2022年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）[绝密]数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分．⒈1.设全集，，那么A=（ ）．．． ．⒉．假设将复数表示为的形式，那么的值为A．-2B．C．D．23.假设向量，，那么向量与的夹角等于（）ABCD4.假设函数y=|ax－1|的图象的对称轴为x=2，那么非零实数a的值是（）A.－2B.2C.D.－5.双曲线的焦距为4，一个顶点是抛物线的焦点，那么双曲线的离心率A.B.C.D.6.已知函数的最小正周期为，那么该函数的图像A关于点对称B关于点对称C关于直线对称D关于直线对称7.已知集合A=｛5｝，B={1，2}，C＝｛1，3，4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，那么确定的不同点的个数为()A30B31C32D338.设方程的两个根为，那么（）ABCD二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分．㈠必做题（9～12题）8/8\n9.某单位有27名老年人，54名中年人，81名青年人.为了调查他们的身体情况，用分层抽样的方法从他们中抽取了n个人进展体检，其中有3名老年人，那么n=_________.10.假设直线与直线平行，那么的值为.11.假设展开式的二项式系数之和等于64，那么第三项是．12.一个数列，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，，它的首项是，随后两项都是，接下来3项都是，再接下来4项都是，…，依此类推，假设，，那么．㈡选做题（13～15题，考生只能从中选做两题）⒔（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，点到曲线上点的距离的最小值．图2⒕（不等式选讲选做题）已知，那么的最大值是．⒖（几何证明选讲选选做题）如图2，是⊙的直径，是⊙上一点，的平分线与⊙相交于．已知，，那么．三、解答题：本大题共6小题，总分值80分。⒗（本小题总分值12分）已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）假设，求的值．⒘（本小题总分值12分）已知递增的等比数列满足，且的等差中项（1）求数列的通项公式；（2）假设，求数列的前项和日销售量频数频率18.（本小题总分值14分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进展统计，最近50天的统计结果如下：⑴填充上表；⑵假设以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立．8/8\n①5天中该种商品恰好有2天的销售量为吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求的分布列和数学期望．图3⒚（本小题总分值14分）如图3，直四棱柱的底面是菱形，，其侧面展开图是边长为的正方形。、分别是侧棱、上的动点，．⑴证明：；⑵当时，求面与底面所成二面角的正弦值；⑶多面体的体积是否为常数？假设是，求这个常数，假设不是，求的取值范围．⒛（本小题总分值14分）如图，已知定圆，定直线的一条动直线与直线相交于，与圆相交于两点，是中点。（1）当过圆心C时，求证：与垂直；（2）当时，求直线的方程；（3）设，试问是否为定值，假设为定值，请求出的值；假设不为定值，请说明理由21（本小题总分值14分）已知函数，是常数．⑴证明曲线在点的切线经过轴上一个定点；⑵假设对恒成立，求的取值范围；（参考公式：）⑶讨论函数的单调区间．参考答案一、选择题BADCABDC二、填空题9.18⒑1和-2⒒60⒓⒔⒕⒖三、解答题⒗【解】（本小题总分值12分）8/8\n（本小题主要考察正弦定理、余弦定理、同角三角函数的根本关系、解三角形等根底知识，考察运算求解能力）（Ⅰ）解：由余弦定理，得＝．……2分∵，∴．……4分（Ⅱ）解法一：将代入，得．……6分由余弦定理，得．……8分∵，∴．……10分∴．……12分解法二：将代入，得．……6分由正弦定理，得．……8分∵，∴．……10分又，那么，∴．∴．……12分解法三：∵，由正弦定理，得．……6分∵，∴．∴．……8分∴．∴．8/8\n∴．……10分∴．……12分⒘（I）设等比数列的公比为，依题意有，（1）又，将（1）代入得于是有解得又是递增的，故所以--------------（8分）（II）故--------------（12分）18.⑴从左至右两空格依次是、……2分⑵①依题意，随机选取一天，销售量为吨的概率……3分设5天中该种商品有天的销售量为吨，那么～……4分……6分，……6分②的可能取值为4，5，6，7，8……7分，……12分（每个1分）的分布列为45678P0.040.20.370.30.09……13分的数学期望为（千元）……14分19.⑴连接，因为是菱形，所以……1分，因为是直四棱柱，，，所以…2分，因为，所以……3分，因为，所以……4分．⑵设，以为原点，、分别为轴、轴建立空间直角坐标系……5分，8/8\n依题意，菱形的边长为，棱柱侧棱长为，所以，、……6分，设平面的一个法向量为，那么……7分，解得……8分，底面的一个法向量为，设面与底面所成二面角的大小为，那么，……9分．⑶多面体是四棱锥和三棱锥的组合体……10分，依题意，，……11分，三棱锥的高，是四棱锥的高…12分，所以…13分，是常数…14分．⒛解:（I）由已知，又圆心，那么，故所以直线与垂直。(3分)（Ⅱ）当直线；（4分）当直线与轴不垂直时，设直线的方程为所以（6分）故直线的方程为（7分）（Ⅲ）当与轴垂直时，易得又故当的斜率存在时，设直线的方程为代入圆的方程得那么即又由8/8\n故综上，的值为定值，且另解一：连结，延长交于点由（I）知故由故另解二：连结并延长交直线于点，连结都在以为直径的圆上，由相交弦定理得21.⑴，，……1分……2分，曲线在点的切线为……3分，当时，由切线方程得，所以切线经过轴上的定点……4分．⑵由得……5分，对，，所以……6分，设，那么……7分，在区间单调递减……8分，所以，的取值范围为……9分．⑶函数的定义域为，=……10分．假设，那么，在定义域上单调增加……11分；8/8\n假设，解方程得，……12分，，当或时，；当时，……13分，所以的单调增区间是和，单调减区间是（区间无论包含端点、均可，但要前后一致）……14分．8/8
