第十章 推理与证明、算法与复数考点33 推理与证明两年高考真题演练1．(2022·湖北)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为( )A．77B．49C．45D．302．(2022·广东)若集合E＝{(p，q，r，s)|0≤p<s≤4，0≤q<s≤4，0≤r<s≤4且p，q，r，s∈N}，F＝{(t，u，v，w)|0≤t<u≤4，0≤v<w≤4且t，u，v，w∈N}，用card(X)表示集合X中的元素个数，则card(E)＋card(F)＝( )A．200B．150C．100D．503．(2022·陕西)观察下列等式1－＝1－＋－＝＋1－＋－＋－＝＋＋……据此规律，第n个等式可为________．4．(2022·陕西)已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋则f2014(x)的表达式为______．5．(2022·北京)顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为________个工作日．6．(2022·江苏)设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列．(1)证明：2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列；(2)是否存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在a1，d及正整数n，k，使得a，a，a，a16\n依次构成等比数列？并说明理由．16\n考点33 推理与证明一年模拟试题精练1．(2022·吉林四校调研)设a、b、c都是正数，则a＋，b＋，c＋三个数( )A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于22．(2022·河北保定模拟)定义AB，BC，CD，DB分别对应下列图形( )那么下列图形中，可以表示AD，AC的分别是( )A．(1)(2)B．(2)(3)C．(2)(4)D．(1)(4)3．(2022·宜昌调研)给出下列两种说法：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是( )A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确4．(2022·淮南模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )A．2011B．2012C．2013D．20145．(2022·泉州模拟)设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S16\n，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知，四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，四面体ABCD的体积为V，内切球半径为R，则R＝________．6．(2022·黄山模拟)在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α＋cos2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则________．7．(2022·莱芜模拟)如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．8．(2022·北京模拟)若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，且f(1)＝2，则＋＋…＋＝________．9．(2022·昆明一中检测)甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是________．10．(2022·湖北八校一联)观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，……，由以上等式推测出一个一般性的结论：对于n∈N*，12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝________．11．(2022·宝鸡市质检)观察等式：①×13＋×12＋×1＝12，②×23＋×22＋×2＝12＋22，③×33＋×32＋×3＝12＋22＋32，…，以上等式都是成立的，照此写下去，第2015个成立的等式是________．12．(2022·武汉市调研)平面几何中有如下结论：如图1，设O是等腰Rt△ABC底边BC的中点，AB＝1，过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q，R，则有＋＝2.类比此结论，将其拓展到空间有：如图2，设O是正三棱锥A－BCD底面BCD的中心，AB，AC，AD两两垂直，AB＝1，过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q，R，P，则有________．16\n考点34 算法与复数两年高考真题演练1．(2022·福建)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出y的值为( )A．2B．7C．8D．128 第1题图 第2题图2．(2022·天津)阅读上边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )A．