（新课标）2022高考数学三轮必考热点集中营热点18概率期望大题（教师版）【三年真题重温】【2022新课标全国理，19】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为配方和配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数82042228配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数412423210(Ⅰ)分别估计用配方，配方生产的产品的优质品率；(Ⅱ)已知用配方生产的一件产品的利润（单位：元）与其质量指标值的关系式为．从用配方生产的产品中任取一件，其利润记为（单位：元），求的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．47\n【2022新课标全国文，19】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质产品，现用两种新配方（分别称为分配方和分配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数82042228配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数412423210(Ⅰ)分别估计用配方，配方生产的产品的优质品率；(Ⅱ)已知用配方生产的一件产品的利润（单位：元）与其质量指标值的关系式为47\n，估计用配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用配方生产的上述100件产品平均一件的利润．用配方生产的产品平均一件的利润为（元）．【2022新课标全国理，19】为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：是否需要志愿性别男女需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由.0．0500.0100.0013.8416.63510.828附：47\n【2022新课标全国文，19】为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：是否需要志愿性别男女需要4030不需要160270（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；（Ⅱ）能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。附：0．0500.0100.0013.8416.63510.82847\n【2022新课标全国理】（本小题满分12分）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式。（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。47\n【2022新课标全国文】（本小题满分12分）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式。（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310（i）假设花店在这100内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率。47\n【命题意图猜想】1.纵观2022年和2022年的高考题对本热点的考查，可以发现概率和统计、统计案例相结合是高考命题的热点，2022年概率和频数分布相结合，2022年考查了独立性检验和抽样方法，而理科单纯的考查离散型随机事件的概率和期望在减弱，文科单纯考查概率的计算也在减弱，这也体现了高考对新课标的新增内容的要求，试题难度不大，但是要求同学们对相关的基础知识掌握必须准确.在2022年高考中，结合实际问题将函数和概率问题巧妙结合在一起，新颖别致，但是题目难度不大，这也体现了“新题不难”的命题特点.猜想2022年高考题以茎叶图为背景考查相关概念的理解和概率问题，理科涉及到离散型随机变量问题，文科涉及到古典概率问题.2.从近几年的高考试题来看，分层抽样是高考的热点，题型既有选择题也有填空题，分值占5分左右，属容易题．命题时多以现实生活为背景，主要考查基本概念及简单计算．预测2022年高考，分层抽样仍是考查的重点，同时应加强对系统抽样的复习．3.从近几年的广东高考试题来看，频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题考查知识点较单一，解答题考查得较为全面，常常和概率、平均数等知识结合在一起，考查学生应用知识解决问题的能力．预测2022年高考，频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差仍然是考查的热点，同时应注意和概率、平均数等知识的结合．4.从近几年的高考试题来看，高考对此部分内容考查有加强趋势，主要是以考查独立性检验、回归分析为主，并借助解决一些简单的实际问题来考查一些基本的统计思想，在高考中多为选择、填空题，也有解答题出现．预测2022年高考，散点图与相关关系仍是考查的重点，同时应注意线性回归方程、独立性检验在实际生活中的应用．【最新考纲解读】1．随机抽样(1)理解随机抽样的必要性和重要性．(2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法．2．总体估计(1)了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．47\n(2)理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．(3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释．(4)会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；理解用样本估计总体的思想．(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．3．变量的相关性(1)会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．(2)了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．4．统计案例了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题．(1)独立性检验了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用．(2)假设检验了解假设检验的基本思想、方法及其简单应用．(3)回归分析了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．【回归课本整合】1.简单随机抽样简单随机抽样是不放回抽样，被抽取样本的个体数有限，从总体中逐个地进行抽取，使抽样便于在实践中操作．