第一节 不等式的概念与性质考点 不等式与不等式的性质1.(2022·浙江，6)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A.ax＋by＋czB.az＋by＋cxC.ay＋bz＋cxD.ay＋bx＋cz解析 作差比较，∵x＜y＜z，a＜b＜c，则(az＋by＋cx)－(ax＋by＋cz)＝a(z－x)＋c(x－z)＝(a－c)(z－x)＜0，∴az＋by＋cx＜ax＋by＋cz；(az＋by＋cx)－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(a－b)(z－y)＜0，∴az＋by＋cx＜ay＋bz＋cx；(ay＋bz＋cx)－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(b－c)(z－x)＜0，∴ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz，∴az＋by＋cx最小.故选B.答案 B2.(2022·浙江，7)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则( )A.c≤3B.3＜c≤6C.6＜c≤9D.c＞9解析 由已知得，解得，又0＜f(－1)＝c－6≤3，所以6＜c≤9.答案 C3.(2022·四川，5)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )A.＞B.＜C.＞D.＜解析 ∵c＜d＜0，4\n∴0＞＞，∴－＞－＞0，又a＞b＞0，∴－＞－，故选B.答案 B4.(2022·北京，2)设a，b，c∈R，且a＞b，则( )A.ac＞bcB.＜C.a2＞b2D.a3＞b3解析 A选项中若c小于等于0则不成立，B选项中若a为正数b为负数则不成立，C选项中若a，b均为负数则不成立，故选D.答案 D5.(2022·浙江，10)设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝a∨b＝若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则( )A.a∧b≥2，c∧d≤2B.a∧b≥2，c∨d≥2C.a∨b≥2，c∧d≤2D.a∨b≥2，c∨d≥2解析 由题意知，运算“∧”为两数中取小，运算“∨”为两数中取大，由ab≥4知，正数a，b中至少有一个大于等于2.由c＋d≤4知，c，d中至少有一个小于等于2，故选C.答案 C6.(2022·湖南，7)设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：①＞；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c).其中所有的正确结论的序号是( )A.①B.①②C.②③D.①②③解析 根据不等式的性质构造函数求解.∵a＞b＞1，∴＜.又c＜0，∴＞，故①正确.构造函数y＝xc.4\n∵c＜0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数.又a＞b＞1，∴ac＜bc，故②正确.∵a＞b＞1，－c＞0，∴a－c＞b－c＞1.∵a＞b＞1，∴logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)，即logb(a－c)＞loga(b－c)，故③正确.答案 D7.(2022·浙江，6)若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 若0＜ab＜1，当a＜0时，b＞.反之，若b＜，当a＜0时，ab＞1，故选D.答案 D8.(2022·四川，16)设a，b为正实数.现有下列命题：①若a2－b2＝1，则a－b＜1；②若－＝1，则a－b＜1；③若|－|＝1，则|a－b|＜1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|＜1.其中的真命题有________(写出所有真命题的编号).解析 ①中，∵a2－b2＝1，∴a－b＝，而a＞0，b＞0，又a2＝b2＋1＞1，∴a＞1，从而＜1，即a－b＜1，∴①正确.②中，取a＝5，b＝，验证知②错误.③中，取a＝4，b＝1，验证知③错误.④∵a，b是正实数，不妨设a＞b，∴a3－b3＝(a－b)(a2＋b2＋ab)，∴a－b＝＝，4\n∵a3＝1＋b3＞1，∴a2＞1，∴a2＋ab＋b2＞1，则0＜＜1，∴a－b＝＜1，即|a－b|＜1.同理，设a＜b，也能得到|a－b|＜1的结论，故④正确.答案 ①④4
