2021年高考数学模拟试题一、单项选择题1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合，再利用集合的交集运算即可得到结论．【详解】，，，故选：．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，考查了一元二次不等式的解法，比较基础．2.已知复数满足，为虚数单位，则等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】直接根据复数代数形式的除法法则计算可得；【详解】解：因为，所以故选：A【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.3.若向量，满足：，，，则（）A.2B.C.1D.【答案】B【解析】\n【分析】根据向量垂直数量积等于零即可求解.【详解】由，，则，解得，所以.故选：B【点睛】本题考查了向量垂直数量积的表示，求向量的模，属于基础题.4.已知抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，OF为菱形OBFC的一条对角线，另一条对角线BC的长为2，且点B，C在抛物线E上，则p=（）A.1B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】由题意，，在抛物线上，代入抛物线方程可得，即可求出的值．【详解】解：由题意，，在抛物线上，代入抛物线方程可得，，，故选：B．【点睛】本题考查抛物线的方程，考查学生的计算能力，属于基础题．5.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则“Sn＞nan对n≥2恒成立”是“a3＞a4”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式和前项和公式将等价转化为\n，将等价转化为，由此可得答案.【详解】设等差数列的公差为，当时，因为等价于等价于等价于等价于，等价于等价于，所以等价于，所以“”是“”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，考查了充分必要条件的概念，属于基础题.6.函数（且）的图象可能为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.7.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若实数满足\n，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合函数的解析式可得在区间，上为增函数，进而可得在上为增函数，且；据此可得，解可得的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，当，时，，则在区间，上为增函数，且，又由为奇函数，则在区间，上为增函数，且；故在上为增函数，，解可得：，即的取值范围为；故选：．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题．8.如图，在三棱锥A—BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】\n连接，取的中点，连接，根据异面直线所成角的定义，结合等腰三角形的性质、勾股定理、余弦定理进行求解即可.【详解】如图，连接，取的中点，连接，因为是中点，则，所以（或其补角）就是异面直线所成的角，因为AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别为AD，BC的中点，所以,因此有，同理，，，.故选：C【点睛】本题考查了求异面直线所成的角，关键是根据定义作出异面直线所成的角，即平移其中一条直线与另一条相交，通过解三角形求出相交直线的夹角，可得异面直线所成角，要注意异面直线所成角的范围是．二、多项选择题9.下列说法正确的是（）A.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一、二、三、四年级本科生人数之比为6：5：5：4，则应从一年级中抽取90名学生\nB.10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率为C.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得=3，=3．5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是=0.4x+2.3D.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件【答案】ABC【解析】【分析】根据分层抽样、概率、线性回归直线方程、互斥事件与对立事件的概念分别进行判断．【详解】A．由分层抽样，应制取人数为，A正确；B．恰好取到1件次品的概率为，B正确；C．∵，直线=0.4x+2.3过中心点，可能是回归直线方程，C正确；D．一红球一黑球这个事件即是至少有一个红球，也是至少有一个黑球，因此它们不互斥，D错误．故选：ABC．【点睛】本题考查命题的真假判断，解题时需掌握分层抽样、概率、线性回归直线方程、互斥事件与对立事件的概念等知识，要求较高，属于中档题．10.已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则 A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】根据题意，令，，对其求导分析可得，即函数\n为减函数，结合选项分析可得答案．【详解】解：根据题意，令，，则其导数，又由，且恒有，则有，即函数为减函数，又由，则有，即，分析可得；又由，则有，即，分析可得．故选：．【点睛】本题考查函数的单调性与函数导数的关系，注意构造函数，并借助导数分析其单调性，属于中档题．11.设函数g(x)=sinωx(ω＞0)向左平移个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（）A.f(x)的图象关于直线对称B.f(x)在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f(x)在(0，2π)上有且只有2个极小值点C.f(x)在上单调递增D.ω的取值范围是[)【答案】CD【解析】【分析】利用正弦函数的对称轴可知，不正确；由图可知在上还可能有3个极小值点，不正确；由解得的结果可知，正确；根据在上递增，且，可知正确.\n【详解】依题意得，，如图：对于，令，，得，，所以的图象关于直线对称，故不正确；对于，根据图象可知，，在有3个极大值点，在有2个或3个极小值点，故不正确，对于，因为，，所以，解得，所以正确；对于，因为，由图可知在上递增，因为，所以，所以在上单调递增，故正确；故选：CD.【点睛】本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.12.如图，在矩形ABCD中，M为BC的中点，将△AMB沿直线AM翻折成△AB1M，连接B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A.存在某个位置，使得CN⊥AB1B.CN的长是定值C.若AB=BM，则AM⊥B1DD.若AB=BM=1，当三棱锥B1－AMD的体积最大时，三棱锥B1－AMD的外接球的表面积是4π【答案】BD【解析】\n【分析】中，取中点，连接交与，由题意判断三线，，共面共点，得出不成立；中，利用余弦定理可得是定值，判断正确；中，取中点，连接，，由题意判断不成立；中，当三棱锥的体积最大时，求出该三棱锥外接球的表面积即可．【详解】解：对于：如图1，取中点，连接交与，则，，如果，可得到，又，且三线，，共面共点，不可能，则错误．对于：如图1，可得由（定值），（定值），（定值），由余弦定理可得，所以是定值，则正确．对于：如图2，取中点，连接，，由题意得面，即可得，从而，由题意不成立，可得错误．对于：当平面平面时，三棱锥的体积最大，由题意得中点就是三棱锥的外接球的球心，球半径为1，表面积是，则正确．故选：BD．\n【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，解题关键是正确理解线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，属于中档题．三、填空题13.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，如图是根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组中的人数为_________．【答案】【解析】【分析】由频率以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出总的人数，求出第三组的人数.【详解】由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，设总的人数为n,则所以第3小组的人数为人.故答案为18\n【点睛】本题主要考查频率分布直方图中频数、频率等的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.14.的展开式中x3的系数为_______．【答案】5【解析】【分析】利用二项式定理求解即可.【详解】的通项为令，此时系数为令，此时的系数为则的系数为故答案为：【点睛】本题主要考查了求指定项的系数，属于中档题.15.已知函数，则________．【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数解析式可得，进而计算得到答案.【详解】根据题意，当时，，所以，当时，，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查函数值的计算，涉及分段函数的应用和对数计算，属于基础题.16.已知直线：，圆：，则圆的半径______；若在圆上存在两点，，在直线上存在一点，使得，则实数的取值范围是______．【答案】(1).(2).\n【解析】【分析】把圆方程配方后可得圆心坐标和半径，由作圆的两条切线，这两条切线的夹角不小于90°，由此可得的取值范围．【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，若在圆上存在两点，，在直线上存在一点，使得，过作圆的两条切线（为切点），则，而当时，最大，只要此最大角即可，此时，圆心到直线的距离为．所以，解得．故答案为：；．【点睛】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，解题关键是问题的转化，本题考查了等价转化思想，运算求解能力．属于中档题．