每次抽样时，每个个体等可能地被抽到，保证了抽样的公平性．实施方法主要有抽签法和随机数法．2.系统抽样(1)定义：当总体元素个数很大时，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样，也称作等距抽样．(2)系统抽样的步骤：①编号．采用随机的方式将总体中的个体编号．②分段．先确定分段的间隔k.当(N为总体中的个体数，n为样本容量)是整数时，k＝；当不是整数时，通过从总体中随机剔除一些个体使剩下的总体中个体总数N′能被n整除，这时k＝.③确定起始个体编号．在第1段用简单随机抽样确定起始的个体编号S.④按照事先确定的规则抽取样本．通常是将S加上间隔k，得到第2个个体编号S＋k，再将(S＋k)加上k，得到第3个个体编号S＋2k，这样继续下去，获得容量为n的样本．其样本编号依次是：S，S＋k，S＋2k，…，S＋(n－1)k.3．分层抽样(1)47\n定义：当总体由有明显差别的几部分组成时，按某种特征在抽样时将总体中的各个个体分成互不交叉的层，然后按照各层在总体中所占的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫做分层抽样．分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体中所占比例抽取．分层抽样要求对总体的内容有一定的了解，明确分层的界限和数目，分层要恰当．(2)分层抽样的步骤①分层；②按比例确定每层抽取个体的个数；③各层抽样(方法可以不同)；④汇合成样本．(3)分层抽样的优点分层抽样充分利用了己知信息，充分考虑了保持样本结构与总体结构的一致性．使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时，可以根据具体情况采取不同的抽样方法，因此分层抽样在实践中有着非常广泛的应用．4.绘制频率分布直方图把横轴分成若干段，每一段对应一个组距，然后以线段为底作一矩形，它的高等于该组的，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率．这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，纵轴表示“频率/组距”，数据落在各小组内的频率用小矩形的面积表示，各小矩形的面积总和等于1.5．茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图．茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．在样本数据较少、较为集中，且位数不多时，用茎叶图表示数据的效果较好，它较好的保留了原始数据信息，方便记录与表示，但当样本数据较多时，茎叶图就不太方便．6．平均数、中位数和众数(1)平均数：一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是平均数．(2)中位数：如果将一组数据按从小到大的顺序依次排列，当数据有奇数个时，处在最中间的一个数是这组数据的中位数；当数据有偶数个时，处在最中间两个数的平均数，是这组数据的中位数．(3)众数：出现次数最多的数(若有两个或几个数据出现得最多，且出现的次数一样，这些数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数)．(4)在频率分布直方图中，最高小长方形的中点所对应的数据值即为这组数据的众数．而在频率分布直方图上的中位数左右两侧的直方图面积应该相等，因而可以估计其近似值．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．47\n7．方差、标准差(1)设样本数据为x1，x2，…，xn样本平均数为，则s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝[(x12＋x22＋…＋xn2)－n2]叫做这组数据的方差，用来衡量这组数据的波动大小，一组数据方差越大，说明这组数据波动越大．把样本方差的算术平方根叫做这组数据的样本标准差．(2)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述，其中极差反映了一组数据变化的最大幅度．方差则反映一组数据围绕平均数波动的大小．8.两个变量的线性相关(1)散点图将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图．利用散点图可以判断变量之间有无相关关系．(2)正相关、负相关如果散点图中各点散布的位置是从左下角到右上角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关．反之，如果两个变量的散点图中点散布的位置是从左上角到右下角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．9．回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析．其基本步骤是：①画散点图，②求回归直线方程，③用回归直线方程作预报．(1)回归直线：观察散点图的特征，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归直线方程的求法——最小二乘法．设具有线性相关关系的两个变量x、y的一组观察值为(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，则回归直线方程＝＋x的系数为：其中＝i，＝i，(，)称作样本点的中心．47\n，表示由观察值用最小二乘法求得的a，b的估计值，叫回归系数．10.独立性检验(1)若变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，则这些变量称为分类变量．(2)两个分类变量X与Y的频数表，称作2×2列联表.11.（理）离散型随机变量的分布列1.2.超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率P(X＝m)＝(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，称这种离散型随机变量的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N、M、n的超几何分布．超几何分布给出了求解这类问题的方法，可以当公式直接运用求解．3.二项分布：1.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是，（…，）于是得到随机变量的概率分布如下：…………47\n由于恰好是二项展开式中的各项的值，所以称这样的随机变量服从二项分布，记作，其中，为参数，并记＝．…2.二项分布的期望与方差：若，则，【方法技巧提炼】1.三种抽样方法的比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的机会均等从总体中逐个抽取 总体中的个体数较少系统抽样将总体均匀分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成2．