第二章 函数与导数考点3 函数的概念及表示两年高考真题演练1.(2022·重庆)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是( )A．[－3，1]B．(－3，1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)2．(2022·湖北)函数f(x)＝＋lg的定义域为( )A．(2，3)B．(2，4]C．(2，3)∪(3，4]D．(－1，3)∪(3，6]3．(2022·陕西)设f(x)＝则f(f(－2))＝( )A．－1B.C.D.4．(2022·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )A．－B．－C．－D．－5．(2022·山东)设函数f(x)＝若f＝4，则b＝( )A．1B.C.D.6．(2022·湖北)设x∈R，定义符号函数sgnx＝则( )A．|x|＝x|sgnx|B．|x|＝xsgn|x|C．|x|＝|x|sgnxD．|x|＝xsgnx7．(2022·浙江)设实数a，b，t满足|a＋1|＝|sinb|＝t( )A．若t确定，则b2唯一确定B．若t确定，则a2＋2a唯一确定C．若t确定，则sin唯一确定D．若t确定，则a2＋a唯一确定8．(2022·山东)函数f(x)＝的定义域为( )A．(0，2)B．(0，2]57\nC．(2，＋∞)D．[2，＋∞)9．(2022·江西)已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f[g(1)]＝1，则a＝( )A．1B．2C．3D．－110．(2022·浙江)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则( )A．c≤3B．3＜c≤6C．6＜c≤9D．c＞911．(2022·江西)已知函数f(x)＝(a∈R)，若f[f(－1)]＝1，则a＝( )A.B.C．1D．212．(2022·福建)在平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的“L距离”定义为||P1P2||＝|x1－x2|＋|y1－y2|，则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L距离”之和等于定值(大于||F1F2||)的点的轨迹可以是( )13．(2022·安徽)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．14．(2022·湖北)如图所示，函数y＝f(x)的图象由两条射线和三条线段组成．若∀x∈R，f(x)＞f(x－1)，则正实数a的取值范围为________．15．(2022·浙江)设函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a＝________．考点3 函数的概念及表示一年模拟试题精练1.(2022·湛江市高三调研)函数f(x)＝的定义域是( )A．RB．(0，3)C．(1，3)D.∪57\n2．(2022·黄冈中学期中)函数f(x)＝－lg(x－1)的定义域是( )A．(－∞，2]B．(2，＋∞)C．(1，2]D．(1，＋∞)3．(2022·抚州市模拟)函数y＝＋的定义域是( )A．[－1，0)∪(0，1)B．[－1，0)∪(0，1]C．(－1，0)∪(0，1]D．(－1，0)∪(0，1)4．(2022·临川一中检测)已知函数y＝f(x－1)的定义域为[1，3]，则函数y＝f(log3x)的定义域为( )A．[1，9]B．[0，1]C．[0，2]D．[0，9]5．(2022·眉山市一诊)若f(x)＝4log2x＋2，则f(2)＋f(4)＋f(8)＝( )A．12B．24C．30D．486．(2022·江西省质检三)已知函数f(x)＝则f[f(2015)]等于( )A.B．－C．1D．－17．(2022·江西省监测)已知f(x)＝则f(3)＝( )A.B．－C．－1D．38．(2022·济宁市统考)若点(16，2)在函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象上，则tan的值为( )A．－B．－C.D.9．(2022·武昌区调研)函数f(x)＝满足f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能值为( )57\nA．1或－B．－C．1D．1或10．(2022·济宁市统考)函数y＝(ex－e－x)·sinx的图象大致是( )11．(2022·中山质检)如图所示，该图象的函数解析式可能是( )A．y＝2x－x2－1B．y＝C．y＝(x2－2x)exD．y＝12．(2022·泰安市高三期末)设函数f(x)＝若f(f(t))≤2，则实数t的取值范围是( )A．(－∞，]B．[，＋∞)C．(－∞，－2]D．[－2，＋∞)13．(2022·山西省三诊)已知f(x)＝则f(f(5))＝________．14．(2022·南昌检测)若函数f(x)的定义域是[2，＋∞)，则函数y＝的定义域是________．15．(2022·绵阳市一诊)定义：如果函数y＝f(x)的定义域内给定区间[a，b]上存在x0(a＜x0＜b)，满足f(x0)＝，则称函数y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．例如y＝|x|是[－2，2]上的平均值函数，0就是它的均值点，若函数f(x)＝x2－mx－1是[－1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是________.57\n考点4 函数的基本性质两年高考真题演练1. (2022·福建)下列函数为奇函数的是( )A．y＝B．y＝exC．y＝cosxD．y＝ex－e－x2．(2022·北京)下列函数中为偶函数的是( )A．y＝x2sinxB．y＝x2cosxC．y＝|lnx|D．y＝2－x3．(2022·广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A．y＝x＋sin2xB．y＝x2－cosxC．y＝2x＋D．y＝x2＋sinx4．(2022·浙江)函数f(x)＝cosx(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( )5．(2022·新课标全国Ⅰ)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝( )A．－1B．1C．2D．46．设f(x)＝x－sinx，则f(x)( )A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数7．(2022·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是( )A.B.∪(1，＋∞)57\nC.D.∪8．(2022·陕西)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )A．f(x)＝xB．f(x)＝x3C．f(x)＝D．f(x)＝3x9．(2022·新课标全国Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数10．(2022·大纲全国)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝( )A．－2B．－1C．0D．111．(2022·辽宁)已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝则不等式f(x－1)≤的解集为( )A.∪B.∪C.∪D.∪12．(2022·湖北)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为( )A．[－，]B．[－，]C．[－，]D．[－，]13．(2022·福建)若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，57\n＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．14．(2022·湖北)a为实数，函数f(x)＝|x2－ax|在区间[0，1]上的最大值记为g(a)．当a＝________时，g(a)的值最小．15．(2022·四川)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R)．对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.其中真命题有________(写出所有真命题的序号).考点4 函数的基本性质一年模拟试题精练1．(2022·惠州市调研)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A．y＝ln(x－1)B．y＝|x－1|C．y＝D．y＝sinx＋2x2．(2022·广东佛山模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为( )A．－4B．4C．－6D．63．(2022·江西省监测)已知函数f(x)在R上递增，若f(2－x)＞f(x2)，则实数x的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C．(－1，2)D．(－2，1)4．(2022·唐山市高三摸底)函数f(x)＝是( )A．偶函数，在(0，＋∞)是增函数B．奇函数，在(0，＋∞)是增函数C．偶函数，在(0，＋∞)是减函数D．奇函数，在(0，＋∞)是减函数5．(2022·贵阳市高三摸底)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x≥0时f(x)的图象如图所示，则f(－2)＝( )57\nA．－3B．－2C．－1D．26．(2022·洛阳市统考)设f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，若f(x)在[－2，0]上单调递减，则使f(a2－a)＜0成立的实数a的取值范围是( )A．[－1，2]B．[－1，0)∪(1，2]C．(0，1)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)7．(2022·云南省名校统考)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1，0)时f(x)＝2x＋，则f(log220)＝( )A．－1B.C．1D．－8．(2022·沈阳市四校联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x≤－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x＜3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2022)＝( )A．335B．338C．1678D．20129．(2022·石家庄名校联考)函数y＝[x∈(－π，0)∪(0，π)]的图象大致是( )10．(2022·山东潍坊模拟)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )A．c＞a＞bB．c＞b＞aC．a＞c＞bD．b＞a＞c11．(2022·荆门市高三调研)若f(x)＝若f(x)＝2，则x57\n＝________．12．(2022·宿迁市高三摸底)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝x2＋x，则关于x的不等式f(x)＜－2的解集是________．13．(2022·南京市调研)若f(x)＝是R上的单调函数，则实数a的取值范围为________．14．(2022·玉溪一中高三期中)若函数f(x)＝|3x－1|＋ax＋3有最小值，则实数a的取值范围为________．