9．3线面垂直、三垂线定理一、明确复习目标1．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理，能用文字、符号、图形标准表述.2．掌握三垂线定理及其逆定理3．通过线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化提高化归转化能力.4．会求斜线与平面所成的角.二．建构知识网络1．直线和平面垂直定义：一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直.记作：a⊥α2．直线与平面垂直的判定方法：（1）判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么那么线垂直；（2）依定义，一般要用反证法；（3）和直线的垂面平行的平面垂直于直线；（4）面面垂直的性质.3．直线和平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.4．点到平面的距离、直线和平面的距离以及面面距离的求法：找出垂线段，在一个平面内求，或用等积法、向量法求，5．斜线、射影、直线和平面所成的角：定义——-12-/12\n性质：从平面外一点向平面所引的垂线段和斜线段中（1）垂线段最短；（2）斜线段相等<=>射影相等；(3)斜线段较长（短）<=>射影较长（短）.6．三垂线定理：平面内的直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和斜线垂直。三垂线定理的逆定理：平面内的直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直用途：判定线线垂直=>线面垂直，二面角的平面角.三、双双基题目练练手1.已知a，b，c是直线，a，b是平面，以下条件中，能得出直线a⊥平面a的是（）A.a⊥c,a⊥b，其中bÌa,cÌaB.a⊥b,b∥aC.a⊥b，a∥bD.a∥b,b⊥a2.如果直线l⊥平面a，①假设直线m⊥l,那么m∥a；②假设m⊥a,那么m∥l；③假设m∥a,那么m⊥l；④假设m∥l,那么m⊥a,上述判断正确的选项是（）-12-/12\nA.①②③B.②③④C.①③④D.②④3.直角△ABC的斜边BC在平面a内，顶点A在平面a外，那么△ABC的两条直角边在平面a内的射影与斜边BC组成的图形只能是（）A.一条线段B.一个锐角三角形C.一个钝角三角形D.一条线段或一个钝角三角形4.已知P为Rt△ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC，D为斜边AB的中点，那么直线PD与平面ABC.（）A．垂直B.斜交C.成600角D.与两直角边长有关5．直线a,b,c是两两互相垂直的异面直线，直线d是b和c的公垂线，那么d和a的位置关系是______________.6．（2022浙江）正四面体ABCD的棱长为l，棱AB∥平面，那么正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是______.◆答案提示：1-3.DBDA;5.a∥d;6..CD⊥平面α时射影面积最小；CD//α时射影面积最大.-12-/12\n四、经典例题做一做【例1】AD为△ABC中BC边上的高，在AD上取一点E，使AE=DE，过E点作直线MN∥BC，交AB于M，交AC于N，现将△AMN沿MN折起，这时A点到A¢点的位置，且ÐA¢ED=60°，求证：A¢E⊥平面A¢BC.ABCDMNA¢E【例2】如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平ABCPEF面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，求证：（1）BC⊥平面PAB；（2）AE⊥平面PBC；（3）PC⊥平面AEF.证明：（1）PA⊥平面ABCBC⊥平面PAB.PA⊥BCAB⊥BCPA∩AB=A（2）AE平面PAB，AE⊥平面PBC.由（1）知AE⊥BCAE⊥PBPB∩BC=B（3）PC平面PBC，PC⊥平面AEF.由（2）知PC⊥AEPC⊥AF-12-/12\nAE∩AF=A【例3】如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ÐACB=90°,AC=1,CB=，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交于点D，B1C1的中点为M，求证：CD^平面BDM证明：在直三棱柱中，又∴平面，∵，∴，∴，连结，那么上的射影,也是CD的射影在中，在中，，∴,∴，∴，∴平面.-12-/12\n◆总结提练：证线面垂直,要注意线线垂直与线面垂直关系与它之间的相互转化证线线垂直常用余弦定理、勾股定理逆定理,三垂线定理或通过线面垂直.【例4】（2022浙江）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，分别为、的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求与平面所成的角.解：（I）∵是的中点，，∴.∵平面，∴，从而平面.∵平面，∴.PNBCMDA（II）取的中点，连结、，那么，∴与平面所成的角和与面所成的角相等.∵平面，∴NG是BG在面ADMN内的射影,是与平面所成的角.在中，.故与平面所成的角是.五．提炼总结以为师1.熟练掌握线面垂直的判定定理及性质定理.2.证明线面垂直的常用方法：-12-/12\n（1）用判定定理；（2）与直线的垂面平行（3）用面面垂直的性质定理；（4）同一法.（5）用活三垂线定理证线线垂直.3．线面角的求法：作出射影转化为平面内的角.同步练习9.3线面垂直、三垂线定理【选择题】1.假设两直线a⊥b，且a⊥平面a，那么b与a的位置关系是（）A、相交B、b∥aC、b∥a，或bÌaD、bÌa2.