（新课标）2022高考数学 三轮必考热点集中营 热点15组合体问题（教师版）

（新课标）2022高考数学三轮必考热点集中营热点15组合体问题（教师版）【三年真题重温】1.【2022新课标全国理，15】已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且，，则棱锥的体积为．2.【2022新课标全国文，16】已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．24\n3.【2022新课标全国理，10】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(A)(B)(C)(D)4.【2022新课标全国文，7】设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（A）3a2（B）6a2（C）12a2（D）24a25.【2022新课标全国理】已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（）24\n6.【2022新课标全国文】平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（A）π（B）4π（C）4π（D）6π【命题意图猜想】1.2022年理科高考是四棱锥和球的组合体，文科是圆锥和球的组合体，2022年理科考查的是三棱柱与球的组合体，文科考查的是长方体与球的组合体.2022年理科考查了三棱锥与球的组合体，试题难度较去年增大，文科只是简单考查了单一的几何体球的计算问题.从整体上看，试题难度理科较文科大，均需要学生有较强的画图能力和空间想象能力.并且均与球的外接或内切紧密联系到一起，猜想2022年高考试题不会逃离两个几何体的组合，且与球的组合体仍然是一个热点，以一种新颖的几何体的形态出现,考查几何体的体积或表面积.2.从近几年的考试题来看，空间几何体的表面积、体积等问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中、低档．客观题主要考查由三视图得出几何体的直观图，求其表面积、体积或由几何体的表面积、体积得出某些量；主观题考查较全面，考查线、面位置关系，及表面积、体积公式，无论是何种题型都考查学生的空间想象能力．预测202224\n年高考仍将以空间几何体的表面积、体积为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力、运算能力及逻辑推理能力．【最新考纲解读】(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．(2)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆)．【回归课本整合】3.球（1）球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体；与定点距离等于定长的点的集合叫做球面.（2）球的截面：用一平面去截一个球，设是平面的垂线段，为垂足，且，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以为半径的一个圆，截面是一个圆面.球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆（3）球的表面积公式：.4.棱柱、棱锥与球的体积（1）棱柱：体积＝底面积×高，或体积＝直截面面积×24\n侧棱长，特别地，直棱柱的体积＝底面积×侧棱长；三棱柱的体积（其中为三棱柱一个侧面的面积，为与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离）（2）棱锥：体积＝×底面积×高.（3）球的体积公式：.①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面(轴截面)是全等的矩形．除了这两条重要特征外，还应掌握下面的一些重要属性．①所有的轴截面是以两底面直径和两条母线为边的全等矩形，若该矩形为正方形，则圆柱叫等边圆柱．②用平行于轴的平面去截圆柱，所得的截面是以底面圆的弦和两条母线为边的矩形．也就是说过圆柱任意两条母线的截面一定是一个矩形，在这所有的截面矩形中，以轴截面面积最大．(3)圆锥的结构特征24\n①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形；③过圆锥两条母线的截面．当轴截面的顶角不大于90°时，轴截面面积最大；当轴截面顶角大于90°时，两母线垂直时截面面积最大．(4)圆台的结构特征①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面是全等的等腰梯形．2.正方体与球（1）正方体的内切球：截面图为正方形EFGH的内切圆，如图所示.设正方体的棱长为，则.24\n1.求体积常见技巧24\n当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积．(3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．2.求体积常见方法①直接法（公式法）；②转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；③分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；④补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；⑤四面体体积变换法；⑥利用四面体的体积性质：（ⅰ）底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅱ）高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅲ）用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方.求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体.补形：三棱锥三棱柱平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是1：2：3和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等.3.常见的特殊几何体的性质（1）平行六面体：①底面是平行四边形的四棱柱.②{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}；③平行六面体的任何一个面都可以作为底面；④平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；⑤平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和.（2）长方体：①长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和；②若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为，则cos2+cos2+cos2=1；③若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则cos2+cos2+cos2=2.24\n【考场经验分享】1．