考点5 基本初等函数两年高考真题演练1.(2022·山东)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a2．(2022·四川)设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．(2022·湖南)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )A．奇函数，且在(0，1)上是增函数B．奇函数，且在(0，1)上是减函数C．偶函数，且在(0，1)上是增函数D．偶函数，且在(0，1)上是减函数4．(2022·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝( )A．3B．6C．9D．125．(2022·安徽)函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A．a>0，b>0，c<0B．a<0，b>0，c>0C．a<0，b>0，c<057\nD．a<0，b<0，c<06．(2022·天津)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．a＜c＜bD．c＜b＜a7．(2022·四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时8．(2022·山东)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a取值范围是( )A.B．[0，1]C.D．[1,＋∞)9．(2022·福建)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )10．(2022·北京)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A．3.50分钟B．3.75分钟57\nC．4.00分钟D．4.25分钟11．(2022·四川)lg0.01＋log216＝________12．(2022·安徽)lg＋2lg2－＝________．13．(2022·浙江)计算：log2＝____________，2log23＋log43＝____________．14．(2022·北京)2－3，3，log25三个数中最大的数是________．15．(2022·江苏)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．考点5 基本初等函数一年模拟试题精练1．(2022·福州市质检)lg3＋lg2的值是( )A．lgB．lg5C．lg6D．lg92．(2022·山东省实验中学二诊)如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( )A．(－，)B．(－2，0)C．(－2，1)D．(0，1)3．(2022·江西省监测)已知幂函数y＝(m2－m－1)·xm2－2m－3在区间x∈(0，＋∞)上为减函数，则m的值为( )A．2B．－1C．2或－1D．－2或14．(2022·江西省监测)对数函数f(x)＝ln|x－a|在[－1，1]区间上恒有意义，则a的取值范围是( )A．[－1，1]B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－∞，0)∪(0，＋∞)5．(2022·山西省二诊)已知定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝log2(2x＋1)，则f等于( )A．log23B．log25C．1D．－16．(2022·东北三校第一次联考)若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是( )57\n7．(2022·江西省质检三)若a＝，b＝，c＝，则( )A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c8．(2022·江西省质检三)函数y＝－(x－2)|x|的递增区间是( )A．[0，1]B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．[0，1)和(2，＋∞)9．(2022·宁夏质检)设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是( )A．(－1，0)∪(0，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1)10．(2022·山西省二诊)设a＝，b＝log9，c＝log8，则a，b，c之间的大小关系是( )A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a11．(2022·抚州市模拟)(－6≤a≤3)的最大值为________．12．(2022·贵阳市高三摸底)已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则该函数的解析式为________．13．(2022·江西省监测)设a＝log23，b＝log46，c＝log89，则a，b，c的大小关系是________．14．(2022·宿迁市高三摸底)已知函数f(x)＝x2－2ax＋a2－1，若关于x的不等式57\nf(f(x))＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是________．考点6 函数与方程两年高考真题演练1.(2022·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A．y＝lnxB．y＝x2＋1C．y＝sinxD．y＝cosx2．(2022·天津)已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为( )A．2B．3C．4D．53．(2022·北京)已知函数f(x)＝－log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )A．(0，1)B．(1，2)C．(2，4)D．(4，＋∞)4．(2022·湖北)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )A．{1，3}B．{－3，－1，1，3}C．{2－，1，3}D．{－2－，1，3}5．(2022·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是( )A．(2，＋∞)B．(－∞，－2)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)6．(2022·湖南)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．7．(2022·江苏)已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．8．(2022·湖北)函数f(x)＝2sinxsin－x2的零点个数为________．9．(2022·湖南)已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________．10．(2022·安徽)设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号)．①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.57\n11．(2022·北京)设函数f(x)＝－klnx，k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．考点6 函数与方程一年模拟试题精练1．(2022·保定模拟)已知函数f(x)＝则方程f(x)＝1的解是( )A.或2B.或3C.或4D．±或42．(2022·荆门市调研)对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f(x)在区间(a，b)内( )A．一定有零点B．一定没有零点C．可能有两个零点D．至少有一个零点3．(2022·广东二模)如图是函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象，则函数g(x)＝lnx＋f′(x)的零点所在的区间是( )A.B．(1，2)C.D．(2，3)4．(2022·赤峰市高三统考)设a为非零实数，则关于函数f(x)＝x2＋a|x|＋1，x∈R57\n的以下性质中，错误的是( )A．函数f(x)一定是个偶函数B．函数f(x)一定没有最大值C．区间[0，＋∞)一定是f(x)的单调递增区间D．函数f(x)不可能有三个零点5．(2022·昆明一中摸底)若函数f(x)＝ax2－lnx在(0，1]上存在唯一零点，则实数a的取值范围是( )A．[0，2e]B.C．(－∞，－1]D．(－∞，0]6．(2022·衡水二调)已知函数f(x)＝e|x|＋|x|，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是( )A．(0，1)B．(1，＋∞)C．(－1，0)D．(－∞，－1)7．(2022·济宁一中研考)已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝lnx＋x－2的零点为b，则下列不等式成立的是( )A．f(1)＜f(a)＜f(b)B．f(a)＜f(b)＜f(1)C．f(a)＜f(1)＜f(b)D．f(b)＜f(1)＜f(a)8．(2022·山西省二诊)函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，若方程ax－a－f(x)＝0(a＞0)恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )A.B．[0，2]C．(1，2)D．[1，＋∞)9．(2022·邯郸市高三质检)已知函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝若关于x的方程5[f(x)]2－(5a＋6)f(x)＋6a＝0，(a∈R)，有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是( )A．0＜a＜1或a＝B．0≤a≤1或a＝C．0＜a≤1或a＝D．1＜a≤或a＝010．(2022·宝鸡市质检一)函数g(x)＝log2x，关于方程|g(x)|2＋m|g(x)|＋2m＋3＝0在(0，2)内有三个不同实数解，则实数m的取值范围是( )57\nA．(－∞，4－2)∪(4＋2，＋∞)B．(4－2，4＋2)C.D.11．(2022·南京市调研)设f(x)＝x2－3x＋a，若函数f(x)在区间(1，3)内有零点，则实数a的取值范围为________．12．(2022·北京东城区高三期末)设函数f(x)＝则f＝________．若函数g(x)＝f(x)－k存在两个零点，则实数k的取值范围是________．13．(2022·北京西城区高三期末)设函数f(x)＝(1)如果f(1)＝3，那么实数a＝________．(2)如果函数y＝f(x)－2有且仅有两个零点，那么实数a的取值范围是________．考点7 导数的概念及几何意义两年高考真题演练1．(2022·安徽)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A．a>0，b<0，c>0，d>0B．a>0，b<0，c<0，d>0C．a<0，b<0，c>0，d>0D．a>0，b>0，c>0，d<02．(2022·陕西)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A．y＝x3－x2－x57\nB．y＝x3＋x2－3xC．y＝x3－xD．y＝x3＋x2－2x3．