2B．3C．4D．53．(2022·北京)执行如图所示的程序框图，输出的k值为( )A．3B．4C．5D．64．(2022·四川)执行如图所示的程序框图，输出S的值为( )A．－B.C．－D.16\n 第3题图 第4题图 第5题图5．(2022·重庆)执行如图所示的程序框图，则输出s的值为( )A.B.C.D.6．(2022·新课标Ⅰ)执行下面的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝( )A.B.C.D. 第6题图 第7题图7．(2022·新课标Ⅱ)执行上面的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S＝( )A．4B．5C．6D．78．(2022·新课标全国Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝( )A．－2－iB．－2＋iC．2－iD．2＋i9．(2022·新课标全国Ⅱ)若a为实数，且＝3＋i，则a＝( )A．－4B．－3C．3D．416\n10．(2022·广东)已知i是虚数单位，则复数(1＋i)2＝( )A．2iB．－2iC．2D．－211．(2022·山东)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝( )A．1－iB．1＋iC．－1－iD．－1＋i12．(2022·安徽)设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝( ) A．3＋3iB．－1＋3iC．3＋iD．－1＋i13．(2022·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．(2022·福建)复数z＝(3－2i)i的共轭复数z等于( )A．－2－3iB．－2＋3iC．2－3iD．2＋3i16\n考点34 算法与复数一年模拟试题精练1．(2022·北京西城区期末)执行如图所示的程序框图，输出的x的值为( )A．4B．5C．6D．7 第1题图 第2题图2．(2022·云南名校统考)执行如图所示的程序框图，输出的S值为－4时，则输入的S0的值为( )A．7B．8C．9D．103．(2022·湖北八校一联)如图给出的是计算＋＋＋…＋的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A．i≤2013?B．i≤2015?C．i≤2017?D．i≤2019? 第3题图 第4题图4．(2022·宝鸡市质检)某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值等于( )16\nA．1B.C.D.5．(2022·四川省统考)某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内应填( )A．k>4?B．k>5?C．k>6?D．k>7? 第5题图 第6题图6．(2022·晋冀豫三省调研)执行如图所示的程序框图，输出S的值为( )A．3B．－6C．10D．127．(2022·贵阳市模拟)复数z＝3－2i，i是虚数单位，则z的虚部是( )A．2iB．－2iC．2D．－28．(2022·郑州一预)设i是虚数单位，若复数m＋(m∈R)是纯虚数，则m的值为( )A．－3B．－1C．1D．39．(2022·邯郸市质检)已知i是虚数单位，则复数z＝的虚部是( )A．0B．iC．－iD．110．(2022·汕头市监测)复数的实部与虚部之和为( )A．－1B．2C．1D．011．(2022·唐山一期检测)若复数z＝(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则z的值为( )A．2B．3C．3iD．2i12．(2022·唐山摸底)复数z＝，则( )A．|z|＝2B．z的实部为1C．z的虚部为－iD．z的共轭复数为－1＋i16\n13．(2022·福州市质检)在复平面内，两共轭复数所对应的点( )A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x参考答案第十章 推理与证明、算法与复数考点33 推理与证明【两年高考真题演练】1．C [如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A⊕B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3，3)，(3，－3)，(3，3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“”＋所有“”圆点＋所有圆点“”，共45个．故A⊕B中元素的个数为45.故选C.]2．A [当s＝4时，p，q，r都可取0，1，2，3中的一个，有43＝64种，当s＝3时，p，q，r都可取0，1，2中的一个，有33＝27种，当s＝2时，p，q，r都可取0，1中的一个，有23＝8种，当s＝1时，p，q，r都可取0，有1种，∴card(E)＝64＋27＋8＋1＝100.当t＝0时，u可取1，2，3，4中的一个，有4种，当t＝1时，u取2，3，4中的一个，有3种，当t＝2时，u可取3，4中的一个，有2种，当t＝3时，u可取4，有一种，∴t，u取值有1＋2＋3＋4＝10种，同样地，v，w的取值也有10种，则card(F)＝10×10＝100种，∴card(E)＋card(F)＝100＋100＝200种．]3．