注意特殊的四棱柱的区别：直四棱柱、正四棱柱、长方体、正方体、平行六面体、直平行六面体．2．棱台的各侧棱延长线交于一点是判断棱台的主要依据，两底面平行且是相似多边形．3．注意还台为锥的解题方法的运用，将台体还原为锥体可利用锥体的性质．注意正棱锥中的四个直角三角形为：高、斜高及底面边心距组成一个直角三角形；高、侧棱与底面外接圆半径组成一个直角三角形；底面的边心距、外接圆半径及半边长组成一个直角三角形；侧棱、斜高及底边一半组成一个直角三角形．424\n．将几何体展开为平面图形时，要注意在何处剪开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一条母线剪开.5．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图.6.关于组合体的考查一般放在压轴的选择或填空的位置，难度较大，需具有较强的画图能力和空间想象能力，尤其是与球相关的内切与外接问题，具有一定的规律和常用的结论，故总结常用的类型，形成解题的套路和模式.【新题预测演练】1.【2022届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】若棱长均为２的正三棱柱内接于一个球，则该球的半径为（）A.B.C.D.2.【北京市朝阳区2022届高三上学期期末理】在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是A．B．C．D．24\n3.【广西百所高中2022届高三年级第三届联考】如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（）A．B．C．D．24\n4.【东北三省三校2022届高三3月第一次联合模拟考试】点在同一个球的球面上，，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A．3B．C．D．【答案】C5.【河北省唐山市2022-2022学年度高三年级摸底考试】在三棱锥P－ABC中，PA＝PB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（A）　(B)　(C)4　（D)24\n6.【天津市新华中学2022届高三上学期第三次月考数学试卷】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（）A.B.C.D.24\n7.【2022河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】如图，设正方体的棱长为1，E、F分别是、的中点，则点A到平面EFDB的距离为A．B．C．D．18.【云南玉溪一中2022届第四次月考试卷】四面体中，则四面体外接球的表面积为（）A．B．C．D．24\n9.【2022河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】已知矩形ABCD的顶点都在半径为R的球O的球面上，AB=6，，棱锥O-ABCD的体积为，则球O的表面积为10.【2022-2022学年度河北省普通高中11月高三教学质量监测】已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为时，其高的值为（）24\nA．B．C．D．11.【2022河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】已知矩形ABCD的顶点都在半径为R的球O的球面上，AB=6，，棱锥O-ABCD的体积为，则球O的表面积为A．B．C．D．12.【2022-2022学年度河北省普通高中高三11月教学质量监测】.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正棱柱的体积最大值时，其高的值为（）A．B．C．D．棱柱的体积最大。13.【2022-2022学年度河北省普通高中高三11月教学质量监测】已知ABCD为正方形，点P为平面ABCD外一点，，，二面角为，则点C到平面PAB的距离为24\n14.【云南师大附中2022届高三适应性月考卷（三）】正三棱锥A－BCD内接于球O，且底面边长为，侧棱长为2，则球O的表面积为____．15.【北京四中2022-2022年度第一学期高三年级期中】湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12cm，深2cm的空穴，则该球的半径是______cm，24\n16.【2022年长春市高中毕业班第一次调研测试】若一个正四面体的表面积为，其内切球的表面积为，则____________.17.【2022年长春市高中毕业班第一次调研测试】若一个正方体的表面积为，其外接球的表面积为，则____________.18.【云南玉溪一中高2022届高三上学期第三次月考】设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是.24\n（第17题）19.【河南中原名校2022—2022学年度第一学期期中联考】[已知球Ol、O2的半径分别为l、r，体积分别为V1、V2，表面积分别为S1、S2，当时，的取值范围是.24\n20.【江苏省南通市2022届高三第二次调研测试】若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为cm．21.【2022河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】在三棱柱中，侧棱垂直底面，，，BC=1，且三棱柱的体积为3，则三棱柱的外接球的表面积为∴24\n【2022-2022学年云南省昆明市高三（上）摸底调研测试】已知A，B，C，D四点在半径为的球面上，且，AD=BC=5，AB=CD，则三棱锥D﹣ABC的体积是　．[来22.【云南玉溪一中2022届第四次月考试卷】已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两互相垂直，则球心到截面的距离为________.24\n23.【2022年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】如图，单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在平面A1BC1上，则三棱锥P-ACD1的体积为______24．【广西百所高中2022届高三年级第三届联考】如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，E为A1D1的中点，则BE与平面BB1D1D所成角的正弦值为。24\n25.【2022-2022学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试（零诊）】设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为：m），若该几何体的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于　　m2（答案用含有π的式子表示）24\n24