样本频率直方图与样本的数字特征在频率分布直方图中，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；中位数的估计值，应使中位数左右两边的直方图面积相等；最高小长方形的中点所对应的数据值即为这组数据的众数．3．方差是刻画一组数据离散程度的量，方差越大，这组数据波动越大，越分散．讨论产品质量、售价高低、技术高低、产量高低、成绩高低、寿命长短等等问题，一般都是通过方差来体现．5.判断两变量是否有相关关系很容易将相关关系与函数关系混淆．相关关系是一种非确定性关系，即是非随机变量与随机变量之间的关系，而函数关系是一种因果关系。6．求回归方程，关键在于正确求出系数a，b，由于a，b的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．(注意回归直线方程中一次项系数为b，常数项为a，这与一次函数的习惯表示不同)7．回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出回归直线方程．8．独立性检验是一种假设检验，在对总体的估计中，通过抽取样本，构造合适的随机变量，对假设的正确性进行判断．9.（理）独立重复试验概率公式的特点关于Pn(k)＝Cnkpk(1－p)n－k，它是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率．其中47\nn是重复试验次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n、p、k的意义，才能正确运用公式．1.求离散型随机变量分布列的步骤：要确定随机变量的可能取值有哪些.明确取每个值所表示的意义；分清概率类型，计算取得每一个值时的概率（取球、抽取产品等问题还要注意是放回抽样还是不放回抽样；列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证.10（理）几种常见的分布列的求法取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键是概率的计算.所用方法主要有划归法、数形结合法、对应法等对于取球、抽取产品等问题，还要注意是放回抽样还是不放回抽样.射击问题：若是一人连续射击，且限制在次射击中发生次，则往往与二项分布联系起来；若是首次命中所需射击的次数，则它服从几何分布，若是多人射击问题，一般利用相互独立事件同时发生的概率进行计算.对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审题，明确题中的含义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解.【考场经验分享】1.进行分层抽样时应注意以下几点：(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠；(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性应相同；(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．2.在作茎叶图时，容易出现茎两边的数字不是从小到大的顺序排列，从而导致结论分析错误，在使用茎叶图整理数据时，要注意：一是数据不能遗漏，二是数据最好按从小到大顺序排列，对三组以上的数据，也可使用茎叶图，但没有表示两组记录那么直观、清晰．3．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．4．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．5．r的大小只说明是否相关并不能说明拟合效果的好坏，R2才是判断拟合效果好坏的依据．6．独立性检验的随机变量K2＝2.706是判断是否有关系的临界值，K2<2.076应判断为没有充分证据显示X与Y有关系，而不能作为小于90%的量化值来判断．7.概率计算题的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆，这中间有三个概念，事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念，根据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算，达到解决问题的目的．8．在解含有相互独立事件的概率题时，首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和，其次将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积，这两个事情做好了，问题的思路就清晰了，接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了，如果某些相互独立事件符合独立重复试验概型，就把这部分归结为用独立重复试验概型，用独立重复试验概型的概率计算公式解答．47\n9．相当一类概率应用题都是比如掷硬币、掷骰子、摸球等概率模型赋予实际背景后得出来的，我们在解题时就要把实际问题再还原为我们常见的一些概率模型，这就要根据问题的具体情况去分析，对照常见的概率模型，把不影响问题本质的因素去除，抓住问题的本质．10．求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．【新题预测演练】（理）1.【2022年山东省日照市高三模拟考试】（本小题满分12分）某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品.现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：（I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（II）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元.在（I）的前提下，（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率.47\n2.【东北三省三校2022届高三3月第一次联合模拟考试】（本小题满分12分）PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，根据现行国家标准GB3095–2022，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75毫克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标。