(2022·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．4．(2022·新课标全国Ⅱ)已知曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．5．(2022·江西)若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．6．(2022·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．7．(2022·广东)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为______________．8．(2022·安徽)若直线l与曲线C满足下列两个条件：(1)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(2)曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①直线l：y＝0在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝x3；②直线l：x＝－1在点P(－1，0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)3；③直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝sinx；④直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝tanx；⑤直线l：y＝x－1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y＝lnx.9．(2022·山东)设函数f(x)＝(x＋a)lnx，g(x)＝.已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0平行．(1)求a的值；(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m(x)＝min{f(x)，g(x)}(min{p，q}表示p，q中的较小值)，求m(x)的最大值．57\n考点7 导数的概念及几何意义一年模拟试题精练1．(2022·赣州市十二县联考)函数f(x)＝3lnx＋x2－x＋在点(，f())处的切线斜率是( )A．－2B.C．2D．42．(2022·唐山一中高三检测)如果f′(x)是二次函数，且f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，)，那么曲线y＝f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( )A.B.C.D.3．(2022·大庆市高三质检)已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x＋，则与f(x)图象相切的斜率最小的切线方程为( )A．2x－y－3＝0B．x＋y－3＝0C．x－y－3＝0D．2x＋y－3＝04．(2022·东北三校联考)设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为( )A．y＝3x＋1B．y＝－3xC．y＝－3x＋1D．y＝3x－35．(2022·浙江金华十校联考)设函数y＝xsinx＋cosx，且在f(x)图象上点(x0，y0)处的切线的斜率为k，若k＝g(x0)，则函数k＝g(x0)的图象大致为( )57\n6．(2022·昆明三中模拟)设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是( )A．[－2，2]B．[，]C．[，2]D．[，2]7．(2022·湖南怀化市监测)已知函数f(x)＝y＝g(x)为曲线h(x)＝lnx＋a＋1在x＝1处的切线方程，若方程f(x)＝g(x)有两个不同实根，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，1)B．(－∞，1]C．(0，1)D．[0，＋∞)8．(2022·江西省监测)曲线y＝x3在P(1，1)处的切线方程为________．9．(2022·宝鸡市质检一)已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b切于点(1，3)，则b的值为________．10．(2022·湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋b是曲线y＝alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是________．11．(2022·江西省监测)已知函数f(x)＝x2＋ax，g(x)＝bx3＋x.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点C(1，m)处具有公共切线，求实数m的值；(2)当b＝，a＝－4时，求函数F(x)＝f(x)＋g(x)在区间[－3，4]上的最大值．57\n考点8 导数的应用一(单调性与极值)两年高考真题演练1．(2022·新课标全国Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1，0)D．(0，1)∪(1，＋∞)2．(2022·新课标全国Ⅱ)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是( )A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)3．(2022·江西)在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不可能的是( )4．(2022·陕西)函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．5．(2022·重庆)已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值．(1)确定a的值；(2)若g(x)＝f(x)ex，讨论g(x)的单调性．6．(2022·安徽)已知函数f(x)＝(a>0，r>0)．(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值．57\n7．(2022·重庆)已知函数f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．考点8 导数的应用一(单调性与极值)一年模拟试题精练1．(2022·长春名校联考)若函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能为( )2．(2022·郑州市一预)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－3)＝f(5)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，且导函数y＝f′(x)的图象如图所示．则不等式f(x)<1的解集是( )57\nA．(－3，0)B．(－3，5)C．(0，5)D．(－∞，－3)∪(5，＋∞)3．(2022·云南师大附中检测)若函数f(x)＝x3－tx2＋3x在区间[1，4]上单调递减，则实数t的取值范围是( )A.B．(－∞，3]C.D．[3，＋∞)4．(2022·邢台市高三摸底)已知定义在(－1，1)上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)＝1＋cosx，如果f(1－a)＋f(1－a2)<0，则实数a的取值范围为( )A．(0，1)B．(1，)C．(－2，－)D．(1，)∪(－，－1)5．(2022·巴蜀中学一模)定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝1，则不等式<1的解集为( )A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，2)D．(2，＋∞)6．(2022·山东省实验中学二诊)已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)<，则f(x)<＋的解集是( )A．{x|－1<x<1}B．{x|x<－1}C．{x|x<－1或x>1}D．{x|x>1}7．(2022·深圳市五校一联)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，当x>0时，有>0成立，则不等式f(x)>0的解集是( )A．(－1，0)∪(1，＋∞)B．(－1，0)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．(2022·烟台市高三检测)已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，当x∈(－∞，0)时不等式f(x)＋xf′(x)<0总成立，若记a＝20.2f(20.2)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，c＝(－3)·f，则a，b，c的大小关系为( )A．a>b>cB．a＞c＞bC．c>b>aD．c>a>b57\n9．(2022·珠海模拟)已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2，2]，f(mx－2)＋f(x)＜0恒成立，则x的取值范围为________．10．(2022·山西省二诊)函数f(x)＝2x－sinx的零点个数为________．11．(2022·江西省监测)已知函数f(x)＝x2－ax－lnx(x∈R)．(1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在区间(1，2)上存在极小值，求实数a的取值范围．考点9 导数的应用(二)(最值与不等式)两年高考真题演练1．(2022·新课标全国Ⅱ)已知f(x)＝lnx＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．2．(2022·新课标全国Ⅰ)设函数f(x)＝e2x－alnx.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；57\n(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a＋aln.3．(2022·湖南)已知a>0，函数f(x)＝aexcosx(x∈[0，＋∞))．记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点．(1)证明：数列{f(xn)}是等比数列；(2)若对一切n∈N*，xn≤|f(xn)|恒成立，求a的取值范围．4．(2022·辽宁)已知函数f(x)＝π(x－cosx)－2sinx－2，g(x)＝(x－π)＋－1.证明：(1)存在唯一x0∈，使f(x0)＝0；(2)存在唯一x1∈，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1>π.考点9 导数的应用(二)(最值与不等式)一年模拟试题精练1．(2022·合肥质检)函数y＝xex的最小值是( )A．－1B．－eC．－D．不存在2．(2022·唐山一中高三期中)设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ|最小值为( )A．1－ln2B.(1－ln2)C．1＋ln2D.(1＋ln2)3．(2022·石家庄质检一)设函数f(x)＝ex＋2x－a(a∈R，e为自然对数的底数)，若存在b∈[0，1]，使得f(f(b))＝b，则a的取值范围是( )A．[1，e]B．[1，1＋e]57\nC．