2021年高考数学模拟测试卷一､单项选择题1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】集合是的取值范围，是函数的值域，分别求出再求交集.【详解】解：，故选：A【点睛】考查求等式中变量的范围以及集合的交集运算；基础题.2.已知复数在复平面内对应的点在直线上，则实数（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】C【解析】【分析】化简复数，求出对应点，代入直线方程求解即可.【详解】因为，所以对应的点为，代入直线可得，解得，故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，直线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3.若（且），，则（）A.，B.，C.，D.，\n【答案】B【解析】【分析】先由得，，又由，可得，而，可得【详解】解：因为，所以，因为，所以，因为，，所以，故选：B【点睛】此题考查的是指数不等式和对数不等式，属于基础题4.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（）A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B.春分和秋分两个节气的晷长相同C.立冬的晷长为一丈五寸D.立春的晷长比立秋的晷长短【答案】D【解析】\n【分析】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中寸，寸，公差为寸，可求出，利用等差数列知识即可判断各选项.【详解】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列,其中寸，寸，公差为寸，则，解得（寸），同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列,首项，末项，公差（单位都为寸）.故选项A正确；春分的晷长为，秋分的晷长为，，所以B正确；立冬的晷长为，，即立冬的晷长为一丈五寸，C正确；立春的晷长，立秋的晷长分别为，，，，，故D错误.故选：D【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列在实际问题中的应用，数学文化，属于中档题.5.有三个筐，一个装着柑子，一个装着苹果，一个装着柑子和苹果，包装封好然后做“柑子”“苹果”“混装”三个标签，分别贴到上述三个筐上，由于马虎，结果全贴错了，则（）A.从贴有“柑子”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签B.从贴有“苹果”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签C.从贴有“混装”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签D.从其中一个筐里拿出一个水果，不可能纠正所有的标签【答案】C【解析】【分析】若从贴有“柑子”或“苹果”标签的筐内拿出一个水果，无法判定剩余水果是一种还是两种，不能纠正所有标签，若从“混装”标签中取出一个，就能判断其余两个筐内水果.\n【详解】如果从贴着苹果标签的筐中拿出一个水果，如果拿的是柑子，就无法判断这筐装的全是柑子，还是有苹果和柑子;同理从贴着柑子的筐中取出也无法判断，因此应从贴着苹果和柑子的标签的筐中取出水果.分两种情况:(1)如果取出的是柑子，那说明这筐全是柑子，则贴有柑子的那筐就是苹果，贴有苹果的那筐就是苹果和柑子.(2)如果取出的是苹果，那说明这筐全是苹果，那贴有苹果的那筐就是柑子，贴有柑子的那筐就是苹果和柑子.故选：C【点睛】解决本题的关键在于，其中贴有混装的这筐肯定不是苹果和柑子混在一起，所以能判断不是苹果就是柑子，考查了逻辑推理能力，属于容易题.6.已知向量，将绕原点逆时针旋转到的位置，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设向量与轴的夹角为，结合三角函数的定义和两角和与差的正弦、余弦函数公式，求得，得到点的坐标，进而求得.【详解】由题意，向量，则，设向量与轴的夹角为，则，所以，可得，所以.故选：D.\n【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及三角函数的定义的应用和两角和与差的正弦、余弦函数的综合应用，着重考查推理与运算能力.7.已知函数对任意，都有，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用赋值法再结合条件，即可得答案；【详解】由所求式子可得，令可得：，令可得：，令可得：，令可得：，，，故选：B.【点睛】本题考查根据抽象函数的性质求函数的解析式，等比数列求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将抽象函数具体化.8.已知正四棱柱，设直线与平面所成的角为，直线与直线所成的角为，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】\n分别在正四棱柱中找到和，将和放在同一个平面图形中找关系即可.【详解】作正四棱柱如下图：∵在正四棱柱中，平面，∴∵底面是正方形∴又∵∴平面∴是直线与平面所成的角，即∵∴是直线与直线所成的角，即∵，，∴∴∵平面∴∴故选：D【点睛】本题主要考查直线与平面和异面直线的夹角，属于中档题.\n二､多项选择题9.随着我国经济结构调整和方式转变，社会对高质量人才的需求越来越大，因此考研现象在我国不断升温．某大学一学院甲、乙两个本科专业，研究生的报考和录取情况如下表，则性别甲专业报考人数乙专业报考人数性别甲专业录取率乙专业录取率男100400男女300100女A.甲专业比乙专业的录取率高B.乙专业比甲专业的录取率高C.男生比女生的录取率高D.