从某自然保护区2022年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值（微克/立方米）[25,35](35,45](45,55](55,65](65,75](75,85]频数311113（1）从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽取3天，求恰有1天空气质量达到一级的概率；（2）从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列；47\n（3）以这10天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量状况，则一年（按366天算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级。（精确到整数）3.【陕西省宝鸡市2022届高三3月份第二次模拟考试】（本小题满分12分）省少年篮球队要从甲、乙两所体校选拔队员。现1916甲队队员乙队队员171878897653068967581610将这两所体校共20名学生的身高绘制成如下茎叶图（单位：cm）:若身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”身高在180cm以下（不包括180cm）定义为“非高个子”。（1）用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，如果从这5人中随机选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（2）若从所有“高个子”中随机选3名队员，用表示乙校中选出的“高个子”人数，47\n试写出的分布列和数学期望。4.【河北省唐山市2022—2022学年度高三年级第一次模拟考试】某公司共冇职工8000名，从中随机抽取了100名，调杏上、下班乘车所用时间，得下表：公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额Y(元）与乘市时间t(分钟）的关系是，其中表示不超过的最大整数.以样本频率为概率：(I)估算公司每月用于路途补贴的费用总额（元)；47\n(II)以样本频率作为概率，求随机选取四名职工,至少冇两名路途补贴超过300元的概率.5.【2022年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测（二）】某市的教育研究机构对全市高三学生进行综合素质测试，随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图.(I)估计全市学生综合素质成绩的平均值；(II)若评定成绩不低于8o分为优秀.视频率为概率，从全市学生中任选3名学生(看作有放回的抽样），变量表示3名学生中成绩优秀的人数，求变量的分布列及期望故其分布列为012347\n………………9分.………………12分6.【北京市顺义区2022届高三第一次统练】现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得1分,没有命中得0分;向乙靶射击一次,命中的概率为,命中得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(I)求该射手恰好命中两次的概率;(II)求该射手的总得分的分布列及数学期望;(III)求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率.47\n7.【2022年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考】（本题满分13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的道题中随机抽出道题进行测试，在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的道题．答对一题加分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）规定：每个人至少得分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试47\n的概率．8.【湖北省黄冈中学、孝感高中2022届高三三月联合考试】（本小题满分12分）在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）在一次游戏中：①求摸出3个白球的概率；②求获奖的概率；（2）在两次游戏中，记获奖次数为：①求的分布列；②求的数学期望．47\n9.【2022届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】某产品在投放市场前，进行为期30天的试销，获得如下数据：日销售量（件）012345频数1361064试销结束后（假设商品的日销量的分布规律不变），在试销期间，每天开始营业时商品有5件，当天营业结束后，进行盘点存货，若发现存量小于3件，则当天进货补充到5件，否则不进货。（Ⅰ）求超市进货的概率；（Ⅱ）记为第二天开始营业时该商品的件数，求的分布列和数学期望。47\n10.【北京市东城区普通校2022-2022学年第二学期联考试卷】甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，现在从这两个箱子里各随机摸出2个球，求(Ⅰ)摸出3个白球的概率；(Ⅱ)摸出至少两个白球的概率；（Ⅲ）若将摸出至少两个白球记为1分，则一个人又放回地摸2次，求得分X的分布列及数学期望。47\n11.【宁夏回族自治区石嘴山市2022届高三第一次模拟】某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度。现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：幸福度7308666677889997655（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”。求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记表示“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望。47\n12.【广东省揭阳市2022届高三3月第一次高考模拟】（本小题满分12分）根据公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》：每位驾驶证申领者必须通过《科目一》（理论科目）、《综合科》（驾驶技能加科目一的部分理论）的考试.已知李先生已通过《科目一》的考试，且《科目一》的成绩不受《综合科》的影响，《综合科》三年内有5次预约考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾驶证，不再参加以后的考试，否则就一直考到第5次为止.设李先生《综合科》每次参加考试通过的概率依次为0.5，0.6，0.7，0.8，0.9．47\n（1）求在三年内李先生参加驾驶证考试次数的分布列和数学期望；（2）求李先生在三年内领到驾驶证的概率.13.【河北省邯郸市2022年高三第一次模拟考试】(本小题满分12分)某大学体育学院在2022年新招的大一学生中，随机抽取了40名男生，他们的身高（单位:cm)情况共分成五组:第1组[175,180),第2组[180,185),第3组[185,190),第4组[190,195),第5组[195，200).