【大高考】（三年模拟一年创新）2022届高考数学复习第九章第四节双曲线及其性质文（全国通用）A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·邯郸市质检)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y＝－x，则它的离心率为( )A.B.C.D.解析 该双曲线的渐近线为y＝±x，故＝，即＝，e＝＝.答案 B2．(2022·天津市六校联考)以双曲线－＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )A．x2＋y2－10x＋9＝0B．x2＋y2－10x＋16＝0C．x2＋y2＋10x＋16＝0D．x2＋y2＋10x＋9＝0解析 该双曲线的渐近线为y＝±x，右焦点坐标为(5，0)，(5，0)到渐近线的距离为4，故该圆的标准方程为(x－5)2＋y2＝16，即x2＋y2－10x＋9＝0.答案 A3．(2022·山西四校联考)若焦点在x轴上的双曲线－＝1(m>0)的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为( )A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±xD．y＝±x解析 由题意可得a2＝2，b2＝m，因为e＝＝，所以＝＝，m＝1，故渐近线方程为y＝±x＝±x，选A.答案 A二、填空题5\n4．(2022·河北高阳中学第一次月考)F1、F2是双曲线－＝1的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离等于________．解析 设点P到焦点F2的距离为d，则d－9＝±8，解得d＝17或d＝1(不符合，舍去)，所以d＝17.答案 17一年创新演练5．已知斜率为2的直线l与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)交于A，B两点，若点P(2，1)是AB的中点，则C的离心率等于( )A.B.C．2D．2解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程得两式相减得－＝0，即＝，化简得＝，即＝，所以a＝b，则离心率e＝＝＝，故选A.答案 A6．过双曲线C：－＝1的左焦点作倾斜角为的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况是( )A．没有交点B．只有一个交点C．两个交点都在左支上D．两个交点分别在左、右支上解析 该双曲线的渐近线为y＝±x，kl＝tan＝＜，故l与双曲线C的交点分别在左、右两支上．5\n答案 DB组 专项提升测试三年模拟精选填空题7．(2022·济南模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，A，B为左、右顶点，点P为双曲线C的第一象限的任意一点，点O为坐标原点，若直线PA，PB，PO的斜率分别为k1，k2，k3，记m＝k1k2k3，则m的取值范围为________．解析 ∵＝，∴c＝a，b＝＝a，P的坐标为(x，)，m＝k1k2k3＝＝2，∵x2＞a2，∴m∈(0，2)．答案 (0，2)8．(2022·北京西城区检测)设F1，F2为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，且直线y＝2x为双曲线C的一条渐近线，点P为C上一点，如果|PF1|－|PF2|＝4，那么双曲线C的方程为________；离心率为________．解析 由双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a＝4，a＝2，该双曲线的渐近线为y＝±x，得＝2，故b＝4，c＝＝2，因此该双曲线的方程为－＝1，e＝＝.答案 －＝1 9．(2022·辽宁师大附中期中)若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(0，3)，则实数k的值为________．解析 由于双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(0，3)，所以双曲线8kx2－ky2＝8的标准方程可以写成－＝1，所以－－＝9，k＝－1.答案 －15\n10．(2022·北京朝阳期末)已知双曲线中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为(0，2)，则此双曲线的方程是______________，离心率是________．解析 由双曲线的焦点可知c＝，因为线段|PF1|的中点坐标为(0，2)，所以设右焦点为F2，则有PF2⊥x轴，且|PF2|＝4，点P在双曲线右支上．所以|PF1|＝＝＝6，所以|PF1|－|PF2|＝6－4＝2＝2a，所以a＝1，b2＝c2－a2＝4，所以双曲线的方程为x2－＝1，离心率e＝＝.答案 x2－＝1 一年创新演练11．已知P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且·＝0，若△PF1F2的面积为9，则a＋b的值为________．解析 设|PF1|＝x，|PF2|＝y，则由△PF1F2面积为9及·＝0可得xy＝18，∴x2＋y2＝4c2，故(x－y)2＝4c2－36＝4a2，又e＝，∴c＝5，a＝4，∴b＝3，∴a＋b＝7.答案 712．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F2作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A，B，若＝，则双曲线的渐近线方程为( )A．3x±y＝0B．x±3y＝0C．2x±3y＝0D．3x±2y＝0解析 过右焦点F2(c，0)的直线方程为y＝c－x，由＝可知点A为线段F2B的中点，由渐近线方程和直线方程可得点B坐标为，故F2B的中点A的坐标为，将点A坐标代入渐近线y＝x得b＝3a，故所求渐近线方程为y＝±x＝±3x，即3x±y＝0.答案 A5\n5