[e，1＋e]D．[0，1]4．(2022·晋冀豫三省调研)设函数f(x)＝x3－2ex2＋mx－lnx，记g(x)＝，若函数g(x)至少存一个零点，则实数m的取值范围是( )A.B.C.D.5．(2022·沈阳市四校联考)函数f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1，1]，总有f(x)≥0成立，则a＝________．6．(2022·泗水中学二调)下列说法，其中正确命题的序号为________．①若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则实数c＝2或6；②对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有f(0)＋f(2)>2f(1)③若函数f(x)＝x3－3x在(a2－17，a)上有最大值，则实数a的取值范围为(－1，4)；④已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，xf′(x)－f(x)>0(x>0)，则不等式f(x)>0的解集是(－1，0)∪(1，＋∞)．7．(2022·泰安市统考)某工厂为提高生产效益，决定对一条生产线进行升级改造，该生产线升级改造后的生产效益y万元与升级改造的投入x(x>10)万元之间满足函数关系：y＝mlnx－x2＋x＋ln10(其中m为常数)若升级改造投入20万元，可得到生产效益为35.7万元．试求该生产线升级改造后获得的最大利润．(利润＝生产效益－投入)(参考数据：ln2＝0.7，ln5＝1.6)．8．(2022·江西省质检三)已知函数f(x)＝lnx－x.(1)求f(x)的单调区间；(2)已知数列{an}的通项公式为an＝1＋(n∈N*)，求证：a1a2a3…an<e(e为自然对数的底数)；(3)若k＜对任意x>2恒成立，求实数k的最大值．57\n参考答案第二章 函数与导数考点3 函数的概念及表示【两年高考真题演练】1．D [需满足x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．]2．C [依题意，有4－|x|≥0，解得－4≤x≤4①；且>0，解得x>2且x≠3②；由①②求交集得函数的定义域为(2，3)∪(3，4]．故选C.]3．C [∵f(－2)＝2－2＝＞0，则f(f(－2))＝f＝1－＝1－＝，故选C.]4．A [若a≤1，f(a)＝2a－1－2＝－3，2a－1＝－1(无解)；若a>1，f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，a＝7，f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－2＝－.]5．D [由题意，得f＝3×－b＝－b.若－b≥1，即b≤时，2－b＝4，解得b＝.若－b＜1，即b＞时，3×－b＝4，解得b＝(舍去)．所以b＝.]6．D [对于选项A，右边＝x|sgnx|＝而左边＝|x|＝显然不正确；对于选项B，右边＝xsgn|x|＝而左边＝|x|＝显然不正确；对于选项C，右边＝|x|sgnx＝，而左边＝|x|＝显然不正确；对于选项D，右边＝xsgnx＝而左边＝|x|＝显然正确；故应选D.]7．B [当t确定时，∵|a＋1|＝t，∴|a＋1|2＝t2，a2＋2a＋1＝t2，∴a2＋2a＝t257\n－1(定值)．而对于|sinb|＝t，b的值不唯一确定．故选B.]8．C [由题意可知x满足log2x－1＞0，即log2x＞log22，根据对数函数的性质得x＞2，即函数f(x)的定义域是(2，＋∞)．]9．A [因为f[g(1)]＝1，且f(x)＝5|x|，所以g(1)＝0，即a·12－1＝0，解得a＝1.]10．C [由已知得解得又0＜f(－1)＝c－6≤3，所以6＜c≤9.]11．A [因为－1＜0，所以f(－1)＝2－(－1)＝2，又2＞0，所以f[f(－1)]＝f(2)＝a·22＝1，解得a＝.]12．A [设P(x，y)，F1(－c，0)，F2(c，0)，c＞0，则||F1F2||＝2c，依题意，得||PF1||＋||PF2||＝2d(d为常数且d＞c)，所以|x＋c|＋|y－0|＋|x－c|＋|y－0|＝2d，即|x＋c|＋|x－c|＋2|y|＝2d，①当－c≤x≤c时，(x＋c)＋c－x＋2|y|＝2d，即y＝±(d－c)；②当x＜－c时，－(x＋c)＋c－x＋2|y|＝2d，即x±y＋d＝0；③当x＞c时，(x＋c)＋x－c＋2|y|＝2d，即x±y－d＝0.画出以上三种情形的图象，即可知选项A正确，故选A.]13．－ [∵|x－a|≥0恒成立，∴要使y＝2a与y＝|x－a|－1只有一个交点，必有2a＝－1，解得a＝－.]14. [由题中图象知f(x)为奇函数，当x≤－2a或x≥2a时，f(x)为增函数，f(x)＞f(x－1)恒成立；又∀x∈R，f(x)＞f(x－1)，且f(4a)＝f(－2a)＝a，故只需4a－(－2a)＜1，即a＜，又a为正实数，故a∈.]15. [当a≤0时，f(a)＝a2＋2a＋2＞0，f(f(a))＜0，显然不成立；当a＞0时，f(a)＝－a2，f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，则a＝±或a＝0，故a＝.]【一年模拟试题精练】1．D [x2－4x＋3≥0，解得x∈(－∞，1]∪[3，＋∞)．]2．C [由题意得：解得x∈(1，2]．]3．D [由题意得解得x∈(－1，0)∪(0，1)．]4．A [∵1≤x≤3，∴0≤x－1≤2，57\n∴0≤log3x≤2，即x∈[1，9]．]5．C [∵f(2)＝4log22＋2＝4×1＋2＝6，f(4)＝4log24＋2＝4×2＋2＝10，f(8)＝4log28＋2＝4×3＋2＝14，∴f(2)＋f(4)＋f(8)＝6＋10＋14＝30.]6．D [∵f[f(2015)]＝f(2015－15)＝f(2000)，∴f(2000)＝2cos＝－2cosπ＝－1.]7．D [f(3)＝f(3－2)＋1＝f(1)＋1＝f(1－2)＋2＝f(－1)＋2＝－sin＋2＝3.]8．D [∵(16，2)在y＝logax上，∴loga16＝2，得a＝4.∴tan＝tan＝.]9．A [∵f(1)＋f(a)＝2，∴f(a)＝1，当a≥0时，f(a)＝ea－1＝1，得a＝1，当－1＜a＜0时，f(a)＝sinπa2＝1，得a＝－.]10．A [∵f(－x)＝(e－x－ex)sin(－x)＝(ex－e－x)sinx＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，排除选项B、C.∵f(π)＝0，f＝(e－e－)sin＝e－e－＞0，故排除选项D.]11．C [对于A，当x＝－1时，y＝－＜0，不合题意；对于B，当x＝－π时，sinx＝0，故y＝0，不合题意；对于D，当x＜0时，函数无意义，故选C.]12．A [令a＝f(t)，则f(a)≤2，当a≤0时，a2＋a－2≤0，a∈[－2，0]当a＞0时，－a2≤2，故a＞0，综上，a≥－2，因此f(t)≥－2，当t≤0时，t2＋t＋2≥0，t≤0均成立；当t＞0时，－t2≥－2，t∈(0，]，故t∈(－∞，]．]13．1 [∵5＞2，∴f(5)＝log2(5－1)＝2，∴f(f(5))＝f(2)＝22－2＝20＝1.]14．{x|x≥1，且x≠2} [依题意有解得x≥1且x≠2，故所求函数的定义域是{x|x≥1，且x≠2}．]15．(0，2) [因为函数f(x)＝x2－mx－1是[－1，1]上的“平均值函数”，所以存在x0∈(－1，1)使x－mx0－1＝得，x－1＝(x0－1)m⇒m＝x0＋1，又x0∈(－1，1)所以实数m的取值范围是m∈(0，2)．]考点4 函数的基本性质【两年高考真题演练】1．D [由奇函数定义易知y＝ex－e－x为奇函数，故选D.]57\n2．B [由f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，可知A为奇函数，B为偶函数，C定义域不关于原点对称，D为非奇非偶函数．]3．D [对于A，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，为偶函数；对于C，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，为偶函数；y＝x2＋sinx既不是偶函数也不是奇函数，故选D.]4．D [∵f(x)＝(x－)cosx，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A，B；当x→π时，f(x)＜0，排除C.故选D.]5．C [设f(x)上任意一点为(x，y)关于y＝－x的对称点为(－y，－x)，将(－y，－x)代入y＝2x＋a，所以y＝a－log2(－x)，由f(－2)＋f(－4)＝1，得a－1＋a－2＝1，2a＝4，a＝2.]6．B [f(x)＝x－sinx的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sinx＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f′(x)＝1－sinx≥0恒成立，所以f(x)在其定义域内为增函数，故选B.]7．A [由f(x)＝ln(1＋|x|)－，知f(x)为R上的偶函数，于是f(x)＞f(2x－1)即为f(|x|)＞f(|2x－1|)．当x＞0时，f(x)＝ln(1＋x)－，得f′(x)＝＋＞0，所以f(x)为[0，＋∞)上的增函数，则由f(|x|)＞f(|2x－1|)得|x|＞|2x－1|，平方得3x2－4x＋1＜0，解得＜x＜1，故选A.]8．D [f(x)＝x，f(x＋y)＝(x＋y)≠x·y，不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，A不满足题意．f(x)＝x3，f(x＋y)＝(x＋y)3≠x3·y3，不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，B不满足题意．f(x)＝，f(x＋y)＝＝·，满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，但f(x)＝不是增函数，C不满足题意．f(x)＝3x，f(x＋y)＝3x＋y＝3x·3y，满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(x)＝3x是增函数，D满足题意．]57\n9．C [f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)g(x)|为偶函数，故选C.]10．D [由函数f(x＋2)为偶函数可得，f(2＋x)＝f(2－x)．又f(－x)＝－f(x)，故f(2－x)＝－f(x－2)，所以f(2＋x)＝－f(x－2)，即f(x＋4)＝－f(x)．所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝－[－f(x)]＝f(x)，故该函数是周期为8的周期函数．又函数f(x)为奇函数，故f(0)＝0.所以f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1，故选D.]11．A [当0≤x≤时，令f(x)＝cosπx≤，解得≤x≤；当x＞时，令f(x)＝2x－1≤，解得＜x≤，故有≤x≤.因为f(x)是偶函数，所以f(x)≤的解集为∪，故f(x－1)≤的解集为∪，故选A.]12．B [当x≥0时，f(x)＝，又f(x)为奇函数，可得f(x)的图象如图所示，由图象可得，当x≤2a2时，f(x)max＝a2，当x>2a2时，令x－3a2＝a2，得x＝4a2，又∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，可知4a2－(－2a2)≤1⇒a∈，选B.]13．