】解：设，，，，联立直线与椭圆的方程：，整理可得：，，，所以，直线，间的距离，所以平行四边形的面积，整理可得：，即，解得：，由椭圆的性质可得，离心率，故答案为：．【点睛】本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合，属于中档题．16.已知是边长为4的等边三角形，，分别是，的中点，将沿折起，使平面平面，则四棱锥外接球的表面积为________，若为四棱锥外接球表面上一点，则点到平面的最大距离为________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】由题意画出图形，找出四棱锥外接球的球心，利用勾股定理求半径，代入球的表面积公式求球的表面积，再由球的对称性可知，球表面上的点到平面距离的最大值为半径加球心到面的距离.\n【详解】解：如图，取的中点，连接，交于，可知，则为等腰梯形的外接圆的圆心，过作平面的垂线，再过折起后的的外心作平面的垂线，设两垂线的交点为，则为四棱锥外接球的球心，因为的边长为2，所以，所以四棱锥外接球的半径,所以四棱锥外接球的表面积为，由对称性可知，四棱锥外接球的表面上一点到平面的最大距离为：故答案为：；【点睛】此题考查空间中点、线在、面间的距离计算，考查空间想象能力，属于中档题.