以下命题中正确的选项是（）A.过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个B.过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个C.过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条D.过平面的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个3.给出以下命题：①假设平面α的两条斜线段PA、PB在α内的射影长相等，那么PA、PB的长度相等；②已知PO是平面α的斜线段，AO是PO在平面α内的射影，假设OQ⊥OP，那么必有OQ⊥OA；③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个；-12-/12\n④平面α内有两条直线a、b都与另一个平面β平行，那么α∥β．上述命题中不正确的选项是 （）A.①②③④B.①②③C.①③④D.②③④4.PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任一点，那么以下关系不正确的选项是（）APA⊥BCBBC⊥平面PACCAC⊥PBDPC⊥BC【填空题】5.△ABC的三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为2cm、3cm、4cm，且它们在α的同侧，那么△ABC的重心到平面α的距离为______6.在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件_______时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）◆答案提示：1-4CDAC；5.3cm;6.AC⊥BD或四边形ABCD菱形等;【解答题】7．如图ABCD是矩形，PA^平面ABCD，DPAD是等腰三角形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN^平面PCDABCDMNP证略8．（2022福建）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：平面BCD；-12-/12\n（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离.解法一：（I）证明:证∠AOB=900.（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.在中，是直角斜边AC上的中线，AB与CD所成角的大小为（III）等积法得即为所求.9.正方形ABCD中，AB=2，E是AB边的中点，F是BC边上一点，将△AED及△DCF折起（如以以下图），使A、C点重合于A′点.（1）证明：A′D⊥EF；（2）当F为BC的中点时，求A′D与平面DEF所成的角；-12-/12\n（3）当BF=BC时，求三棱锥A′—EFD的体积.（1）证明：略（2）解：取EF的中点G，连结A′G、DG…………平面DEF⊥平面A′DG.作A′H⊥DG于H，得A′H⊥平面DEF，∴∠A′DG为A′D与平面DEF所成的角.在Rt△A′DG中，A′G=，A′D=2，∴∠A′DG=arctan.(3)解：∵A′D⊥平面A′EF，∴A′D是三棱锥D—A′EF的高.又由BE=1，BF=推出EF=，可得S=，VA′－EFD=VD－A′EF=·S·A′D=··2=.10．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，AB=CC1=a，BC=b.（1）设E、F分别为AB1、BC1的中点，求证：EF∥平面ABC；-12-/12\n（2）求证：A1C1⊥AB；（3）求点B1到平面ABC1的距离.（1）证明：∵E、F分别为AB1、BC1的中点，∴EF∥A1C1.∵A1C1∥AC，∴EF∥AC.∴EF∥平面ABC.（2）证明：∵AB=CC1，∴AB=BB1.又三棱柱为直三棱柱，∴四边形ABB1A1为正方形.连结A1B，那么A1B⊥AB1.又∵AB1⊥BC1，∴AB1⊥平面A1BC1.∴AB1⊥A1C1.又A1C1⊥AA1，∴A1C1⊥平面A1ABB1.∴A1C1⊥AB.（3）解：∵A1B1∥AB，∴A1B1∥平面ABC1.∴A1到平面ABC1的距离等于B1到平面ABC1的距离.过A1作A1G⊥AC1于点G，∵AB⊥平面ACC1A1，∴AB⊥A1G.从而A1G⊥平面ABC1，故A1G即为所求的距离，即A1G=.评述：此题（3）也可用等体积变换法求解.【探索题】（2022年春季上海）如以以下图，点P为斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.（1）求证：CC1⊥MN；-12-/12\n（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2－2DF·EFcos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.（1）证明：∵CC1∥BB1CC1⊥PM，CC1⊥PN，∴CC1⊥平面PMNCC1⊥MN.（2）解：S2=S2+S2－2S·Scosα，其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角.∵CC1⊥平面PMN，∴上述的二面角为∠MNP.在△PMN中,PM2=PN2+MN2－2PN．MNcos∠MNPPM2CC12=PN2CC12+MN2CC12－2（PN·CC1）·（MN·CC1）cos∠MNP.∵=PN·CC1，=MN·CC1，S=PM·BB1，∴S2=S2+S2－2S·Scosα-12-/12