1 [∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的对称轴x＝1，∴a＝1，f(x)＝2|x－1|，∴f(x)的增区间为[1，＋∞)，∵[m，＋∞)⊆[1，＋∞)，∴m≥1.∴m的最小值为1.]14．2－2 [①当a≤0时，f(x)＝|x2－ax|在[0，1]上是增函数，所以g(a)＝f(1)＝1－a，此时g(a)min＝1；②当0<a<2时，作出函数f(x)＝|x2－ax|的大致图象如图：由图易知，f(x)＝|x2－ax|在上是增函数，在上是减函数，在[a，157\n]上是增函数，此时，只需比较f与f(1)的大小即可．由f＝f(1)，得＝|1－a|，得＝|1－a|，解得a＝2－2或a＝－2－2(舍)或a＝2(舍去)．(ⅰ)当0<a≤2－2时，f≤f(1)，所以g(a)＝f(1)＝1－a，此时g(a)min＝3－2；(ⅱ)当2－2<a<2时，f>f(1)，所以g(a)＝f＝，此时3－2<g(a)<1；③当a≥2时，f(x)＝|x2－ax|在[0，1]上是增函数，所以g(a)＝f(1)＝a－1，此时g(a)min＝1.综上，当a＝2－2时，g(a)min＝3－2.]15．①④ [设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x1，g(x1))，D(x2，g(x2))，对于①从y＝2x的图象可看出，m＝kAB＞0恒成立，故正确；对于②直线CD的斜率可为负，即n＜0，故不正确；对于③由m＝n得f(x1)－f(x2)＝g(x1)－g(x2)，即f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)，令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x2－ax，则h′(x)＝2x·ln2－2x－a，由h′(x)＝0，∴2x·ln2＝2x＋a，(*)结合图象知，当a很小时，方程(*)无解，∴函数h(x)不一定有极值点，就不一定存在x1，x2使f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)，不一定存在x1，x2使得m＝n；对于④由m＝－n，得f(x1)－f(x2)＝g(x2)－g(x1)，即f(x1)＋g(x1)＝f(x2)＋g(x2)，令F(x)＝f(x)＋g(x)＝2x＋x2＋ax，则F′(x)＝2xln2＋2x＋a，由F′(x)＝0，得2xln2＝－2x－a，结合如图所示图象可知，该方程有解，即F(x)必有极值点，∴存在x1，x2使F(x1)＝F(x2)，使m＝－n.57\n故①④正确．]【一年模拟试题精练】1．D [y＝ln(x－1)在(1，＋∞)为增函数，故A错误；y＝|x－1|在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)为增函数，故B错误；y＝是R上的减函数，故C错；y′＝cosx＋2＞0，所以y＝sinx＋2x在区间(0，＋∞)上为增函数，故选D.]2．A [由题意f(0)＝0，即1＋m＝0，所以m＝－1，f(－log35)＝－f(log35)＝－(3log35－1)＝－4.]3．D [由题意得：2－x＞x2，即x∈(－2，1)．]4．B [函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝＝－f(x)，所以函数为奇函数；函数f(x)＝2x是增函数，f(x)＝2－x是减函数，所以f(x)＝2x－2－x是增函数，则f(x)＝也是增函数．]5．B [因为f(x)是奇函数，所以f(－2)＝－f(2)，由x≥0时f(x)的图象知f(2)＝2，∴f(－2)＝－2.]6．B [∵f(x)是[－2，2]上的奇函数，∴f(0)＝0，f(a2－a)＜0＝f(0)，又∵f(x)在[－2，0]上单调递减，∴f(x)在[0，2]也单调递减，故即a∈[－1，0)∪(1，2]．]7．A [∵x∈(0，1)，－x∈(－1，0)，∴f(－x)＝2－x＋＝－f(x)，即f(x)＝－2－x－，x∈(0，1)，由f(x－2)＝f(x＋2)，可得f(x)＝f(x－4)．∵4＜log220＜5，∴0＜log220－4＜1∴f(log220)＝f(log220－4)＝－2－(log220－4)－＝－1.]8．B [∵f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(3－6)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(4－6)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(6－6)＝f(0)＝0.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(2010)]＋f(2011)＋f(2012)＝335×1＋f(1)＋f(2)＝338.]9．A [函数为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B，C，当x→π时，y＝→57\n0，所以选A.]10．D [由题意得f(x＋1)的图象关于y轴对称，则f(x)的图象关于x＝1对称，即有f(x)＝f(2－x)，∴a＝f＝f，又由已知得f(x)在(1，＋∞)上为减函数，∴f(2)＞f＞f(3)，即b＞a＞c，故选D.]11．－1 [当x＞1时，3x＝2，x＝log32＜1，故该值应舍去；当x≤1时，|x－1|＝2，x＝3或－1，3＞1，故x＝3应舍去，故x＝－1.]12．(2，＋∞) [当x∈(0，＋∞)，－x∈(－∞，0)，f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝－f(x)，故当x∈(0，＋∞)，f(x)＝－x2＋x当x∈(0，＋∞)时，f(x)＜－2即x2－x－2＞0，解得x∈(2，＋∞)；当x∈(－∞，0]时，f(x)＜－2即x2＋x＋2＜0，x∈∅，综上，x∈(2，＋∞)．]13. [由题意可得：解得a∈.]14．[－3，3] [f(x)＝|3x－1|＋ax＋3＝函数f(x)有最小值的充要条件为，故实数a的取值范围是[－3，3]．]考点5 基本初等函数【两年高考真题演练】1．C [根据指数函数y＝0.6x在R上单调递减可得0.61.5＜0.60.6＜0.60＝1，根据指数函数y＝1.5x在R上单调递增可得1.50.6＞1.50＝1，∴b＜a＜c.]2．A [若a＞b＞1，那么log2a＞log2b＞0；若log2a＞log2b＞0，那么a＞b＞1，故选A.]3．A [易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)＝ln＝ln，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0，1)上是增函数，故选A.]4．C [因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，f(log212)＝2log212－1＝2log212×2－1＝12×＝6，故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9，故选C.]5．C [由图可知－c>0，∴c<0，又当x<－c时，由图象形状可知，a<0且b>0，故选C.]6．B [由函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，得m＝0，57\n所以f(x)＝2|x|－1，当x＞0时，f(x)为增函数，log0.53＝－log23，∴log25＞|－log23|＞0，∴b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)＝f(0)，故选B.]7．C [由题意知∴e22k＝＝，∴e11k＝，∴x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝×192＝24.]8．C [当a＝2时，f(a)＝f(2)＝22＝4＞1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝2满足题意，排除A，B选项；当a＝时，f(a)＝f＝3×－1＝1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝满足题意，排除D选项，故答案为C.]9．B [因为函数y＝logax过点(3，1)，所以1＝loga3，解得a＝3，y＝3－x不可能过点(1，3)，排除A；y＝(－x)3＝－x3不可能过点(1，1)，排除C；y＝log3(－x)不可能过点(－3，－1)，排除D.故选B.]10．B [由已知得解得∴p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－＋，∴当t＝＝3.75时p最大，即最佳加工时间为3.75分钟．故选B.]11．2 [lg0.01＋log216＝lg＋log224＝－2＋4＝2.]12．－1 [lg＋2lg2－＝lg＋lg22－2＝lg－2＝1－2＝－1.]13．－ 3 [log2＝log22－＝－，2log23＋log43＝2log23＋log23＝2log23＝3.]14．log25 [2－3＝<1，又因为2<22<5，所以log22<log222<log25，即<log25.所以最大值为log25.]57\n15. [作出二次函数f(x)的图象，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，则有即解得－＜m＜0.]【一年模拟试题精练】1．C [lg3＋lg2＝lg(3×2)＝lg6.]2．C [由题意知f(1)＜0，∴12＋(m－1)×1＋m2－2＜0，解得：－2＜m＜1.]3．A [由题意得：解得m＝2.]4．C [由题意可得：|x－a|＞0，即x－a≠0，a≠x，又∵f(x)在[－1，1]恒有意义，∴a∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]5．D [∵由f(x)是定义在R上的奇函数可得f(－x)＝－f(x)，∴f＝－f＝－log2＝－1.]6．D [由f(x)＝loga(x＋b)的图象可知0＜a＜1，且0＜b＜1，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是D.]7．B [易知a，b，c都是正数，＝＝log8164＜1，所以b＜a；＝＝＞1.所以b＞c，即c＜b＜a，故选B.]8．A [y＝－(x－2)|x|＝作出该函数的图象，观察图象知，其递增区间为[0，1]．]9．C [由题意可得或解得a＞1或－1＜a＜0，因此选C.]57\n10．C [a＝，b＝log9，c＝log8，∵＝log9＜log8，log9＞log9.∴c＞a＞b.]11. [令f(a)＝(3－a)(a＋6)＝－a2－3a＋18，a∈[－6，3]，当a＝－时，f(a)取最大值f＝，故(－6≤a≤3)的最大值为.]12．y＝x [设f(x)＝xα，因为y＝f(x)的图象经过点，所以＝⇒α＝，所以该函数的解析式为：y＝x.]13．a＞b＞c [b＝＝log2，c＝＝log29∵3＞6＝(63)＞(92)＝9，∴3＞＞9，故log23＞log2＞log29，即a＞b＞c.]14．(－∞，－2] [法一 f(f(x))＜0解集为空集等价于，对∀x∈R，f(f(x))≥0恒成立，f(x)＝[x－(a＋1)][x－(a－1)]，f(f(x))＝(x2－2ax＋a2－a－2)(x2－2ax＋a2－a)≥0恒成立，等价于对∀x∈R，x2－2ax＋a2－a≥2或x2－2ax＋a2－a≤0(舍去)，即∀x∈R，x2－2ax＋a2－a－2≥0，由Δ＝(－2a)2－4(a2－a－2)≤0，解得a∈(－∞，－2]．法二 令t＝f(x)，由题意得∀x∈R，f(f(x))≥0恒成立化为f(t)＝t2－2at＋a2－1≥0，解得t≥a＋1或t≤a－1，即：对∀x∈R，t＝f(x)＝x2－2ax＋a2－1≥a＋1或t≤a－1或t＝f(x)＝x2－2ax＋a2－1≤a－1成立，即：∀x∈R，x2－2ax＋a2－a－2≥0或x2－2ax＋a2－a≤0(舍)．