1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ [等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1－＋－＋…＋－；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个有n项，且有前几个的规律不难发现第n个等式右边应为＋16\n＋…＋.]4．f2014(x)＝ [f1(x)＝，f2(x)＝＝，f3(x)＝＝，…，由数学归纳法得f2014(x)＝.]5．42 [为使交货期最短，需徒弟先对原料B进行粗加工，用时6个工作日，再由工艺师对原料B进行精加工，用时21个工作日，在此期间徒弟再对原料A进行粗加工，不会影响工艺师加工完原料B后直接对原料A进行精加工，所以最短交货期为6＋21＋15＝42(个)工作日．]6．(1)证明 因为＝2an＋1－an＝2d(n＝1，2，3)是同一个常数，所以2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列，(2)解 令a1＋d＝a，则a1，a2，a3，a4分别为a－d，a，a＋d，a＋2d(a＞d，a＞－2d，d≠0)．假设存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列，则a4＝(a－d)(a＋d)3，且(a＋d)6＝a2(a＋2d)4.令t＝，则1＝(1－t)(1＋t)3，且(1＋t)6＝(1＋2t)4，化简得t3＋2t2－2＝0(*)，且t2＝t＋1.将t2＝t＋1代入(*)式，t(t＋1)＋2(t＋1)－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0，则t＝－.显然t＝－不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立．因此不存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列．(3)解 假设存在a1，d及正整数n，k，使得a，a，a，a依次构成等比数列，则a(a1＋2d)n＋2k＝(a1＋d)2(n＋k)，且(a1＋d)n＋k(a1＋3d)n＋3k＝(a1＋2d)2(n＋2k)．分别在两个等式的两边同除以a及a，并令t＝，则(1＋2t)n＋2k＝(1＋t)2(n＋k)，16\n且(1＋t)n＋k(1＋3t)n＋3k＝(1＋2t)2(n＋2k)．将上述两个等式两边取对数，得(n＋2k)ln(1＋2t)＝2(n＋k)ln(1＋t)，且(n＋k)ln(1＋t)＋(n＋3k)ln(1＋3t)＝2(n＋2k)ln(1＋2t)．化简得2k[ln(1＋2t)－ln(1＋t)]＝n[2ln(1＋t)－ln(1＋2t)]，且3k[ln(1＋3t)－ln(1＋t)]＝n[3ln(1＋t)－ln(1＋3t)]．再将这两式相除，化简得ln(1＋3t)ln(1＋2t)＋3ln(1＋2t)ln(1＋t)＝4ln(1＋3t)ln(1＋t)(**)．令g(t)＝4ln(1＋3t)ln(1＋t)－ln(1＋3t)ln(1＋2t)－3ln(1＋2t)ln(1＋t)，则g′(t)＝.令φ(t)＝(1＋3t)2ln(1＋3t)－3(1＋2t)2ln(1＋2t)＋3(1＋t)2ln(1＋t)，则φ′(t)＝6[(1＋3t)ln(1＋3t)－2(1＋2t)ln(1＋2t)＋(1＋t)ln(1＋t)]．令φ1(t)＝φ′(t)，则φ1′(t)＝6[3ln(1＋3t)－4ln(1＋2t)＋ln(1＋t)]．令φ2(t)＝φ1′(t)，则φ2′(t)＝＞0.由g(0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t)＞0，知φ2(t)，φ1(t)，φ(t)，g(t)在和(0，＋∞)上均单调．故g(t)只有唯一零点t＝0，即方程(**)只有唯一解t＝0，故假设不成立．所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a，a，a，a依次构成等比数列．【一年模拟试题精练】1．D [利用反证法证明．假设三个数都小于2，则a＋＋b＋＋c＋＜6，而a＋＋b＋＋c＋≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾．故选D.]2．C [由AB，BC知，B是大正方形，A是|，C是—，由CD知，D是小正方形，∴AD为小正方形中有竖线，即(2)正确，AC为＋，即(4)正确．故选C.]3．D [反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q>2，所以①错误；对于②，其假设正确．]4．B [设最小的数为x，则其它8个数分别为x＋7，x＋8，x＋9，x＋14，x＋15，x＋16，x＋17，x＋18，故9个数之和为x＋3(x＋8)＋5(x＋16)＝9x＋104，当x＝212时，9x＋104＝2012.]16\n5. [V＝S1·R＋S2·R＋S3·R＋S4·R＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，R＝.]6．cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2 [设α，β，γ是AC1分别与面ABCD1，面ABB1A1，面BCC1B1所成的角．cosα＝，cosβ＝，cosγ＝，cos2α＋cos2β＋cos2γ＝＝2.]7. [f(x)＝sinx，≤f即sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝3sin＝.故sinA＋sinB＋sinC的最大值为.]8．