2022年命题竞赛试题数学科试题第一卷（共50分）一、选择题，每题5分，共50分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1.假设非空集合A,B,C满足A∪B=C，且B不是A的子集，那么A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件C.“x∈C”是“x∈A”的充分条件D.“x∈C”是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”必要条件2．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，那么球的休积为A.B.C.D.3.函数f(x)=的定义域为A.(-∞,-4)［∪2,+∞］B.(-4,0)∪(0,1)C.［-4,0］∪（0，1）］ D.［－4，0∪（0，1）4．已知，那么=()（Ａ）2 （Ｂ）-2 （Ｃ）3 （Ｄ）-35．复数（）A．2B．－2C．D．6．假设点P(2,0)到双曲线的一条渐线的距离为,那么双曲线的离心率为()（Ａ）（Ｂ） （Ｃ）（Ｄ）7.已知函数，那么不等式的解集是()（A） （B） （C） （D）9/9\n8.设奇函数在上为增函数，且，那么不等式的解集为（）A．B．C．D．9.假设定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,那么以下说法一定正确的选项是()(A)f(x)为奇函数（B）f(x)为偶函数(C)f(x)+1为奇函数（D）f(x)+1为偶函数10.假设数列是首项为，公比为的无穷等比数列，且各项的和为a，那么的值是（ ）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．Ｄ．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（11）（1-2x）2(1-x)4展开式中x2的系数为.（12）已知直线l2-x-y+4=0与圆C：（x-1）2+(y-1)2=2,那么C上各点到l距离的最小值为.(13)已知⊙O的方程是x2+y2-2=0,⊙O’的方程是x2+y2-8x+10=0,由动点P向⊙O和⊙O’所引的切线长相等，那么动点P的轨迹方程是.(14)下面有五个命题：①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.②终边在y轴上的角的集合是{a|a=|.③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.④把函数9/9\n⑤函数其中真命题的序号是（写出所有情况）三、解答题：本大题共6小题，共80分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题总分值12分）已知<<<,(Ⅰ)求的值.（Ⅱ）求.16.（本小题总分值12分）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；（Ⅱ）假设η=aξ-b,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值.17．（本小题共14分）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．18.（14分）已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．19．（本小题总分值14分）已知数列的前N项和为9/9\n（I）证明：数列是等比数列；（II）对求使不等式成立的自然数m的最小值.20．（本小题总分值14分）设是定义在上的奇函数，且当时，．(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)当时，求函数在上的最大值；(Ⅲ)如果对满足的一切实数，函数在上恒有，求实数的取值范围．参考答案选择BBDCDAADCB填空，11）-6.12）。13）x=.14)①④15.此题考察三角恒等变形的主要根本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。解：（Ⅰ）由，得∴，于是（Ⅱ）由，得又∵，∴9/9\n由得：所以16，本小题主要考察概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及根本的运算能力.（总分值12分）解：（Ⅰ）的分布列为：01234P∴（Ⅱ）由，得a2×2.75＝11，即又所以当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=-2;当a=-2时，由1＝-2×1.5+b，得b=4.∴或即为所求.17解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为．因为四边形为菱形，所以．于是可设直线的方程为．由得．因为在椭圆上，所以，解得．9/9\n设两点坐标分别为，那么，，，．所以．所以的中点坐标为．由四边形为菱形可知，点在直线上，所以，解得．所以直线的方程为，即．（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，所以．所以菱形的面积．由（Ⅰ）可得，所以．所以当时，菱形的面积取得最大值．18解：（1）求导：当时，，，在上递增当，求得两根为即在递增，递减，9/9\n递增（2），且解得：19．解：（I）又当时，，可变形为…………………………4分而∴数列是公比为2，首项为的等比数列.……………………2分（II）由（I），知…………………………………………2分（1）当m为偶数时，，∴不存在自然数m，使恒成立.…………………………………1分（2）当m为奇数时，当m=1时，；当m=3时，；当m=5时，；又当m≥5时，9/9\n即当m≥5且为奇函数，成立，此时m的最小值为5.（也可用数学归纳法证明上述结果）综上可知，使成立的自然数m的最小值为5.……………………3分20.解:(Ⅰ)当时，，那么．……………………………2分当时，．……………………………3分…………………………4分(Ⅱ)当时．………5分(1)当，即时当时，，当时，，在单调递增，在上单调递减，．……………………………7分(2)当，即时，，在单调递增．，……………………………9分9/9\n……………………………10分(Ⅲ)要使函数在上恒有，必须使在上的最大值．也即是对满足的实数，的最大值要小于或等于．………………11分（1）当时，，此时在上是增函数，那么．，解得．………①………………………………12分（2）当时，此时，在上是增函数，的最大值是．，解得．………②……………………………13分由①、②得实数的取值范围是．……………………………14分9/9