∴Δ＝(－2a)2－4(a2－a－2)≤0，解得a∈(－∞，－2]．]考点6 函数与方程【两年高考真题演练】1．D [对数函数y＝lnx是非奇非偶函数；y＝x2＋1为偶函数但没有零点；y＝sinx是奇函数；y＝cosx是偶函数且有零点，故选D.]2．A [57\n函数y＝f(x)－g(x)的零点个数即为函数f(x)与g(x)图象的交点个数，记h(x)＝－f(2－x)，在同一坐标系中作出函数f(x)与h(x)的图象，如图，g(x)的图象为h(x)的图象向上平移3个单位，可知f(x)与g(x)的图象有两个交点，故选A.]3．C [因为f(1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0，f(4)＝－log24＝－＜0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4)，故选C.]4．D [当x≥0时，函数g(x)的零点即方程f(x)＝x－3的根，由x2－3x＝x－3，解得x＝1或3；当x＜0时，由f(x)是奇函数得－f(x)＝f(－x)＝x2－3(－x)，即f(x)＝－x2－3x.由f(x)＝x－3得x＝－2－(正根舍去)．故选D.]5．B [f′(x)＝3ax2－6x.当a＝3时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，则当x∈时，f′(x)＞0，x∈时，f′(x)＜0；x∈时，f′(x)＞0注意f(0)＝1，f＝＞0，则f(x)的大致图象如图所示．不符合题意，排除A、C.当a＝－时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当x∈时，f′(x)＜0，x∈时，f′(x)＞0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0，注意f(0)＝1，f＝－，则f(x)的大致图象如图所示．不符合题意，排除D.]6．(0，2) [令y＝|2x－2|，作出其图象如图：57\n由图形知，当0＜b＜2时，f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．]7．4 [令h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝当1＜x＜2时，h′(x)＝－2x＋＝＜0，故当1＜x＜2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y＝|h(x)|和y＝1的图象如图所示．由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根个数为4.]8．2 [f(x)＝2sinxsin－x2＝2sinxcosx－x2＝sin2x－x2.令f(x)＝0，则sin2x＝x2，则函数f(x)的零点个数即为函数y＝sin2x与函数y＝x2的图象的交点个数．作出函数图象知，两函数交点有2个，即函数f(x)的零点个数为2.]9．(－∞，0)∪(1，＋∞) [若0≤a≤1时，函数f(x)＝在R上递增，若a＞1或a＜0时，由图象知y＝f(x)－b存在b使之有两个零点，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．]10．①③④⑤ [令f(x)＝x3＋ax＋b，f′(x)＝3x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，必有一个实根，④⑤正确；当a<0时，由于选项当中a＝－3，∴只考虑a＝－3这一种情况，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∴f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要有一根，f(x)极大<0或f(x)极小>0，∴b<－2或b>2，①③正确，所有正确条件为①③④⑤.]11．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)．由f(x)＝－klnx(k>0)得f′(x)＝x－＝.由f′(x)＝0解得x＝.57\nf(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：x(0，)(，＋∞)f′(x)－0＋f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，)．单调递增区间是(，＋∞)，f(x)在x＝处取得极小值f()＝.(2)由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝.因为f(x)存在零点，所以≤0，从而k≥e，当k＝e时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()＝0，所以x＝是f(x)在区间(1，]上的唯一零点．当k>e时，f(x)在区间(0，)上单调递减，且f(1)＝>0，f()＝<0，所以f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．【一年模拟试题精练】1．C [当x∈[－1，2]时，由3－x2＝1⇒x＝；当x∈(2，5]时，由x－3＝1⇒x＝4.综上所述，f(x)＝1的解为或4.]2．C [画出f(x)的不同情况，其图象如右图，由①排除A，由②排除B，由③排除D，故选C.]3．C [f′(x)＝2x＋a，则g(x)＝lnx＋2x＋a，由函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象知0＜b＜1，且a＋b＋1＝0，故－2＜a＜－1，显然函数g(x)＝lnx＋2x＋a在(0，＋∞)上为单调增函数，g＝ln＋2×＋a＝1－ln2＋a＜0，57\ng(1)＝ln1＋2＋a＝2＋a＞0，则函数g(x)＝lnx＋f′(x)的零点所在的区间是.]4．C [(1)∵－x∈R，∴f(－x)＝(－x)2＋a|－x|＋1＝x2＋a|x|＋1＝f(x)∴函数f(x)是偶函数，(2)∵二次函数f(x)＝x2＋a|x|＋1，开口向上，所以函数f(x)一定没有最大值．(3)令a＝－2，则f(x)＝x2－2|x|＋1画出如上图所示的函数图象，可知在区间[0，＋∞)不是f(x)的单调递增区间，所以C项错误，(4)方程x2＋ax＋1＝0，Δ＝a2－4≥－4，此方程可能无解、一个解或者两个解，所以函数f(x)＝x2＋a|x|＋1可能无零点、两个零点、或者四个零点．]5．D [由f(x)＝ax2－lnx＝0，得ax2＝lnx，设g(x)＝ax2和m(x)＝lnx，若a＝0，则g(x)和m(x)只有一个交点，满足条件，若a≠0时，作出函数g(x)＝ax2和m(x)＝lnx的图象，若a＞0，当x∈(0，1]，g(x)＞0，m(x)≤0，此时两个函数没有交点．若a＜0，作出函数g(x)＝ax2和m(x)＝lnx的图象，此时g(x)和m(x)只有一个交点，满足条件，综上a≤0，故选D.]6．B [方程f(x)＝k可化为：e|x|＝k－|x|，令y＝e|x|，y＝k－|x|，在同一个坐标系内画出两个函数的图象；57\n当曲线y＝e|x|和折线y＝k－|x|恰好有一个公共点时，k＝1，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根时，实数k的取值范围是：k＞1，故选B.]7．C [a，b分别是ln(x)＝ex，n(x)＝lnx与直线y＝2－x交点的横坐标，如图，∴0＜a＜1＜b，又f(x)在R上递增，∴f(a)＜f(1)＜f(b)．]8．A [由f(x＋2)＝f(x)，可得函数f(x)是周期为2的周期函数，由方程ax－a－f(x)＝0(a＞0)恰有三个不相等的实数根，可得函数y＝f(x)的图象和直线y＝ax－a＝a(x－1)有3个交点，故有a(3－1)＜2，且a(5－1)＞2，求得＜a＜1.]9．C [∵f(x)是R上的偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，画出f(x)的图象，如右图，5[f(x)]2－(5a＋6)f(x)＋6a＝0，即f(x)＝或f(x)＝a，由图象可知y＝f(x)与y＝有四个交点，由题可知y＝f(x)与y＝a仅有两个交点，可得a＝或0＜a≤1.]10．D [令t＝|g(x)|，由题意，可化为t2＋mt＋2m＋3＝0有两个根分别在(0，157\n)和[1，＋∞)上，设h(t)＝t2＋mt＋2m＋3.当有一根为1时，h(1)＝1＋m＋2m＋3＝0，m＝－，此时另一根为，符合题意．当没有根为1时，则得m∈.综上m∈.]11. [由题意可得：解得a∈.]12. (0，1] [∵＞0，∴f＝log2＝－1，故f＝f(－1)＝4－1＝，画出f(x)的图象如右图，g(x)存在两个零点等价于y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点，由图形可知k∈(0，1]．]13．(1)a＝－2或a＝4 (2)a∈(－1，3] [(1)∵f(1)＝|1－a|＝3，∴a＝－2或a＝4.(2)y＝f(x)－2有两个零点等价于y＝f(x)与y＝2有两个交点，∵log39＝2，∴y＝|x－a|(x≤1)与y＝2有一个交点，y＝|x－a|的图象是由y＝|x|通过平移得到的，观察图象，y＝|x＋1|与y＝2恰有两个交点，y＝|x－3|与y＝2恰有一个交点，故a∈(－1，3]．]考点7 导数的概念及几何意义【两年高考真题演练】1．A [由已知f(0)＝d>0，可排除D；其导函数f′(x)＝3ax2＋2bx＋c且f′(0)＝c>0，可排除B；又f′(x)＝0有两不等实根，且x1x2＝＞0，所以a＞0，故选A.]2．A [法一 由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，0)处的切线方程为y＝－x，在(2，0)处的切线方程为y＝3x－6，以此对选项进行检验．A选项，y＝x3－x2－x，显然过两个定点，又y′＝x2－x－1，则y′|x＝0＝－1，y′|x＝2＝3，故条件都满足，由选择题的特点知应选A.法二 设该三次函数为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题设有57\n解得a＝，b＝－，c＝－1，d＝0.故该函数的解析式为y＝x3－x2－x，选A.]3．1 [f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2.(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1)．将(2，7)代入切线方程，得7－(a＋2)＝(1＋3a)，解得a＝1.]4．8 [由y＝x＋lnx，得y′＝1＋，得曲线在点(1，1)的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，此切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y得ax2＋ax＋2＝0，得a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.]5．(e，e) [由题意得y′＝lnx＋x·＝1＋lnx，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，则1＋lnm＝2，解得m＝e，所以n＝elne＝e，则点P的坐标为(e，e)．]6．－3 [由曲线y＝ax2＋过点P(2，－5)可得－5＝4a＋ (1)．又y′＝2ax－，所以在点P处的切线斜率4a－＝－ (2)．由(1)(2)解得a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.]7．5x＋y＋2＝0 [由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.]8．