得到的频率分布直方图（局部）如图所示，同时规定身高在185cm以上（含185cm)的学生成为组建该校篮球队的“预备生”.(I)求第四组的并补布直方图；(II)如果用分层抽样的方法从“预备生”和“非预备生”中选出5人,再从这5人中随机选2人,那么至少有1人是“预备生”的概率是多少？(III)若该校决定在第4,5组中随机抽取247\n名学生接受技能测试,第5组中有ζ名学生接受测试,试求ζ的分布列和数学期望.14.【山东省淄博市2022届高三3月第一次模拟考试】（理科）（本小题满分12分）在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为、，设为坐标原点，点的坐标为，记．（I）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．47\n15.【2022年安徽省马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测】一厂家向用户提供的一箱产品共件，其中有件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.（Ⅰ）求这箱产品被用户接收的概率；（Ⅱ）记抽检的产品件数为，求随机变量的分布列和数学期望．【命题意图】本题考查概率知识，分布列和期望的求法，考查学生应用知识解决问题的能力，中等题.16.【河北省邯郸市2022年高三第一次模拟考试】47\n(本小题满分12分)某大学体育学院在2022年新招的大一学生中，随机抽取了40名男生，他们的身高（单位:cm)情况共分成五组:第1组[175,180),第2组[180,185),第3组[185,190),第4组[190,195),第5组[195，200).得到的频率分布直方图（局部）如图所示，同时规定身高在185cm以上（含185cm)的学生成为组建该校篮球队的“预备生”.(I)求第四组的并补布直方图；(II)如果用分层抽样的方法从“预备生”和“非预备生”中选出5人,再从这5人中随机选2人,那么至少有1人是“预备生”的概率是多少？(III)若该校决定在第4,5组中随机抽取2名学生接受技能测试,第5组中有ζ名学生接受测试,试求ζ的分布列和数学期望47\n17.【湖北省八校2022届高三第二次联考】（本小题满分12分）某市准备从7名报名者（其中男4人，女3人）中选3人参加三个副局长职务竞选.（1）设所选3人中女副局长人数为X，求X的分布列及数学期望；（2）若选派三个副局长依次到A、B、C三个局上任，求A局是男副局长的情况下，B局为女副局长的概率.18.【湖北省黄冈市2022届高三3月份质量检测】（本小题满分12分）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的. （Ⅰ）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率. （Ⅱ）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率. （Ⅲ）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为，求的期望.47\n19.【湖南省怀化市2022届高三第一次模拟考试】（本小题满分12分）永州市举办科技创新大赛，某县有20件科技创新作品参赛，大赛组委会对这20件作品分别从“创新性”和“实用性”两个方面进行评分，每个方面评分均按等级采用3分制(最低1分，最高3分)，若设“创新性”得分为，“实用性”得分为，得到统计结果如下表，若从这20件产品中随机抽取1件．（1）求事件A：“x≥2且y≤2”的概率；（2）设ξ为抽中作品的两项得分之和，求ξ的数学期望．47\n20.【山东省济南市2022届高三高考模拟考试理科数学试题word版（2022济南一模）】某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试。已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为（1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为，求的分布列和期望．47\n（文）1.【2022年山东省日照高三一模模拟考试】（本小题满分12分）海曲市教育系统为了贯彻党的教育方针，促进学生全面发展，积极组织开展了丰富多样的社团活动，根据调查，某中学在传统民族文化的继承方面开设了“泥塑”、“剪纸”、“曲艺”三个社团，三个社团参加的人数如表所示：为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，已知从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人.（I）求三个社团分别抽取了多少同学；（II）若从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“剪纸”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率.47\n)解：（Ⅰ）设抽样比为，则由分层抽样可知，“泥塑”、“剪纸”、“曲艺”三个社团抽取的人数分别为．2.【山东省潍坊市2022届高三3月第一次模拟考试】（本小题满分12分）为了解社会对学校办学质量的满意程度，某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行问卷调查，已知高一、高二、高三的家长委员会分别有54人、18人、36人．(I)求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数；(Ⅱ)若从抽得的6人中随机抽取2人进行训查结果的对比，求这2人中至少有一人是高三学生家长的慨率．47\n3.【唐山市2022—2022学年度高三年级第一次模拟考试】某公司共冇职工8000名，从中随机抽取了100名，调杏上、下班乘车所用时间，得下表：公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额Y(元）与乘市时间t(分钟）的关系是，其中表示不超过的最大整数.以样本频率为概率：(I)求公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率；(II)估算公司每月用于路途补贴的费用总额（元).某市的教育研究机构对全市高三学生进行综合素质测试，随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图.(I)估计全市学生综合素质成绩的平均值；(II)若综合素质成绩排名前5名中，其中1人为某校的学生会主席，从这5人中推荐3人参加自主招生考试，试求这3人中含该学生会主席的概率。47\n5.【2022年广州市普通高中毕业班综合测试（一）3月】沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg），获得的所有数据按照区间进行分组，得到频率分布直方图如图3.