2014 [令a＝n，b＝1，则f(n＋1)＝f(n)·f(1)，即：＝f(1)＝2，故：＋＋…＋＝2×1007＝2014.]9．甲 [假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；故答案为：甲．]10．(－1)n＋1· [12＝1＝(－1)2；12－22＝－3＝(－1)3；12－22＋32＝6＝(－1)4；12－22＋32－42＝－10＝(－1)5，…，12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1·n2＝(－1)n＋1·.]11.×20153＋×20152＋×2015＝12＋22＋…＋20222 [①：×13＋×12＋×1＝12；②：×23＋×22＋×2＝12＋22；③：×33＋×32＋×3＝12＋22＋32，……；2015：×20153＋×20152＋×2015＝12＋22＋…＋20152]12.＋＋＝3 [设O到各个平面的距离为d，而VR－AQP＝S△AQP·AR＝··AQ·AP·AR＝AQ·AP·AR，16\n又∵VR－AQP＝VO－AQP＋VO－ARP＋VO－AQR＝S△AQP·d＋S△ARP·d＋S△AQR·d＝(AQ·AP＋AR·AP＋AQ·AR)dAQ·AP·AR＝(AQ·AP＋AR·AP＋AQ·AR)d，即＋＋＝d，而VA－BDC＝S△BDC·h＝··2·＝，VO－ABD＝VA－BDC＝，即·S△ABD·d＝··d＝⇒d＝3，∴＋＋＝3.]考点34 算法与复数【两年高考真题演练】1．C [当x＝1时，执行y＝9－1＝8.输出y的值为8，故选C.]2．C [运行相应的程序．第1次循环：i＝1，S＝10－1＝9；第2次循环：i＝2，S＝9－2＝7；第3次循环：i＝3，S＝7－3＝4；第4次循环：i＝4，S＝4－4＝0；满足S＝0≤1，结束循环，输出i＝4.故选C.]3．B [第一次循环：a＝3×＝，k＝1；第二次循环：a＝×＝，k＝2；第三次循环：a＝×＝，k＝3；第四次循环：a＝×＝<，k＝4.故输出k＝4.]4．D [每次循环的结果为k＝2，k＝3，k＝4，k＝5＞4，∴S＝sin＝.]5．D [s＝＋＋＋＝，即输出s的值为.]16\n6．D [当n＝1时，M＝1＋＝，a＝2，b＝；当n＝2时，M＝2＋＝，a＝，b＝；当n＝3时，M＝＋＝，a＝，b＝；n＝4时，终止循环．输出M＝.]7．D [k＝1，M＝×2＝2，S＝2＋3＝5；k＝2，M＝×2＝2，S＝2＋5＝7；k＝3，3>t，∴输出S＝7，故选D.]8．C [由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i.]9．D [由＝3＋i，得2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，即ai＝4i，因为a为实数，所以a＝4.故选D.]10．A [(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i.]11．A [∵＝i，∴z＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i，∴z＝1－i.]12．C [(1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝1＋i＋2＝3＋i，故选C.]13．B [实部为－2，虚部为1的复数为－2＋i，所对应的点位于复平面的第二象限，选B.]14．C [因为复数z＝(3－2i)i＝2＋3i，所以z＝2－3i，故选C.]【一年模拟试题精练】1．C [x＝3，y＝23＝8<10＋3＋3＝33；x＝3＋1＝4.y＝24＝16<10×4＋3＝43；x＝4＋1＝5，y＝25＝32<10×5＋3＝53；x＝5＋1＝6，y＝26＝64>10×6＋3＝63，故输出的x值为6.]2．D [由题意知S0应为偶数，排除选项A、C.当S0＝8时，i＝1<4，S＝8－2＝6；i＝2<4，S＝6－22＝2；i＝3<4，S＝2－23＝－6；i＝4＝4，输出S＝－6，排除B，故选D.]3．B [i＝2，S＝0；S＝0＋，i＝4；S＝＋，i＝6；…，S＝＋＋…＋，i＝2014；要计算S＝＋＋…＋＋，应满足i≤2015.]4．C [S＝1＝1，k＝1<2015；S＝<1，k＝2<2015；s＝2×＝<1，k＝3<2015；16\nS＝×2＝<1，k＝4<2022；S＝×2＝1，k＝5<2015循环周期为4，2015＝4×503＋3，S＝1＝1，k＝2013<2015；S＝，k＝2014<2015；S＝×2＝<1，k＝2015＝2015，S＝×2＝<1，k＝2016>2015，输出S＝.]5．A [k＝1，S＝1；k＝2，S＝2×1＋2＝4；k＝3，S＝2×4＋3＝11；k＝4，S＝2×11＋4＝26；k＝5，S＝2×26＋5＝57要输出S＝57，需k>4.]6．C [当i＝1时，1<5为奇数，S＝－1，i＝2；当i＝2时，2<5为偶数，S＝－1＋4＝3，i＝3；当i＝3时，3<5为奇数，S＝3－33＝－5，i＝4；当i＝4时，4<5为偶数，S＝－6＋42＝10，i＝5；当i＝5时，5≥5，输出S＝10.]7．D [z＝3－2i的虚部为－2.]8．A [∵m＋＝m＋3－i为纯虚数，∴m＋3＝0，即m＝－3.]9．D [∵z＝＝i，∴z的虚部为1.]10．B [＝1＋i，故其实部与虚部之和为1＋1＝2.]11．C [∵z＝＝＋i为纯虚数，∴＝0，即a＝6，∴z＝3i.]12．D [∵z＝＝－1－i，∴|z|＝，z的实部为－1，虚部为－1，z的共轭复数为－1＋i，故选D.]13．A [∵z＝a＋bi的共轭复数z＝a－bi，∴z和z关于x轴对称．]16