①③④ [对于①，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，所以l：y＝0是曲线C：y＝x3在点P(0，0)处的切线，画图可知曲线C：y＝x3在点P(0，0)附近位于直线l的两侧，①正确；对于②，因为y′＝2(x＋1)，y′|x＝－1＝0，所以l：x＝－1不是曲线C：y＝(x＋1)2在点P(－1，0)处的切线，②错误；对于③，y′＝cosx，y′|x＝0＝1，在点P(0，0)处的切线为l：y＝x，画图可知曲线C：y＝sinx在点P(0，0)附近位于直线l的两侧，③正确；对于④，y′＝，y′|x＝0＝＝1，在点P(0，0)处的切线为l：y＝x，画图可知曲线C：y＝tanx在点P(0，0)附近位于直线l的两侧，④正确；对于⑤，y′＝，y′|x＝1＝1，在点P(1，0)处的切线为l：y＝x－1，令h(x)＝x－1－lnx(x＞0)，可得h′(x)＝1－＝，所以h(x)min＝h(1)＝0，故x－1≥lnx，可知曲线C：y＝lnx在点P(1，0)附近位于直线l的下侧，⑤错误．]9．解 (1)由题意知，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f57\n′(1)＝2，又f′(x)＝lnx＋＋1，所以a＝1.(2)k＝1时，方程f(x)＝g(x)在(1，2)内存在唯一的根．设h(x)＝f(x)－g(x)＝(x＋1)lnx－，当x∈(0，1]时，h(x)＜0.又h(2)＝3ln2－＝ln8－＞1－1＝0，所以存在x0∈(1，2)，使得h(x0)＝0.因为h′(x)＝lnx＋＋1＋，所以当x∈(1，2)时，h′(x)＞1－＞0，当x∈(2，＋∞)时，h′(x)＞0，所以当x∈(1，＋∞)时，h(x)单调递增，所以k＝1时，方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)内存在唯一的根．(3)由(2)知方程f(x)＝g(x)在(1，2)内存在唯一的根x0.且x∈(0，x0)时，f(x)＜g(x)，x∈(x0，＋∞)时，f(x)＞g(x)，所以m(x)＝当x∈(0，x0)时，若x∈(0，1]，m(x)≤0；若x∈(1，x0)，由m′(x)＝lnx＋＋1＞0，可知0＜m(x)≤m(x0)；故m(x)≤m(x0)．当x∈(x0，＋∞)时，由m′(x)＝，可得x∈(x0，2)时，m′(x)＞0，m(x)单调递增；x∈(2，＋∞)时，m′(x)＜0，m(x)单调递减；可知m(x)≤m(2)＝，且m(x0)＜m(2)．综上可得，函数m(x)的最大值为.【一年模拟试题精练】1．C [∵f′(x)＝＋2x－，∴f′()＝＋2－＝2.]57\n2．B [由题意可得f′(x)＝a(x－1)2＋，∵a＞0，∴f′(x)≥.故α∈.]3．B [f′(x)＝x2－4x＋3，f′(x)min＝f′(2)＝－1，f(2)＝1，故与f(x)图象相切斜率最小的切线方程为y－1＝－1(x－2)，即x＋y－3＝0.]4．B [函数的导数为f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)，若f′(x)为偶函数，则a＝0，∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3.∴f′(0)＝－3.∴在原点处的切线方程为y＝－3x，选B.]5．A [y′＝xcosx，k＝g(x0)＝x0cosx0，由于它是奇函数，排除B，C；当0＜x＜时，k＞0，排除D，答案为A.]6．D [f′(x)＝x2sinθ＋xcosθ，∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2＝2sin，∵0≤θ≤，∴≤θ＋≤，∴≤2sin≤2，即≤f′(1)≤2，即导数f′(1)的取值范围是[，2]，选D.]7．A [h′(x)＝，h′(1)＝1，故切线方程为y－(a＋1)＝(x－1)，即g(x)＝x＋a，方程f(x)＝g(x)有两个不同实根，即y＝f(x)与y＝g(x)图象有两个交点，由题意f(x)＝n∈N*其图象如右图，g(x)＝x＋a表示与y＝x平行的直线束，由图可得a∈(－∞，1)．]8．3x－y－2＝0 [∵y′＝3x2，y′|x＝1＝3，∴在P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.]57\n9．3 [f(x)＝x3＋ax＋b，f′(1)＝3x2＋a，f′(x)＝3＋a；把(1，3)代入y＝kx＋1，得k＝2，可得f′(1)＝3＋a＝2，即a＝－1，f(1)＝13＋a＋b＝1－1＋b＝3，得b＝3.]10．－2 [设切点为(x0，alnx0)，则y＝alnx上此点处的切线为y＝x＋alnx0－a，故∴b＝aln－a(a＞0)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．∴b的最小值为－2.]11．解 (1)f(x)＝x2＋ax，则f′(x)＝2x＋a，k1＝2＋a，g(x)＝bx3＋x，则g′(x)＝3bx2＋1，k2＝3b＋1，由(1，m)为公共切点，可得：2＋a＝3b＋1，①又f(1)＝a＋1，g(1)＝1＋b，∴a＋1＝1＋b，即a＝b，代入①式可得：a＝，b＝.∴m＝f(1)＝.(2)当b＝，a＝－4时，F(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋x2－3x，则F′(x)＝x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)，令F′(x)＝0，解得：x1＝－3，x2＝1；当x∈(－∞，－3)⇒F′(x)＞0⇒函数F(x)单调递增，当x∈(－3，1)⇒F′(x)＜0⇒函数F(x)单调递减，当x∈(1，4)⇒F′(x)＞0⇒函数F(x)单调递增，∵F(－3)＝9，F(4)＝，∴函数F(x)＝f(x)＋g(x)在区间[－3，4]上的最大值为.考点8 导数的应用一(单调性与极值)【两年高考真题演练】1．A [因为f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，所以f(1)＝－f(－1)＝0.当x≠0时，令g(x)＝，则g(x)为偶函数，且g(1)＝g(－1)＝0.则当x＞0时，g′(x)＝′＝＜0，故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．57\n所以在(0，＋∞)上，当0＜x＜1时，g(x)＞g(1)＝0⇔＞0⇔f(x)＞0；在(－∞，0)上，当x＜－1时，g(x)＜g(－1)＝0⇔＜0⇔f(x)＞0.综上，得使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，选A.]2．D [因为f(x)＝kx－lnx，所以f′(x)＝k－.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x＞1时，f′(x)＝k－≥0恒成立，即k≥在区间(1，＋∞)上恒成立，因为x＞1，所以0＜＜1，所以k≥1.故选D.]3．B [令a＝0，则函数y＝ax2－x＋与y＝a2x3－2ax2＋x＋a分别为y＝－x与y＝x，对应的图象是选项D中的图象．记f(x)＝ax2－x＋，g(x)＝a2x3－2ax2＋x＋a，取a＝，则g(0)＞f(0)＞0.而f(x)＝x2－x＋＝(x－1)2－，令g′(x)＝0，得x＝或x＝2，易知g(x)在区间和(2，＋∞)上单调递增，在区间上单调递减，所以g(x)的极小值为g(2)＝×23－2××22＋2＋＝，又f(2)＝×22－2＋＝，所以g(2)＞f(2)，所以选项A中的图象有可能．取a＝2，则g(0)＞f(0)＞0，令g′(x)＝0，得x＝或x＝，易知g(x)在区间和上单调递增，在区间上单调递减，所以g(x)的极小值为g＝4×－4×＋＋2＝2，又f(x)＝2x2－x＋1＞0，f＝2×－＋1＝1，所以g＞f，所以选项C中的图象有可能．利用排除法选B.]4．y＝－ [设y＝f(x)＝xex，由y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)＝0，得x＝－1.当x＜－1时，y′＜0；当x＞－1时，y′＞0，故x＝－1为函数f(x)的极值点，切线斜率为0，又f(－1)＝－e－1＝－，故切点坐标为，切线方程为y＋＝0(x＋1)，即y＝－.]5．解 (1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，因为f(x)在x＝－处取得极值，所以f′＝0，57\n即3a·＋2·＝－＝0，解得a＝.(2)由(1)得g(x)＝ex，故g′(x)＝ex＋ex＝ex＝x(x＋1)(x＋4)ex.令g′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4.当x＜－4时，g′(x)＜0，故g(x)为减函数；当－4＜x＜－1时，g′(x)＞0，故g(x)为增函数；当－1＜x＜0时，g′(x)＜0，故g(x)为减函数；当x＞0时，g′(x)＞0，故g(x)为增函数．综上知g(x)在(－∞，－4)和(－1，0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．6．解 (1)由题意知x≠－r，所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞)．f(x)＝＝，f′(x)＝＝.所以当x<－r或x>r时，f′(x)<0，当－r<x<r时，f′(x)>0.因此，f(x)的单调递减区间为(－∞，－r)，(r，＋∞)；f(x)的单调递增区间为(－r，r)．(2)由(1)的解答可知f′(r)＝0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞)上单调递减．因此，x＝r是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，＋∞)内的极大值为f(r)＝＝＝＝100.7．解 (1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.(2)由(1)知f(x)＝＋－lnx－，57\n则f′(x)＝，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5，因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0，5)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln5.【一年模拟试题精练】1．C [根据f′(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A，D；从适合f′(x)＝0的点可以排除B.]2．B [依题意得，当x＞0时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；当x＜0时，f′(x)＜0，f(x)是减函数，又f(－3)＝f(5)＝1，因此不等式f(x)＜1的解集是(－3，5)，选B.]3．C [f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于f(x)在区间[1，4]上单调递减，则有f′(x)≤0在[1，4]上恒成立，即3x2－2tx＋3≤0，即t≥在[1，4]上恒成立，因为y＝在[1，4]上单调递增，所以t≥＝，故选C.]4．B [依题意得，f′(x)＞0，则f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数、增函数．不等式f(1－a)＋f(1－a2)＜0等价于f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，则－1＜1－a2＜a－1＜1，由此解得1＜a＜，选B.]5．B [构造函数F(x)＝，x∈R，F′(x)＝，∵f(x)＞f′(x)，∴F′(x)＜0，∴F(x)在R上单调递减，F(0)＝＝1，F(x)＝＜1＝F(0)可得x＞0.]6．