已知样本中产量在区间上的果树株数是产量在区间上的果树株数的倍.（1）求,的值；（2）从样本中产量在区间上的果树随机抽取两株，求产量在区间上的果树至少有一株被抽中的概率.47\n6.【2022年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考】（本题满分13分）某市有三所高校，其学生会学习部有“干事”人数分别为36，24，12，现采用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取6名进行“大学生学习活动现状”的调查．47\n（Ⅰ）求应从这三所高校中分别抽取的“干事”人数；（Ⅱ）若从抽取的6名干事中随机再选2名，求选出的2名干事来自同一所高校的概率．7.【北京市房山区2022届高三上学期期末考试】（本小题满分13分）某校从参加高三年级期中考试的学生中随机选取40名学生，并统计了他们的政治成绩，这40名学生的政治成绩全部在40分至100分之间，现将成绩分成以下6段：，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求成绩在的学生人数；（Ⅱ）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在的概率.47\n8.【山东省威海市2022届高三上学期期末考试】（本小题满分12分）某普通高中共有教师人，分为三个批次参加研修培训，在三个批次中男、女教师人数如下表所示：第一批次第二批次第三批次女教师男教师47\n已知在全体教师中随机抽取1名，抽到第二、三批次中女教师的概率分别是、．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）为了调查研修效果，现从三个批次中按的比例抽取教师进行问卷调查，三个批次被选取的人数分别是多少？（Ⅲ）若从（Ⅱ）中选取的教师中随机选出两名教师进行访谈，求参加访谈的两名教师“分别来自两个批次”的概率．9.【2022届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】（本题满分12分）为了解在校学生的安全知识普及情况，命制了一份有道题的问卷到各学校做问卷调查．某中学两个班各被随机抽取名学生接受问卷调查，班名学生得分为：，，，，；班5名学生得分为：，，，，．（Ⅰ）请你用所学知识，估计两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些；（Ⅱ）如果把班名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于的概率．47\n10.【2022年石家庄市高中毕业班教学质量检测（一）】（本小题满分12分） 某班B两组各有8名学生，他们期中考试的美术成绩如下：A组：66 68 72 74 76 78 82 84B组：58 62 67 73 77 83 88 92（I）补全下列茎叶图：（II）分别计算这两组学生美术成绩的平均数、标准，并对它们的含义进行解释。47\n11.【宁夏回族自治区石嘴山市2022届高三第一次模拟】甲乙877661802553925从甲、乙两名运动员的若干次训练成绩中随机抽取6次，分别为：甲：7.77.88.18.69.39.5乙：7.68.08.28.59.29.5（1）根据以上的茎叶图，对甲、乙运动员的成绩作比较，写出两个结论；（2）从甲、乙运动员六次成绩中各随机抽取1次成绩，求甲、乙运动员的成绩至少有一个高于8.5分的概率；（3）经过对甲、乙运动员若干次成绩进行统计，发现甲运动员成绩均匀分布在[7.5，9.5]之间，乙运动员成绩均匀分布在[7.0，10]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.5分的概率。(本小题满分12分)47\n12.【河北省邯郸市2022年高三第一次模拟考试】(本小题满分12分)某大学体育学院在2022年新招的大一学生中，随机抽取了40名男生，他们的身高（单位:cm)情况共分成五组:第1组[175,180),第2组[180,185),第3组[185,190),第4组[190,195),第5组[195，200).得到的频率分布直方图（局部）如图所示，同时规定身高在185cm以上（含185cm)的学生成为组建该校篮球队的“预备生”.(I)求第四组的频率，并补全该频率分布直方图；(II)在抽取的40名学生中，用分层抽样的方法从“预备生”和“非预备生”中选出5人，再从这5人中随机选2人，那么至少有1人是“预备生”的概率是多少？13.【山东省淄博市2022届高三3月第一次模拟考试】(文科)（本小题满分12分）组号分组频数频率第1组第2组第3组47\n第4组第5组合计某校举行环保知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取名学生的成绩（得分均为整数，满分分），进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若从成绩较好的第、、组中按分层抽样的方法抽取人参加社区志愿者活动，并从中选出人做负责人，求人中至少有1人是第四组的概率．14.【2022年安徽省马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测】某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答下列问题：（Ⅰ）求全班人数及分数在之间的频数；（Ⅱ）不看茎叶图中的具体分数，仅据频率分布直方图估计该班的平均分数；（Ⅲ）若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在之间的概率．47\n15.【山东省济南市2022届高三高考模拟考试文科数学试题word版（2022济南一模）】(本小题满分12分)甲组01x829219乙组第18题图以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆学习的次数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示.（1）如果x=7，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；（2）如果x=9，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率.47\n16.【湖南省怀化市2022届高三第一次模拟考试】（本小题满分12分）优秀不优秀总计甲班153550乙班104050总计2575100甲乙两班进行一门课程的考试，按照学生考试成绩的优秀和不优秀统计后得到如右的列联表：（1）据此数据有多大的把握认为学生成绩优秀与班级有关?（2）用分层抽样的方法在成绩优秀的学生中随机抽取5名学生，问甲、乙两班各应抽取多少人?（3）在(2)中抽取的5名学生中随机选取2名学生介绍学习经验，求至少有一人来自乙班的概率．(，其中)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82847\n47