女生比男生的录取率高【答案】BC【解析】【分析】根据数据进行整合，甲专业录取了男生25人，女生90人；乙专业录取了男生180人，女生50人；结合选项可得结果.【详解】由题意可得甲专业录取了男生25人，女生90人；乙专业录取了男生180人，女生50人；甲专业的录取率为，乙专业的录取率为，所以乙专业比甲专业的录取率高.男生的录取率为，女生的录取率为，所以男生比女生的录取率高.故选：BC.【点睛】本题主要考查频数分布表的理解，题目较为简单，明确录取率的计算方式是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.10.已知函数，将的图像上所有点向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图像.若为偶函数，且最小正周期为，则（）A.图像关于点对称B.在单调递增\nC.在有且仅有个解D.在有且仅有个极大值点【答案】AC【解析】【分析】根据题意求得，，进而求得，，然后对选项逐一判断即可.【详解】解：将的图像上所有点向左平移个单位后变为：，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的后变为：，所以.因为的最小正周期为，所以，解得：.所以，又因为为偶函数，所以，所以.因为，所以.所以，.对于选项，因为，所以图像关于点对称，故正确.对于选项，因为时，，设，则，因为在不是单调递增，所以在不单调递增，故错误.对于选项，，，画出在图像如图所示:\n从图中可以看出：在图像有三个交点，所以在有且仅有个解，故正确.对于选项，在的图像如图所示：从图中可以看出在有且仅有2个极大值点，故选项错误.故选：AC【点睛】本题主要考查正弦型函数、余弦型函数的周期、对称中心、奇偶性、单调性等，考查学生数形结合的能力，计算能力等，属于中档题.11.已知抛物线上三点，，，为抛物线的焦点，则（）A.抛物线的准线方程为B.，则，，成等差数列C.若，，三点共线，则D.若，则的中点到轴距离的最小值为2\n【答案】ABD【解析】【分析】把点代入抛物线即可得到本题答案；根据抛物线的定义，以及，可得，从而可证得；由A，F，C三点共线，得，结合，化简即可得到本题答案；设AC的中点为，由，结合，即可得到本题答案.【详解】把点代入抛物线，得，所以抛物线的准线方程为，故A正确；因为，所以，，，又由，得，所以，即，，成等差数列，故B正确；因为A，F，C三点共线，所以直线斜率，即，所以，化简得，，故C不正确；设AC的中点为，因为，，所以，得，即的中点到轴距离的最小值为2，故D正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用以及抛物线与直线的相关问题，考查学生的分析问题能力和转化能力.12.已知函数的定义域为，导函数为，，且，则（）A.B.在处取得极大值C.D.在单调递增\n【答案】ACD【解析】分析】根据题意可设，根据求，再求判断单调性求极值即可.【详解】∵函数的定义域为，导函数为，即满足∵∴∴可设（为常数）∴∵，解得∴∴，满足∴C正确∵，且仅有∴B错误，A、D正确故选：ACD【点睛】本题主要考查函数的概念和性质，以及利用导数判断函数的单调性和极值点，属于中档题.三､填空题13.的展开式中的系数为________．【答案】【解析】\n【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．【详解】，故它的展开式中的系数为，故答案为：．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.已知是平面，外的直线，给出下列三个论断，①；②；③．以其中两个论断为条件，余下的论断为结论，写出一个正确命题：________．（用序号表示）【答案】若①③，则②或若②③，则①（填写一个即可）；【解析】【分析】利用空间直线与平面的位置关系进行判断，，时，与可能平行或者相交.【详解】因为，时，与可能平行或者相交，所以①②作为条件，不能得出③；因为，所以内存在一条直线与平行，又，所以，所以可得，即①③作为条件，可以得出②；因为，，所以或者，因为是平面外的直线，所以，即即②③作为条件，可以得出①；故答案为：若①③，则②或若②③，则①（填写一个即可）；【点睛】本题主要考查空间位置关系的判断，稍微具有开放性，熟悉空间的相关定理及模型是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.15.已知双曲线过左焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，以，为圆心的两圆与双曲线的同一条渐近线相切，若两圆的半径之和为，则双曲线的离心率为________．【答案】【解析】【分析】\n首先求两点的坐标，代人圆心到直线的距离，由已知条件建立等式求得，最后再求双曲线的离心率.【详解】设，当，代人双曲线方程，解得：，设，根据对称性，可设与两圆相切的渐近线是，则两点到渐近线的距离，，上式去掉绝对值为，即，那么.双曲线的离心率.故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.16.我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为米峡谷拐入宽为米的峡谷．如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点、的连线恰好经过拐角内侧顶点（点、、在同一水平面内），设与较宽侧峡谷悬崖壁所成角为，则的长为________（用表示）米．要使输气管顺利通过拐角，其长度不能低于________米．\n【答案】(1).(2).【解析】【分析】分别计算出、，相加可得的长；设，利用导数求得的最小值，即可得解.【详解】如下图所示，过点分别作，，则，在中，，则，同理可得，所以，令，则，令，得，得，\n由，解得，当时，；当时，.则.故答案为：；.【点睛】本题考查导数的实际应用，求得函数的解析式是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