D [构造函数F(x)＝f(x)－，F(1)＝f(1)－1＝0，∵f′(x)＜，∴F′(x)＝f′(x)－＜0，∴F(x)在R上单调递减，f(x)＜＋的解集即F(x)＜0＝F(1)的解集，得x＞1.]7．A [构造函数h(x)＝，x＞0，则h′(x)＝＞0，x＞0，所以h(x)是(0，＋∞)上过点(1，0)的增函数，所以当x∈(0，1)时＜0，从而得f(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时＞0，从而得f(x)＞0，由于函数f(x)是定义在R上的奇函数，57\n所以不等式f(x)＞0的解集(－1，0)∪(1，＋∞)，故选A.]8．D [构造函数F(x)＝xf(x)，F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x∈(－∞，0)时，F′(x)＜0，故F(x)在(－∞，0)单调递减，∴F(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝F(x)，∴F(x)为R上的偶函数，故F(x)在(0，＋∞)单调递增，a＝20.2f(20.2)＝F(20.2)，b＝(logπ3)f(logπ3)＝F(logπ3)，∴c＝(－3)·f(log3)＝F(－3)＝F(3)，∵3＞20.2＞1＞logπ3，∴F(3)＞F(20.2)＞F(logπ3)，即c＞a＞b.]9. [∵f′(x)＝3x2＋1＞0恒成立，∴f(x)在R上是增函数．又f(－x)＝－f(x)，∴y＝f(x)为奇函数．由f(mx－2)＋f(x)＜0得f(mx－2)＜－f(x)＝f(－x)，∴mx－2＜－x，即mx－2＋x＜0在m∈[－2，2]上恒成立．记g(m)＝xm－2＋x，则即解得－2＜x＜.]10．1 [因为f′(x)＝2－cosx＞0在R上恒成立，所以函数f(x)＝2x－sinx在R上单调递增，又因为f(0)＝0，所以函数f(x)＝2x－sinx只有一个零点．]11．解 (1)f′(x)＝x－a－，且函数的定义域为(0，＋∞)，∵函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，∴当x≥1时，f′(x)≥0恒成立，∴a≤x－，x∈[1，＋∞)，∵x与－在[1，＋∞)都单调递增，∴x－在[1，＋∞)也单调递增，且最小值为0，∴a≤0，实数a的取值范围为(－∞，0]．57\n(2)f′(x)＝x－a－＝，x＞0，令t(x)＝x2－ax－1，此抛物线开口向上且t(0)＝－1＜0，要使函数f(x)在区间(1，2)上存在极小值x0，则函数f(x)在(1，x0)递减，在(x0，2)递增，所以⇒0＜a＜，实数a的取值范围为.考点9 导数的应用(二)(最值与不等式)【两年高考真题演练】1．解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a＞0，则当x∈时，f′(x)＞0；当x∈时，f′(x)＜0.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)无最大值；当a＞0时，f(x)在x＝取得最大值，最大值为f＝ln＋a＝－lna＋a－1.因此f＞2a－2等价于lna＋a－1＜0.令g(a)＝lna＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0.因此，a的取值范围是(0，1)．2．(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－(x>0)．当a≤0时，f′(x)>0，f′(x)没有零点．当a>0时，因为e2x单调递增，－单调递增，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(a)>0，当b满足0<b<且b<时，f′(b)<0，故当a>0时，f′(x)存在唯一零点．(2)证明 由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以当x＝x0时，f(x57\n)取得最小值，最小值为f(x0)．由于2e2x0－＝0，所以f(x0)＝＋2ax0＋aln≥2a＋aln.故当a>0时，f(x)≥2a＋aln.3．(1)证明 f′(x)＝aexcosx－aexsinx＝aexcos.令f′(x)＝0，由x≥0，得x＋＝mπ－，即x＝mπ－，m∈N*.而对于cos，当k∈Z时，若2kπ－＜x＋＜2kπ＋，即2kπ－＜x＜2kπ＋，则cos＞0.若2kπ＋＜x＋＜2kπ＋，即2kπ＋＜x＜2kπ＋，则cos＜0.因此，在区间与上，f′(x)的符号总相反．于是当x＝mπ－(m∈N*)时，f(x)取得极值，所以xn＝nπ－π(n∈N*)．此时，f(xn)＝aenπ－cos＝(－1)n＋1enπ－.易知f(xn)≠0，而＝＝－eπ是常数，故数列{f(xn)}是首项为f(x1)＝e，公比为－eπ的等比数列．(2)解 对一切n∈N*，xn≤|f(xn)|恒成立，即nπ－≤enπ－恒成立，亦即57\n≤恒成立(因为a＞0)．设g(t)＝(t＞0)，则g′(t)＝.令g′(t)＝0得t＝1.当0＜t＜1时，g′(t)＜0，所以g(t)在区间(0，1)上单调递减；当t＞1时，g′(t)＞0，所以g(t)在区间(1，＋∞)上单调递增．因为x1∈(0，1)，且当n≥2时，xn∈(1，＋∞)，xn＜xn＋1，所以[g(xn)]min＝min{g(x1)，g(x2)}＝min＝g＝e.因此，xn≤|f(xn)|恒成立，当且仅当≤e.解得a≥e－.故a的取值范围是.4．解 (1)当x∈(0，)时，f′(x)＝π＋πsinx－2cosx＞0，所以f(x)在(0，)上为增函数，又f(0)＝－π－2＜0，f()＝－4＞0，所以存在唯一x0∈(0，)，使f(x0)＝0.(2)当x∈[，π]时，化简得g(x)＝(π－x)·＋－1.令t＝π－x，记u(t)＝g(π－t)＝－－t＋1，t∈[0，]，则u′(t)＝.由(1)得，当t∈(0，x0)时，u′(t)＜0，当t∈(x0，)时，u′(t)＞0.57\n在(x0，)上u(t)为增函数，由u()＝0知，当t∈[x0，)时，u(t)＜0，所以u(t)在[x0，)上无零点．在(0，x0)上u(t)为减函数，由u(0)＝1及u(x0)＜0知存在唯一t0∈(0，x0)，使u(t0)＝0.于是存在唯一t0∈(0，)，使u(t0)＝0.设x1＝π－t0∈(，π)，则g(x1)＝g(π－t0)＝u(t0)＝0，因此存在唯一的x1∈(，π)，使g(x1)＝0.由于x1＝π－t0，t0＜x0，所以x0＋x1＞π.【一年模拟试题精练】1．C [∵y＝xex，∴y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.则当x＞－1时y′＞0，当x＜－1时y′＜0.∴x＝－1时函数取得最小值且ymin＝－.故选C.]2．B [y＝ex与y＝ln(2x)互为反函数，故此两函数图象关于y＝x对称，过y＝ex点P1(x0，y0)且与y＝ex相切斜率为1的直线为y－1＝x－ln2，点P1的坐标为(ln2，1)，点P1关于y＝x的对称点Q1(1，ln2)在y＝ln(2x)，可知，|PQ|min＝|P1Q1|＝(1－ln2)．]3．B [∵f(f(b))＝b，∴f(b)＝f－1(b)，∴y＝f(x)与y＝f－1(x)，在[0，1]上有交点，又∵y＝f(x)与y＝f－1(x)的图象关于y＝x对称，∴y＝f(x)与y＝f－1(x)的交点在y＝x上，且交点横坐标b∈[0，1]，根据ex＋2x－a＝x，得a＝ex＋x，令g(x)＝ex＋x，g′(x)＝ex＋1＞0，故g(x)在[0，1]上单调递增．∴g(x)∈[1，1＋e]，故a∈[1，1＋e]．]57\n4．A [令g(x)＝x2－2ex＋m－＝0⇒m＝－x2＋2ex＋(x＞0)，设h(x)＝－x2＋2ex＋，令f1(x)＝－x2＋2ex，f2(x)＝⇒f′2(x)＝，发现函数f1(x)，f2(x)在x∈(0，e)上都单调递增，在x∈[e，＋∞)上都单调递减，于是函数h(x)＝－x2＋2ex＋在x∈(0，e)上单调递增，在x∈[e，＋∞)上单调递减，所以当x＝e时，h(x)max＝e2＋，所以函数有零点需满足m≤h(x)max，即m≤e2＋.]5．4 [f′(x)＝3ax2－3，由题意可得：得a∈[2，4]，故f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为，∵a∈[2，4]，∴⊆[－1，1]，由函数的单调性，可得f≥0，即a≥4，故a＝4.]6．②③④ [ 对于①，展开可得f(x)＝x3－2cx2＋c2x，求导数可得f′(x)＝3x2－4cx＋c2＝(x－c)(3x－c)，令f′(x)＝0，可得x＝c，或x＝，当c＝0时，函数无极值，不合题意，当c＞0时，函数在，(c，＋∞)单调递增，在单调递减，故函数在x＝处取到极大值，故c＝6；当c＜0时，函数在(－∞，c)，单调递增，在单调递减，故函数在x＝c处取到极大值，故c＝2，矛盾，∴命题①错误；对于②，(x－1)f′(x)≥0，则：函数f(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，∴f(0)＞f(1)，f(2)＞f(1)，则f(0)＋f(2)＞2f(1)．命题②正确；对于③，∵f(x)＝x3－3x在(a2－17，a)上有最大值，∴此最大值必是极大值，令f′(x)＝3x2－3＝0，求得极值点为x＝1或x＝－1，当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，∴x＝－1为极大值点，包含在(a2－17，a)之内，∴a2－17＜－1＜a，解得－1＜a＜4.∴实数a的取值范围为(－1，4)，命题③正确；57\n对于④，xf′(x)－f(x)＞0(x＞0)，即＞0，则′＞0，所以函数在(0，＋∞)上是增函数，且当x＝1时，＝f(1)＝0，故函数在(0，1)上有＜0，则f(x)＜0，在(1，＋∞)上有＞0，则f(x)＞0.又由函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴当x∈(－∞，－1)时f(x)＜0，当x∈(1，0)时，f(x)＞0.故不等式f(x)＞0的解集为：(－1，0)∪(1，＋∞)，命题④正确．故答案为②③④.]7．解 由题意可知，当x＝20时，y＝35.7，所以35.7＝mln20－＋×20＋ln10，即35.7＝3m＋38.7，解得：m＝－1，所以：y＝－lnx－x2＋x＋ln10(x＞10)，设利润为：f(x)＝y－x＝－lnx－x2＋x＋ln10－x＝－lnx－x2＋x＋ln10(x＞10)，易得：f′(x)＝－－＋＝－，又x＞10，∴当10＜x＜50时，f′(x)＞0；当x＞50时，f′(x)＜0，从而x＝50为函数f(x)的极大值点，即x＝50时函数f(x)取得最大值．∴f(x)max＝－ln50－×(50)2＋×50＋ln10＝24.4(万元)，答：该生产线升级改造后获得的最大利润为24.4万元．8．(1)解 因f(x)＝lnx－x，所以f′(x)＝－1＝.当x∈(0，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0.所以f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)证明 由(1)知，当x＞0时，f(x)＜f(1)＝－1，即lnx＜x－1.因为an＝1＋(n∈N*)，所以lnan＝ln＜.令k＝1，2，3，…＋，n，这n个式子相加得：57\nlna1＋lna2＋…＋lnan＜＋＋＋…＝1－＜1.即ln(a1a2a3…＋an)＜1，所以a1a2a3…an＜e.(3)解 令g(x)＝＝，则g′(x)＝，令h(x)＝x－lnx－1，则h′(x)＝1－，x＞2时h′(x)＞0，故h(x)在(2，＋∞)上单调递增，而h(x)＞h(2)＝1－ln2＞0，h(x)＞0，即g′(x)＞0，所以g(x)在(2，＋∞)上单调递增，故g(x)＞g(2)＝＝2ln2.由题意有k≤2ln2，所以k的最大值是2ln2.57
