专题9.6双曲线【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测双曲线(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(2)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.(3)了解圆锥曲线的简单应用.(4)理解数形结合的思想.2022•新课标I.4;2022•新课标I.4;2022•新课标I.16；II.15;2022•新课标I.5;II.5.1.考查双曲线的定义，与双曲线的焦点三角形结合；2.考查双曲线的标准方程，结合双曲线的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；3.考查双曲线的几何性质，较多地考查离心率问题；4.考查双曲线、椭圆或抛物线的综合问题.5.备考重点：(1)掌握双曲线的定义、标准方程、几何性质，关注双曲线的“特征三角形”；（2）熟练运用方程思想及待定系数法；（3）利用数形结合思想，灵活处理综合问题.【知识清单】1.双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)10\n图形对点练习：【2022天津，文5】已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（）（A）（B）（C）（D）【答案】2.双曲线的几何性质双曲线的几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)10\n渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长．a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)对点练习：【2022课标II，文5】若，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意，因为，所以，则，故选C.【考点深度剖析】纵观近几年的高考试题，高考对双曲线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查双曲线的标准方程，结合双曲线的定义及双曲线基本量之间的关系，利用待定系数法求解；二是考查双曲线的几何性质，较多地考查离心率、渐近线问题；三是考查双曲线与圆、椭圆或抛物线相结合的问题，综合性较强.命题以小题为主，多为选择题或填空题，近几年无解答题.【重点难点突破】考点1双曲线的定义及标准方程【1-1】【2022课标3，理5】已知双曲线C：(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（）A．B．C．D．【答案】B10\n【1-2】【2022届陕西省榆林市第二中学高三上学期期中】已知双曲线的两个焦点分别为，，点是双曲线上一点，且，则该双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由双曲线定义知，所以.两个焦点分别为，，所以.所以有：,所以.双曲线的渐近线方程为.故选C.【综合点评】1.双曲线的轨迹类型是；2．双曲线标准方程的求解方法是”待定系数法”，“先定型，后计算”．【领悟技法】1.待定系数法求双曲线方程的常用方法10\n(1)与双曲线－＝1共渐近线的可设为－＝λ(λ≠0)；(2)若渐近线方程为y＝±x，则可设为－＝λ(λ≠0)；(3)若过两个已知点则设为＋＝1(mn<0)．2．应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．3．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a、b、c的关系易错易混．【触类旁通】【变式一】【2022届重庆市巴蜀中学高三9月月考】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为异于的两点，且的中点在双曲线的左支上，点关于和的对称点分别为，则的值为（）A.26B.C.52D.【答案】D【解析】设MN与双曲线的交点为点P，由几何关系结合三角形中位线可得：，则：，点P位于双曲线的左支，则：.本题选择D选项.【变式二】已知双曲线的左、右焦点分别为，为的右支上一点，且，则的面积等于___________．【答案】48【解析】由题意得，所以，根据双曲线的定义得，是等腰三角形，边上的高为，所以的面积等于．10\n【综合点评】1、在焦点三角形中，注意双曲线的定义和正弦定理、余弦定理交汇解题；2、求双曲线方程需要两个独立条件．考点2双曲线的简单几何性质【2-1】【2022北京，文10】若双曲线的离心率为，则实数m=__________．【答案】2【解析】，所以，解得.【2-2】【2022届广东省阳春市第一中学高三上第二次月考】若圆关于直线对称，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】圆的半径为：，满足题意时，直线过圆心，即，双曲线的离心率为：.本题选择C选项.【2-3】【2022江苏，8】在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,,其焦点是,则四边形的面积是.【答案】【综合点评】1．已知渐近线方程y＝mx，若焦点位置不明确要分m＝或m＝讨论，求离心率值，需要寻求的等式，求离心率取值范围，需寻求关于的不等式关系，并结合求．10\n2．注意数形结合思想在处理渐近线夹角，离心率范围求法中的应用．【领悟技法】1．双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a＞0，b＞0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，)；若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝；若0＜a＜b，则双曲线的离心率e＞.2．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a、b、c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.3．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．4．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b5．渐近线与离心率－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为＝＝＝.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．【触类旁通】【变式1】【2022课表1，文5】已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为A．B．C．D．【答案】D【解析】【变式2】【2022届湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学高三上学期期中联考】已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，则E的离心率为（ ）10\nA.B.C.2D.【答案】B【解析】由题意可知：双曲线的右焦点，由关于原点的对称点为则四边形为平行四边形则由，根据椭圆的定义在中，则，整理得则双曲线的离心率故答案选【综合点评】1、充分利用条件列关于的等式或不等式，可得离心率的取值或取值范围；2、双曲线的渐近线是与之间的比值关系，再结合，可得的关系，及离心率的关系，从这点而言，渐近线方程和离心率是有联系的．【易错试题常警惕】易错典例：已知圆，圆都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程．易错分析：忽视双曲线定义．10\n正确解析：圆O2：，即为所以圆O2的圆心为,半径,而圆的圆心为,半径,设所求动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r则且，所以且,点M的轨迹为双曲线右支，方程为．温馨提示：双曲线的轨迹类型是．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.【典例】【2022届浙江省名校协作体高三下学期考试】设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离心率的值是_______.【答案】【解析】由题意可知，双曲线的渐近线为，右焦点为，则点的坐标分别为，所以的坐标为，又，则10\n，即，又，易解得，所以.10
